Задание 17. Решение простых уравнений

{"questions":[{"content":"Найдите корень уравнения $5^{3x+2} = 5^{x-4}$.[[fill_choice_big-1]][[image-678]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$-3$","$5$","$-8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-678":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_angl-2-urok_penal.svg","width":"300"}},"hints":["Если степени с одинаковыми основаниями равны, то и их показатели равны. Решим уравнение:  $$3x + 2 = x-4$$  $$3x-x = -4-2$$  $$2x = -6$$  $$x = -3$$"]},{"content":"Решите уравнение $3^{x+2} = 3^{5}.$[[fill_choice_big-9]][[image-701]]","widgets":{"fill_choice_big-9":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$1$","$0$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-701":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_chalk.svg","width":"300"}},"hints":["Так как основания степеней одинаковы, приравниваем показатели:  $$x + 2 = 5$$  $$x = 3$$"]},{"content":"Решите уравнение $2^{x^2-4} = 8^{x}$. Если уравнение имеет несколько корней, в ответе укажите их произведение. [[fill_choice_big-28]][[image-726]]","widgets":{"fill_choice_big-28":{"type":"fill_choice_big","options":["$-4$","$5$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-726":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_break.svg","width":"300"}},"hints":["Приведем степени к одинаковому основанию:   $$ 8 = 2^3$$ $$2^{x^2-4} = (2^3)^{x}$$ $$2^{x^2-4} = 2^{3x}$$  Приравняем показатели:     $$x^2-4 = 3x$$ $$x^2-3x-4 = 0$$  Решим квадратное уравнение: $$D = 9 + 16 = 25 $$ $$x_1 = \\frac{3 + 5}{2} = 4$$ $$ x_2 = \\frac{3-5}{2} = -1 $$Найдем произведение корней:    $$x_1 \\cdot x_2 = 4 \\cdot (-1) = -4$$"]},{"content":"Решите уравнение $ 9^{x-1} = 27^{2x}.$ [[fill_choice_big-371]][[image-753]]","widgets":{"fill_choice_big-371":{"type":"fill_choice_big","options":["$-0.5$","$2$","$0.5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-753":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_angl-4-urok_ruchka.svg","width":"300"}},"hints":["Приведем степени к основанию $3{:}$     $$9 = 3^2$$ $$27 = 3^3$$ $$(3^2)^{x-1} = (3^3)^{2x} $$ $$3^{2x-2} = 3^{6x}$$Приравняем показатели: $$2x-2 = 6x$$ $$ -4x = 2$$ $$ x = -\\frac{1}{2}=-0.5$$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\left(\\dfrac{1}{9}\\right)^{2x-1} = 81.$[[fill_choice_big-64]][[image-782]]","widgets":{"fill_choice_big-64":{"type":"fill_choice_big","options":["$-0.5$","$2$","$-8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-782":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/12/ruchka-ezhednevnik.svg","width":"300"}},"hints":["Приведем степени к основанию $3{:}$  $$\\frac{1}{9} = 3^{-2}$$ $$ 81 = 3^4$$ $$(3^{-2})^{2x-1} = 3^4$$     $$3^{-4x + 2} = 3^4$$ Приравняем показатели: $$-4x + 2 = 4$$  $$-4x = 2$$   $$x = -\\frac{1}{2}=-0.5$$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\dfrac{1}{\\sqrt[3]{x}} = \\dfrac{1}{5}.$  [[fill_choice_big-77]][[image-813]]","widgets":{"fill_choice_big-77":{"type":"fill_choice_big","options":["$125$","$15$","$225$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-813":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/shkolniki-klass-party-parta-okno-stulya-stoly-sidyat-za-partoi-.svg","width":"300"}},"hints":["Возведем обе части уравнения в куб, чтобы избавиться от корня:  $$\\left(\\frac{1}{\\sqrt[3]{x}}\\right)^3 = \\left(\\frac{1}{5}\\right)^3$$  $$\\frac{1}{x} = \\frac{1}{125}$$Решим полученное уравнение:  $$x = 125$$"]},{"content":"Найдите корень уравнения  $\\dfrac{1}{\\sqrt[4]{x}} = \\dfrac{1}{2}.$  [[fill_choice_big-90]][[image-846]]","widgets":{"fill_choice_big-90":{"type":"fill_choice_big","options":["$16$","$0$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-846":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/01/uchenik-01-01-1.svg","width":"300"}},"hints":["Возведем обе части уравнения в четвертую степень:  $$\\left(\\frac{1}{\\sqrt[4]{x}}\\right)^4 = \\left(\\frac{1}{2}\\right)^4$$  $$\\frac{1}{x} = \\frac{1}{16}$$Решим полученное уравнение:  $$x = 16$$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\sqrt{5x + 11}-6 = 0.