Задание 20.Текстовые задачи

{"questions":[{"content":"В $2008$ году в городском квартале проживало $40\\space000$ человек. В $2009$ году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на $8\\%,$ а в $2010$ году на $9\\%$ по сравнению с $2009$ годом. Сколько человек стало проживать в квартале в $2010$ году?<br />[[fill_choice_big-1]][[image-61]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$47\\space088$","$47\\space788$","$47\\space188$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-61":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/zagryaznenie-gorod-doma-zdaniya-01.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Найдем число жителей в $2009$ году:<br />$40\\space000 \\cdot 1.08 = 43\\space200$<br /><br />$2.$ Найдем число жителей в $2010$ году:<br />$43\\space200 \\cdot 1.09 = 47\\space088$<br /><br />Ответ: В $2010$ году в квартале проживало $47\\space088$ человек."]},{"content":"В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на $4\\%$ дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?<br />[[fill_choice_big-4]][[image-106]]","widgets":{"fill_choice_big-4":{"type":"fill_choice_big","options":["$20$","$18$","$15$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-106":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/04/zavod-1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Пусть начальная стоимость акций равна $100$ единиц.<br /><br />$2.$ В понедельник акции подорожали на $x$ $\\%$, их стоимость стала:<br />$$100 \\cdot \\left(1 + \\frac{x}{100}\\right)$$<br />$3.$ Во вторник акции подешевели на $x\\%$, их стоимость стала:<br />$$100 \\cdot \\left(1 + \\frac{x}{100}\\right) \\cdot \\left(1 — \\frac{x}{100}\\right)$$<br />$4.$ По условию, конечная стоимость акций на $4\\%$ меньше начальной:<br />$$100 \\cdot \\left(1 + \\frac{x}{100}\\right) \\cdot \\left(1-\\frac{x}{100}\\right) = 100 \\cdot 0.96$$<br />$5.$ Упростим уравнение:<br />$$\\left(1 + \\frac{x}{100}\\right)\\left(1-\\frac{x}{100}\\right) = 0.96$$ $$1-\\left(\\frac{x}{100}\\right)^2 = 0.96$$ $$\\left(\\frac{x}{100}\\right)^2 = 0.04$$ $$\\frac{x}{100} = 0.2$$ $$x = 20$$<br /><br />Ответ: в понедельник акции подорожали на $20\\%.$"]},{"content":"Четыре рубашки дешевле куртки на $8\\%.$ На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?<br />[[fill_choice_big-57]][[image-155]]","widgets":{"fill_choice_big-57":{"type":"fill_choice_big","options":["$15$","$10$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-155":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/makintosh.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Стоимость четырех рубашек составляет $92\\%$ стоимости куртки.<br /><br />$2.$ Значит, стоимость одной рубашки составляет:<br />$\\dfrac{92\\%}{4} = 23\\%$ стоимости куртки.<br /><br />$3.$ Поэтому стоимость пяти рубашек составляет:<br />$5 \\cdot 23\\% = 115\\%$ стоимости куртки.<br /><br />$4.$ Это превышает стоимость куртки на:<br />$115\\%-100\\% = 15\\%.$<br /><br />Ответ: $15\\%.$"]},{"content":"Семья состоит из мужа, жены и их дочери-студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на $67\\%.$ Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на $4\\%$. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?<br />[[fill_choice_big-81]][[image-208]]","widgets":{"fill_choice_big-81":{"type":"fill_choice_big","options":["$27$","$33$","$23$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-208":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/dengi.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Пусть общий доход семьи равен $100\\%$.<br /><br />$2.$ Если зарплата мужа увеличится вдвое, общий доход семьи вырастет на $67\\%$. Это означает, что зарплата мужа составляет $67\\%$ от общего дохода семьи.<br /><br />$3.$ Если стипендия дочери уменьшится втрое, общий доход семьи сократится на $4\\%$. Это значит, что $\\dfrac{2}{3}$ стипендии составляют $4\\%$ дохода семьи. Следовательно, вся стипендия дочери составляет:<br />Стипендия дочери = $\\dfrac{4\\%}{\\dfrac{2}{3}} = 6\\% \\, \\text{дохода семьи}.$<br /><br />$4.$ Теперь найдем долю дохода жены:<br />Доход жены = $100\\%-67\\%-6\\% = 27\\%.$<br /><br />Ответ: зарплата жены составляет примерно $27\\%$ от общего дохода семьи.<br />"]},{"content":"Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за $20\\space000$ рублей, через два года он был продан за $15\\space842$ рубля.[[fill_choice_big-154]][[image-265]]","widgets":{"fill_choice_big-154":{"type":"fill_choice_big","options":["$11$","$22$","$17$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-265":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/fridge.svg","width":"300"}},"hints":["1. Пусть $x\\%$ — процент уменьшения цены за год. Тогда каждый год цена составляет $(100-x)\\%$ от предыдущей.<br />2. После первого года цена будет:<br />$$20\\space000 \\cdot \\dfrac{100-x}{100}$$3. После второго года цена будет:$$20\\space000 \\cdot \\left(\\dfrac{100-x}{100}\\right)^2 = 15\\space842$$ 4. Решаем уравнение:<br />$$\\left(\\dfrac{100-x}{100}\\right)^2 = \\dfrac{15\\space842}{20\\space000}$$ $$\\left(\\dfrac{100-x}{100}\\right)^2 = 0.7921$$ $$\\dfrac{100-x}{100} = \\sqrt{0.7921}$$ $$\\dfrac{100-x}{100} = 0.89$$ $$100-x = 89$$ $$x = 11$$Ответ: каждый год цена уменьшалась на $11\\%.$"]},{"content":"Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом $200\\space000$ рублей. Митя внес $14\\%$ уставного капитала, Антон — $42\\space000$ рублей, Гоша — $12\\%$ уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли $1\\space000\\space000$ рублей причитается Борису?<br />[[fill_choice_big-91]][[image-326]]","widgets":{"fill_choice_big-91":{"type":"fill_choice_big","options":["$530\\space000$","$500\\space000$","$570\\space000$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-326":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/za-stolom-doklad.svg"}},"hints":["$1.$ Рассчитаем доли каждого учредителя в уставном капитале:<br />Митя: $14\\%$ от $200\\space000 = 0.14 \\cdot 200\\space000 = 28\\space000$ рублей.<br />Антон: $42\\space000$ рублей (дано).<br />Гоша: $12\\%$ от $200\\space000 = 0.12 \\cdot 200\\space000 = 24\\space000$ рублей.<br />Борис: оставшаяся часть капитала.<br /><br />$2.$ Найдем долю Бориса:<br />$200\\space000-(28\\space000 + 42\\space000 + 24\\space000) = 106\\space000$ рублей.<br /><br />$3.$ Рассчитаем долю Бориса в процентах:<br />$\\dfrac{106\\space000}{200\\space000} \\cdot 100\\% = 53\\%.$<br /><br />$4.$ Найдем сумму прибыли, причитающуюся Борису:<br />$1\\space000\\space000 \\cdot 0.53 = 530\\space000$ рублей.<br /><br />Ответ: Борису причитается $530\\space000$ рублей."]},{"content":"Четыре друга — Дима, Катя, Петя и Маша — решили открыть небольшое кафе с уставным капиталом $200\\space000$ рублей. Дима внес в уставный капитал $35\\%$ от общей суммы, Катя внесла $60\\space000$ рублей, Петя внес $25\\%$ от общей суммы, а оставшуюся часть внесла Маша. По итогам первого года работы кафе получило прибыль $800\\space000$ рублей, которую решили разделить пропорционально вложенным средствам. Какую сумму получит Маша?<br />[[fill_choice_big-517]][[image-375]]","widgets":{"fill_choice_big-517":{"type":"fill_choice_big","options":["$80\\space000$","$82\\space000$","$78\\space000$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-375":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/06/fastfud-kafe.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Обозначим общую сумму уставного капитала за $x$ рублей.<br /><br />$2.$ Рассчитаем доли каждого участника:<br />Дима: $35\\%$ от $x = 0.35x$ рублей.<br />Катя: $60\\space000$ рублей.<br />Петя: $25\\%$ от $x = 0.25x$ рублей.<br />Маша: оставшаяся часть капитала.<br /><br />$3.$ Составим уравнение для определения общей суммы:<br />$x = 0.35x + 60\\space000 + 0.25x + $ вклад Маши.<br /><br />$4.$ Найдем вклад Маши:<br />$x-(0.35x + 60\\space000 + 0.25x) = 0.4x-60\\space000.$<br /><br />$5.$ Рассчитаем долю Маши в процентах:<br />$0.4x-60\\space000 = x -0.6x-60\\space000;$<br />$0.4x-60\\space000 = 0.4x-60\\space000.$<br /><br />$6.$ По условию, общая сумма капитала:<br />$x = 200\\space000$ рублей.<br /><br />$7.