$  [[fill_choice_big-103]][[image-881]]","widgets":{"fill_choice_big-103":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$1$","$0$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-881":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/dumaet-doska-drobi-tsifry2-3.svg","width":"300"}},"hints":["Перенесем число в правую часть:  $$\\sqrt{5x + 11} = 6$$Возведем обе части в квадрат:  $$5x + 11 = 36$$Решим линейное уравнение:  $$5x = 25$$  $$x = 5$$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\sqrt{9-2x}-3 = 0.$  [[fill_choice_big-119]][[image-918]]","widgets":{"fill_choice_big-119":{"type":"fill_choice_big","options":["$0$","$8$","$-4$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-918":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/do-homework_2-01.svg","width":"300"}},"hints":["Перенесем число в правую часть:  $$\\sqrt{9-2x} = 3$$Возведем обе части в квадрат:  $$9-2x = 9$$Решим линейное уравнение: $$-2x = 0$$  $$x = 0$$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\sqrt{3x-8}-4 = 0.$  [[fill_choice_big-135]][[image-957]]","widgets":{"fill_choice_big-135":{"type":"fill_choice_big","options":["$8$","$12$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-957":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/kniga_knigi-ruchka-karandash-drobi-stol-krivye.svg","width":"300"}},"hints":["Перенесем число в правую часть: $$\\sqrt{3x-8} = 4$$ Возведем обе части в квадрат:  $$3x-8 = 16$$Решим линейное уравнение: $$3x = 24$$  $$x = 8$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Найдите корень уравнения $\\log_{5}(2x + 7) = \\log_{5}17$.[[fill_choice_big-1]][[image-732]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$2$","$-8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-732":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/03/monastyr-01-1.svg","width":"300"}},"hints":["Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их выражения под знаком логарифма: $$2x + 7 = 17$$  $$2x = 10$$ $$x=5$$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\log_{2}(4x — 3) = \\log_{2}13$. [[fill_choice_big-12]][[image-755]]","widgets":{"fill_choice_big-12":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$2$","$7$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-755":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/personazh-s-lupoi-vopros-voprosy.svg","width":"300"}},"hints":["Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их выражения под знаком логарифма:   $$4x — 3 = 13$$ $$4x = 16$$  $$x = 4$$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\log_{7}(x^2-5x + 6) = \\log_{7}(x-2)$.[[image-780]][[fill_choice_big-1557]]","widgets":{"image-780":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/vopros-zadaet-vopros-1-1.svg","width":"300"},"fill_choice_big-1557":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$2$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их выражения под знаком логарифма:   $$x^2-5x + 6 = x-2$$   Перенесем все слагаемые в одну сторону:   $$x^2-6x + 8 = 0$$   Решим квадратное уравнение через дискриминант:  $$D = b^2-4ac = (-6)^2-4 \\cdot 1 \\cdot 8 = 36 -32 = 4$$   $$\\sqrt{D} = 2$$   Корни уравнения:   $$x = \\dfrac{6 \\pm 2}{2}$$   $$x = 4 \\quad \\text{или} \\quad x = 2$$","Проверим, что выражения под логарифмами положительны:  <br /><br />$1.$ Для $x = 4$:  $$x^2-5x + 6 = 16-20 + 6 = 2 > 0$$ $$x-2 = 4-2 = 2 > 0$$ Корень $x = 4$ подходит.  <br /><br />$2.$ Для $x = 2$: $$x^2-5x + 6 = 4-10 + 6 = 0$$ не подходит, так как выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля."]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\log_{3}(x^2-4x) = \\log_{3}(x)$.