$ Рассчитаем вклад Маши:<br />$0.4 \\cdot 200\\space000-60\\space000 = 80\\space000-60\\space000 = 20\\space000$ рублей.<br /><br />$8.$ Найдем долю Маши в процентах:<br />$\\dfrac{20\\space000}{200\\space000} \\cdot 100\\% = 10\\%.$<br /><br />$9.$ Рассчитаем прибыль Маши:<br />$800\\space000 \\cdot 0.1 = 80\\space000$ рублей.<br /><br />Ответ: Маша получит $80\\space000$ рублей."]},{"content":"В $2020$ году в небольшом городе проживало $25\\space000$ жителей. В $2021$ году, после открытия нового промышленного предприятия, население увеличилось на $6\\%.$ В $2022$ году, благодаря развитию инфраструктуры, количество жителей выросло еще на $7\\%$ по сравнению с предыдущим годом. Сколько человек проживало в городе в $2022$ году?<br />[[fill_choice_big-583]][[image-444]]","widgets":{"fill_choice_big-583":{"type":"fill_choice_big","options":["$28\\space355$","$22\\space455$","$24\\space280$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-444":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/idet-po-ulitse-vniz-1-2-1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Обозначим:<br />$a$ — количество жителей в $2020$ году.<br />$b$ — количество жителей в $2021$ году.<br />$c$ — количество жителей в $2022$ году.<br /><br />$2.$ Из условия задачи:<br />в $2021$ году население увеличилось на $6\\%.$ Это означает, что $b = a \\cdot 1.06;$<br />в $2022$ году население увеличилось на $7\\%.$ Это означает, что $c = b \\cdot 1.07.$<br /><br />$3.$ Подставим значения:<br />$a = 25\\space000;$<br />$b = 25\\space000 \\cdot 1.06 = 26\\space500;$<br />$c = 26\\space500 \\cdot 1.07 = 28\\space355.$<br />Ответ: в $2022$ году в городе проживало $28\\space355$ человек."]},{"content":"В четверг акции компании подорожали на некоторое число процентов, а в пятницу подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить на $36\\%$ дешевле, чем при открытии торгов в четверг. На сколько процентов подорожали акции компании в четверг?<br />[[fill_choice_big-457]][[image-517]]","widgets":{"fill_choice_big-457":{"type":"fill_choice_big","options":["$60$","$40$","$48$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-517":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/dengi-koshelek-monety-.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Пусть начальная стоимость акций равна $x.$<br />$2$. Пусть акции подорожали в четверг на $p\\%.$<br />$3.$ После подорожания в четверг стоимость стала: $$x\\cdot(1 + \\dfrac{p}{100})$$ $4.$ После падения в пятницу стоимость стала: $$x \\cdot (1 + \\dfrac{p}{100}) \\cdot (1-\\dfrac{p}{100})$$ $5.$ По условию, конечная стоимость на $36\\%$ меньше начальной:  $$x \\cdot (1 + \\frac{p}{100}) \\cdot (1-\\frac{p}{100}) = x \\cdot 0.64$$ $6.$ Сокращаем $x$: $$(1 + \\frac{p}{100}) \\cdot (1 — \\frac{p}{100}) = 0.64$$ $7.$ Используем формулу разности квадратов: $$1-(\\dfrac{p}{100})^2 = 0.64$$ $8.$ Решаем уравнение:  $$(\\dfrac{p}{100})^2 = 0.36$$ $$\\dfrac{p}{100} = 0.6$$ $$p = 60$$<br />Ответ: акции компании в четверг подорожали на $60\\%.$"]},{"content":"Десять рубашек дешевле куртки на $10\\%.$ На сколько процентов двенадцать рубашек дороже куртки?<br />[[fill_choice_big-774]][[image-594]]","widgets":{"fill_choice_big-774":{"type":"fill_choice_big","options":["$8$","$10$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-594":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_angl-9-urok_kurtka.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Примем стоимость куртки за $100\\%$.<br /><br />$2.$ Тогда стоимость $10$ рубашек составляет $90\\%$ от стоимости куртки.<br /><br />$3.$ Найдем стоимость одной рубашки: $1$ рубашка = $\\dfrac{90\\%}{10} = 9\\%$ от стоимости куртки.<br /><br />$4.$ Найдем стоимость $12$ рубашек: $12$ рубашек = $12 \\cdot 9\\% = 108\\%$ от стоимости куртки.<br /><br />$5.$ Разница в процентах между стоимостью $12$ рубашек и куртки: $108\\%-100\\% = 8\\%.$<br /><br />Ответ: двенадцать рубашек дороже куртки на $8\\%.$"]}]}