[[fill_choice_big-11]][[image-807]]","widgets":{"fill_choice_big-11":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$8$","$17$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-807":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/dumaet-primer-doska2-v2.svg","width":"300"}},"hints":["Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их выражения под знаком логарифма:   $$x^2-4x = x$$ Перенесем все слагаемые в одну сторону:  $$x^2-5x = 0$$  Вынесем общий множитель:   $$x(x -5) = 0$$   Корни уравнения:   $$x = 0 \\quad \\text{или} \\quad x = 5$$","Проверим, что выражения под логарифмами положительны:  <br /><br />$1.$ Для $x = 0$:   $$x^2-4x = 0-0 = 0$$ не подходит, так как выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля.  $$x = 0$$ не подходит, так как выражение под логарифмом должно быть строго больше нуля.  <br /><br />$2.$ Для $x = 5$: $$x^2-4x = 25-20 = 5 > 0$$   $$x = 5 > 0$$  <br />   Корень $x = 5$ подходит."]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\log_{2}(x — 1) + \\log_{2}3 = \\log_{2}15.$[[fill_choice_big-79]][[image-836]]","widgets":{"fill_choice_big-79":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$12$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-836":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/shestirenki-01.svg","width":"300"}},"hints":["Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения их выражений под знаком логарифма:   $$\\log_{2}(x-1) + \\log_{2}3 = \\log_{2}((x-1) \\cdot 3) = \\log_{2}(3x-3)$$   Тогда исходное уравнение можно записать в виде:   $$\\log_{2}(3x-3) = \\log_{2}15$$ Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их выражения под знаком логарифма. Получаем уравнение:   $$3x-3 = 15$$   $$3x = 18$$ $$x = 6$$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\log_{5}(x + 2) + \\log_{5}4 = \\log_{5}20$.   [[fill_choice_big-132]][[image-867]]","widgets":{"fill_choice_big-132":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$1$","$-5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-867":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/personazhi-razgovarivayut-1.svg","width":"300"}},"hints":["Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения их выражений под знаком логарифма:  $$\\log_{5}(x + 2) + \\log_{5}4 = \\log_{5}((x + 2) \\cdot 4) = \\log_{5}(4x + 8)$$   Тогда исходное уравнение можно записать в виде:   $$\\log_{5}(4x + 8) = \\log_{5}20$$   Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их выражения под знаком логарифма. Получаем уравнение:   $$4x + 8 = 20$$   $$4x = 12$$   $$x = 3$$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\log_{4}(x-1)-\\log_{4}2 = \\log_{4}6$.   [[fill_choice_big-189]][[image-900]]","widgets":{"fill_choice_big-189":{"type":"fill_choice_big","options":["$13$","$11$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-900":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/nadmennyi-skromnyi-01.svg","width":"300"}},"hints":["Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного их выражений под знаком логарифма:   $$\\log_{4}(x-1)-\\log_{4}2 = \\log_{4}\\left(\\frac{x-1}{2}\\right)$$  Тогда исходное уравнение можно записать в виде:  $$\\log_{4}\\left(\\frac{x-1}{2}\\right) = \\log_{4}6$$   Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их выражения под знаком логарифма. Получаем уравнение:  $$\\frac{x-1}{2} = 6$$   $$x-1 = 12$$   $$x = 13$$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\log_{3}(2x + 1)-\\log_{3}(x-2) = 1$.   [[fill_choice_big-264]][[image-935]]","widgets":{"fill_choice_big-264":{"type":"fill_choice_big","options":["$7$","$11$","$-4$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-935":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/iskusstvennyi-intellekt3-01-1.svg","width":"300"}},"hints":["Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного их выражений под знаком логарифма:  $$\\log_{3}\\left(\\frac{2x + 1}{x-2}\\right) = 1$$   Логарифм равен степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент:  $$\\frac{2x + 1}{x-2} = 3^1$$   $$\\frac{2x + 1}{x-2} = 3$$   Решим уравнение:   $$2x + 1 = 3(x-2)$$  $$2x + 1 = 3x-6$$  $$-x = -7$$  $$x = 7$$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\log_{2}(x^2-4)-\\log_{2}(x + 2) = 3$.  [[fill_choice_big-352]][[image-972]]","widgets":{"fill_choice_big-352":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$5$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-972":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/01/teacher.svg","width":"300"}},"hints":["Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного их выражений под знаком логарифма:   $$\\log_{2}\\left(\\frac{x^2-4}{x + 2}\\right) = 3$$  Логарифм равен степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент:  $$\\frac{x^2-4}{x + 2} = 2^3$$  $$\\frac{x^2-4}{x + 2} = 8$$ Упростим выражение в числителе:  $$x^2-4 = (x-2)(x + 2)$$   Тогда уравнение примет вид:  $$\\frac{(x-2)(x + 2)}{x + 2} = 8$$  Сократим на $(x + 2)$ (при условии $x \\neq -2$):   $$x-2 = 8$$   $$x = 10$$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\log_{5}(x + 4)-\\log_{5}2 = 1$. [[fill_choice_big-509]][[image-1011]]","widgets":{"fill_choice_big-509":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$12$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1011":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/ponyatie_shestirenki-01.svg","width":"300"}},"hints":["Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного их выражений под знаком логарифма:  $$\\log_{5}\\left(\\frac{x + 4}{2}\\right) = 1$$   Логарифм равен степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент:   $$\\frac{x + 4}{2} = 5^1$$   $$\\frac{x + 4}{2} = 5$$  Решим уравнение:   $$x + 4 = 10$$   $$x = 6$$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\log_{2}(3x-1) + \\log_{2}4 = 3$. [[fill_choice_big-605]][[image-1052]]","widgets":{"fill_choice_big-605":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$2$","$-5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1052":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/graduated.svg","width":"300"}},"hints":["Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения их выражений под знаком логарифма:   $$\\log_{2}((3x-1) \\cdot 4) = 3$$  $$\\log_{2}(12x-4) = 3$$   Логарифм равен степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент:  $$12x-4 = 2^3$$   $$12x-4 = 8$$  Решим уравнение:  $$12x = 12$$   $$x = 1$$"]}]}

{"questions":[{"content":"Решите уравнение $x^2-16 = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.  [[image-24]][[fill_choice_big-34]]","widgets":{"image-24":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/uchenyi-listik-mikroskop-01-2.svg","width":"300"},"fill_choice_big-34":{"type":"fill_choice_big","options":["$-4$","$4$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Разложим выражение по формуле разности квадратов:  $$x^2-16 = (x-4)(x + 4)$$  Произведение двух чисел равно нулю, когда хотя бы одно из них равно нулю:  $$(x-4)(x + 4) = 0$$  $$x-4 = 0 \\quad \\text{или} \\quad x + 4 = 0$$  Следовательно,  $$x = 4 \\quad \\text{или} \\quad x = -4.$$  Меньший корень равен $-4$."]},{"content":"Решите уравнение $x^2-25 = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.[[fill_choice_big-81]][[image-789]]","widgets":{"fill_choice_big-81":{"type":"fill_choice_big","options":["$-5$","$11$","$15$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-789":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/istorik-istoriya-chitaet-knigu-kniga-lupa-01.svg","width":"300"}},"hints":["Разложим выражение по формуле разности квадратов:  $$x^2-25 = (x-5)(x + 5)$$  Произведение двух чисел равно нулю, когда хотя бы одно из них равно нулю:  $$(x-5)(x + 5) = 0$$  $$x-5 = 0 \\quad \\text{или} \\quad x + 5 = 0$$  Следовательно,  $$x = 5 \\quad \\text{или} \\quad x = -5.$$  Меньший корень равен $-5$."]},{"content":"Решите уравнение $x^2 + 6x + 9 = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них. [[fill_choice_big-143]][[image-826]]","widgets":{"fill_choice_big-143":{"type":"fill_choice_big","options":["$-3$","$2$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-826":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/graduated.svg","width":"300"}},"hints":["Заметим, что левая часть уравнения представляет собой полный квадрат:  $$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$$  Уравнение принимает вид:  $$(x + 3)^2 = 0$$  Извлечем квадратный корень из обеих частей:  $$x + 3 = 0$$  $$x = -3$$  Уравнение имеет единственный корень $x = -3$."]},{"content":"Решите уравнение $x^2-4x + 4 = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них. [[fill_choice_big-218]][[image-853]]","widgets":{"fill_choice_big-218":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$11$","$18$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-853":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/dumaet-nad-formulami-na-doske-formuly-doska.svg","width":"300"}},"hints":["Заметим, что левая часть уравнения представляет собой полный квадрат:  $$x^2-4x + 4 = (x-2)^2$$  Уравнение принимает вид:  $$(x-2)^2 = 0$$  Извлечем квадратный корень из обеих частей:  $$x-2 = 0$$  $$x = 2$$  Уравнение имеет единственный корень $x = 2$."]},{"content":"Решите уравнение $x^2-5x-24 = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них. [[fill_choice_big-306]][[image-882]]","widgets":{"fill_choice_big-306":{"type":"fill_choice_big","options":["$8$","$11$","$-5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-882":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/01/teacher.svg","width":"300"}},"hints":["Найдем дискриминант:  $$D = b^2-4ac = (-5)^2-4 \\cdot 1 \\cdot (-24) = 25 + 96 = 121$$  $$\\sqrt{D} = \\sqrt{121} = 11$$  Теперь найдем корни:  $$x_1 = \\dfrac{-b + \\sqrt{D}}{2a} = \\dfrac{5 + 11}{2} = 8$$  $$x_2 = \\dfrac{-b-\\sqrt{D}}{2a} = \\dfrac{5-11}{2} = -3$$  Больший из корней равен $8.$"]},{"content":"Решите уравнение $x^2 + 3x-10 = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них. [[fill_choice_big-391]][[image-913]]","widgets":{"fill_choice_big-391":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$6$","$-8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-913":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/kniga_obrazavr-01.svg","width":"300"}},"hints":["Найдем дискриминант:  $$D = b^2-4ac = 3^2-4 \\cdot 1 \\cdot (-10) = 9 + 40 = 49$$  $$\\sqrt{D} = \\sqrt{49} = 7$$  Теперь найдем корни:  $$x_1 = \\dfrac{-b + \\sqrt{D}}{2a} = \\dfrac{-3 + 7}{2} = 2$$  $$x_2 = \\dfrac{-b-\\sqrt{D}}{2a} = \\dfrac{-3-7}{2} = -5$$  Больший из корней равен $2$, его и запишем в ответ."]},{"content":"Решите уравнение $2x^2-8x + 6 = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них. [[fill_choice_big-487]][[image-946]]","widgets":{"fill_choice_big-487":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$5$","$-3$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-946":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/shestirenka2-02.svg","width":"300"}},"hints":["Сначала упростим уравнение, разделив все коэффициенты на 2:  $$x^2-4x + 3 = 0$$  Найдем дискриминант:  $$D = b^2-4ac = (-4)^2-4 \\cdot 1 \\cdot 3 = 16-12 = 4$$  $$\\sqrt{D} = \\sqrt{4} = 2$$  Теперь найдем корни:  $$x_1 = \\dfrac{-b + \\sqrt{D}}{2a} = \\dfrac{4 + 2}{2} = 3$$  $$x_2 = \\dfrac{-b-\\sqrt{D}}{2a} = \\dfrac{4-2}{2} = 1$$  Меньший из корней равен $1$, его и запишем в ответ."]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\log_{2}(3x-1) = 3$.  [[fill_choice_big-594]][[image-981]]","widgets":{"fill_choice_big-594":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$6$","$-2$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-981":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/ideya-lampochkaok-1.svg","width":"300"}},"hints":["Логарифм равен степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент:  $$2^3 = 3x-1$$  $$8 = 3x-1$$  $$3x = 9$$  $$x = 3$$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\log_{5}(4x + 7) = 2$. [[fill_choice_big-8]][[image-1018]]","widgets":{"fill_choice_big-8":{"type":"fill_choice_big","options":["$4.5$","$11$","$-5.5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1018":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/dumaet-primer-doska2-v2.svg","width":"300"}},"hints":["Логарифм равен степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент:  $$5^2 = 4x + 7$$  $$25 = 4x + 7$$  $$4x = 18$$  $$x = 4.5$$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\log_{2}(x^2-6x + 9) = 2$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них. [[fill_choice_big-1]][[image-1057]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$5$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1057":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/schety-1.svg","width":"300"}},"hints":["Логарифм равен степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент:  $$2^2 = x^2-6x + 9$$  $$4 = x^2-6x + 9$$  Перенесем все слагаемые в одну сторону:  $$x^2-6x + 5 = 0$$  Решим квадратное уравнение через дискриминант:  $$D = b^2-4ac = (-6)^2-4 \\cdot 1 \\cdot 5 = 36-20 = 16$$  $$\\sqrt{D} = 4$$  Корни уравнения:  $$x = \\dfrac{6 \\pm 4}{2}$$  $$x = 5 \\quad \\text{или} \\quad x = 1$$ Меньший из корней равен $1$, его и запишем в ответ."]}]}

{"questions":[{"content":"Найдите корень уравнения $3 + 6x = 2x + 7$. [[fill_choice_big-1]][[image-1204]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$1$","$2$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1204":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/02/test-01.svg","width":"300"}},"hints":["Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а остальные — в правую:  $$6x-2x = 7-3$$  $$4x = 4$$  $$x = 1$$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $4x-7 = 3x + 5$.[[fill_choice_big-21]][[image-1165]]","widgets":{"fill_choice_big-21":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$4$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1165":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_angl-4-urok_ruchka.svg","width":"300"}},"hints":["Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а остальные — в правую:  $$4x-3x = 5 + 7$$  $$x = 12$$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $10x + 3 = 6x-9$. [[fill_choice_big-50]][[image-1128]]","widgets":{"fill_choice_big-50":{"type":"fill_choice_big","options":["$-3$","$5$","$0.5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1128":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_angl-2-urok_ryukzak.svg","width":"300"}},"hints":["Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а остальные — в правую:  $$10x-6x = -9-3$$  $$4x = -12$$$$x = -3$$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $2 + 5(4x-3) = 17$.[[fill_choice_big-152]][[image-1093]]","widgets":{"fill_choice_big-152":{"type":"fill_choice_big","options":["$1.5$","$2$","$3.5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1093":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/05/sidyat-za-partoj-ruchka.svg","width":"300"}},"hints":["Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$2 + 20x-15 = 17$$ $$20x = 17-2 + 15$$  $$20x = 30$$  $$x = 1.5$$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $3 + 2(5x-4) = 11$.[[fill_choice_big-208]][[image-1060]]","widgets":{"fill_choice_big-208":{"type":"fill_choice_big","options":["$1.6$","$2.8$","$1.5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1060":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/12/ruchka-ezhednevnik.svg","width":"300"}},"hints":["Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:  $$3 + 10x-8 = 11$$  $$10x = 11-3 + 8$$  $$10x = 16$$ $$x = 1.6$$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\dfrac{2x + 3}{4} = 5$.[[fill_choice_big-290]][[image-1029]]","widgets":{"fill_choice_big-290":{"type":"fill_choice_big","options":["$8.5$","$3.5$","$6.1$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1029":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/linei-ka-2.svg","width":"300"}},"hints":["Умножим обе части уравнения на $4,$ чтобы избавиться от знаменателя:  $$2x + 3 = 20$$  Перенесем слагаемые:  $$2x = 20-3$$  $$2x = 17$$  $$x = 8.5$$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $5-\\dfrac{2x + 1}{3} = 2$.[[fill_choice_big-389]][[image-1000]]","widgets":{"fill_choice_big-389":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$6$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1000":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/05/do-homework_2-01.svg","width":"300"}},"hints":["Сначала перенесем $5$ в правую часть:  $$-\\dfrac{2x + 1}{3} = 2-5$$  $$-\\dfrac{2x + 1}{3} = -3$$  Умножим обе части на $-1$:  $$\\frac{2x + 1}{3} = 3$$  Умножим обе части на $3{:}$  $$2x + 1 = 9$$  Перенесем слагаемые:  $$2x = 9-1$$  $$2x = 8$$  $$x = 4$$"]},{"content":"Решите уравнение $x^2-5x = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них. [[fill_choice_big-491]][[image-973]]","widgets":{"fill_choice_big-491":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$7$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-973":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/01/teacher.svg","width":"300"}},"hints":["Вынесем общий множитель за скобки:  $$x(x-5) = 0$$  Произведение чисел равно нулю, когда хотя бы одно из них равно нулю. Следовательно,  $$x = 0 \\quad \\text{или} \\quad x-5 = 0$$  откуда  $$x = 0 \\quad \\text{или} \\quad x = 5$$  Больший корень равен $5$."]},{"content":"Решите уравнение $x^2 + 4x = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.[[fill_choice_big-616]][[image-948]]","widgets":{"fill_choice_big-616":{"type":"fill_choice_big","options":["$0$","$-6$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-948":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/01/uchenik-01-01-1.svg"}},"hints":["Вынесем общий множитель за скобки:  $$x(x + 4) = 0$$  Произведение чисел равно нулю, когда хотя бы одно из них равно нулю. Следовательно,  $$x = 0 \\quad \\text{или} \\quad x + 4 = 0$$  откуда  $$x = 0 \\quad \\text{или} \\quad x = -4$$ Больший корень равен $0$."]},{"content":"Решите уравнение $2x^2- 8 = 0$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.[[fill_choice_big-748]][[image-925]]","widgets":{"fill_choice_big-748":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$5$","$-3$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-925":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/05/doska-1.svg","width":"300"}},"hints":["Перенесем свободный член в правую часть:  $$2x^2 = 8$$  Разделим обе части на $2{:}$  $$x^2 = 4$$  Извлечем квадратный корень из обеих частей:  $$x = 2 \\quad \\text{или} \\quad x = -2$$  Больший корень равен $2$."]}]}

{"questions":[{"content":"Найдите корень уравнения $2+9x=4x+3.$[[fill_choice_big-1]][[image-1925]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.2$","$5$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1925":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/dumaet-nad-formulami-na-doske-formuly-doska.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Перенесем слагаемые, содержащие $x,$ в левую часть уравнения, а остальные — в правую: $$9x-4x=3-2$$ $$5x=1$$ $$x=0.2$$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $1+8(3x+7)=9.$[[fill_choice_big-22]][[image-1946]]","widgets":{"fill_choice_big-22":{"type":"fill_choice_big","options":["$-2$","$3$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1946":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/01/teacher.svg","width":"300"}},"hints":["Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $$1+24x+56=9$$ $$24x=9-1-56$$ $$24x=-48$$ $$x=-2$$"]},{"content":"Решите уравнение $x^2-3x=0.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.[[fill_choice_big-79]][[image-1969]]","widgets":{"fill_choice_big-79":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$1$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1969":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/listen_to_music-1.svg","width":"300"}},"hints":["Вынесем общий множитель за скобки: $$x(x-3)=0$$ Произведение чисел равно нулю, когда хотя бы одно из них равно нулю. Следовательно, $x=0$ или $x-3=0,$ откуда $x=0$ или $x=3.$ Больший корень равен $3.$"]},{"content":"Решите уравнение $x^2-9=0.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.[[fill_choice_big-148]][[image-1994]]","widgets":{"fill_choice_big-148":{"type":"fill_choice_big","options":["$-3$","$2$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1994":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/have-u-got-ideas.svg","width":"300"}},"hints":["Разложим выражение по формуле разности квадратов: $$x^2-9=(x-3)(x+3)$$ Произведение двух чисел равно нулю, когда хотя бы одно из них равно нулю: $$(x-3)(x+3)=0$$ $$x-3=0 \\quad или \\quad x+3=0$$ Следовательно, $x=3$ или $x=-3.$ Меньший корень равен $-3.$"]},{"content":"Решите уравнение $x^2-7x-18=0.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.[[fill_choice_big-273]][[image-2021]]","widgets":{"fill_choice_big-273":{"type":"fill_choice_big","options":["$9$","$6$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2021":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/obrazavr-v-kruge-kvadrate-01-01.svg","width":"300"}},"step":1,"hints":["Найдем дискриминант: $$D=b^2-4ac=(-7)^2-4\\cdot 1 \\cdot (-18)=49+72=121$$ $$\\sqrt{D}=\\sqrt{121}=11$$ Теперь можем найти корни: $$x_1=\\dfrac{-b+\\sqrt{D}}{2a}=\\dfrac{7+11}{2}=9$$ $$x_2=\\dfrac{-b-\\sqrt{D}}{2a}=\\dfrac{7-11}{2}=-2$$ Больший из корней равен $9,$ его и запишем в ответ."]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\log_{3}(2x-5)=2.$[[fill_choice_big-364]][[image-2050]]","widgets":{"fill_choice_big-364":{"type":"fill_choice_big","options":["$7$","$8$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2050":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/obyasnyaet_tsveta-ok-01.svg","width":"300"}},"hints":["Логарифм равен степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить аргумент: $$3^2=2x-5$$ $$9=2x-5$$ $$2x=14$$ $$x=7$$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\log_{9}(3x-19)=\\log_{9}11.$[[fill_choice_big-487]][[image-2081]]","widgets":{"fill_choice_big-487":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$3$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2081":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/02/test-01.svg","width":"300"}},"hints":["Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их выражения под знаком логарифма: $$3x-19=11$$ $$3x=30$$ $$x=10$$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\log_{3}(x-3)+\\log_{3}2=\\log_{3}10.$[[fill_choice_big-631]][[image-2114]]","widgets":{"fill_choice_big-631":{"type":"fill_choice_big","options":["$8$","$7$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2114":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/01/pic_1-01.svg","width":"300"}},"hints":["Сумма логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму произведения их выражений под знаком логарифма: $$\\log_{3}(x-3)+\\log_{3}2=\\log{3}((x-3)\\cdot 2)=\\log_{3}(2x-6)$$ Тогда исходное уравнение можно записать в виде: $$\\log_{3}(2x-6)=\\log_{3}10$$ Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их выражения под знаком логарифма. Получаем уравнение: $$2x-6=10$$ $$2x=16$$ $$x=8$$"]},{"content":"Найдите корень уравнения $\\log_{3}(2x+4)-\\log_{3}2=\\log_{3}5.$[[fill_choice_big-756]][[image-2149]]","widgets":{"fill_choice_big-756":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$5$","$7$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-2149":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/02/parabola-01.svg","width":"300"}},"hints":["Разность логарифмов с одинаковыми основаниями равна логарифму частного их выражений под знаком логарифма: $$\\log_{3}(2x+4)-\\log_{3}2=\\log{3}((2x+4): 2)=\\log_{3}(x+2)$$ Тогда исходное уравнение можно записать в виде: $$\\log_{3}(x+2)=\\log_{3}5$$ Если логарифмы с одинаковыми основаниями равны, то равны и их выражения под знаком логарифма. Получаем уравнение: $$x+2=5$$ $$x=3$$"]}]}