{"questions":[{"content":"Из пункта $A$ в пункт $B$ одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью $24\\spaceкм/ч,$ а вторую половину пути — со скоростью, на $16\\spaceкм/ч$ большей скорости первого, в результате чего прибыл в пункт B одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.<br />[[fill_choice_big-1]][[image-51]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$32$","$29$","$33$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-51":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/obrazavr_deyatelnost_dop-03-2.svg","width":"300"}},"hints":["Пусть $v$ км/ч — скорость первого автомобиля, тогда скорость второго автомобиля на второй половине пути равна $v + 16$ км/ч. Примем расстояние между пунктами за $1$. Автомобили были в пути одно и то же время, отсюда имеем:<br /><br />$$\\dfrac{0.5}{24} + \\dfrac{0.5}{v + 16} = \\dfrac{1}{v}$$Приведем к общему знаменателю:<br />$$\\dfrac{0.5(v + 16) + 0.5 \\cdot 24}{24(v + 16)} = \\dfrac{1}{v}$$Упростим числитель:<br />$$0.5v + 8 + 12 = 0.5v + 20$$Тогда уравнение примет вид:<br />$$\\dfrac{0.5v + 20}{24(v + 16)} = \\dfrac{1}{v}$$Перемножим крест-накрест:<br />$$v(0.5v + 20) = 24(v + 16)$$Раскроем скобки:<br />$$0.5v^2 + 20v = 24v + 384$$Перенесем все в одну сторону:<br />$$0.5v^2-4v-384 = 0$$Умножим на $2,$ чтобы избавиться от дроби:<br />$$v^2-8v-768 = 0$$Решим квадратное уравнение:<br />$$v = \\dfrac{8 \\pm \\sqrt{64 + 3072}}{2} = \\dfrac{8 \\pm \\sqrt{3136}}{2} = \\dfrac{8 \\pm 56}{2}$$Получаем корни:<br />$$v_1 = \\dfrac{64}{2} = 32$$ $$ v_2 = \\dfrac{-48}{2} = -24$$Отрицательный корень не имеет физического смысла.<br /><br />Ответ: скорость первого автомобиля равна $32$ км/ч."]},{"content":"Из пункта $A$ в пункт $B$ одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на $13\\spaceкм/ч,$ а вторую половину пути  — со скоростью $78,$ в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше $48\\spaceкм/ч.$ Ответ дайте в км/ч.[[fill_choice_big-4]][[image-96]]","widgets":{"fill_choice_big-4":{"type":"fill_choice_big","options":["$52$","$50$","$55$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-96":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/obrazavr_svetofor-01.svg","width":"300"}},"hints":["Пусть $v$ км/ч — скорость первого автомобиля, тогда скорость второго автомобиля на первой половине пути равна $(v-13)$ км/ч. Примем расстояние между пунктами за $2S.$<br /><br />Время в пути для первого автомобиля: $$t_1 = \\frac{2S}{v}$$Время в пути для второго автомобиля: $$t_2 = \\frac{S}{v-13} + \\frac{S}{78}$$По условию задачи $t_1 = t_2,$ следовательно: $$\\frac{2S}{v} = \\frac{S}{v-13} + \\frac{S}{78}$$Сокращаем на $S$: $$\\frac{2}{v} = \\frac{1}{v-13} + \\frac{1}{78}$$Приводим к общему знаменателю: $$\\frac{2}{v} = \\frac{78 + (v-13)}{78(v-13)} = \\frac{v + 65}{78(v-13)}$$Перемножаем крест-накрест: $$2 \\cdot 78(v-13) = v(v + 65)$$ $$156v-2\\space028 = v^2 + 65v$$ $$v^2-91v + 2\\space028 = 0$$ $$v = \\frac{91 \\pm \\sqrt{91^2-4 \\cdot 2\\space028}}{2}$$ $$v= \\frac{91 \\pm \\sqrt{8\\space281-8\\space112}}{2}$$ $$ v=\\frac{91 \\pm \\sqrt{169}}{2} = \\frac{91 \\pm 13}{2}$$ $$v_1 = \\frac{104}{2} = 52$$ $$ \\quad v_2 = \\frac{78}{2} = 39$$ Так как по условию $v > 48$, то $v = 52$.<br />Ответ:  скорость первого автомобиля $52$ км/ч."]},{"content":"Из пункта $A$ в пункт $B,$ расстояние между которыми $75$ км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на $40\\spaceкм/ч$ больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт B на $6$ часов позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.[[fill_choice_big-56]][[image-145]]","widgets":{"fill_choice_big-56":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$12$","$15$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-145":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/na-velike-velosiped-01-2-3.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Пусть $v$ км/ч — скорость велосипедиста<br />$2.$ Тогда скорость автомобилиста: $(v + 40)$ км/ч<br />$3.$ Время в пути велосипедиста: $\\dfrac{75}{v}$ часов<br />$4.$ Время в пути автомобилиста: $\\dfrac{75}{v+40}$ часов<br />$5.$ По условию: $\\dfrac{75}{v}-\\dfrac{75}{v+40} = 6$<br /><br />Решаем уравнение:<br /><br />$$\\frac{75}{v}-\\frac{75}{v+40} = 6$$ $$\\frac{75(v+40)-75v}{v(v+40)} = 6$$ $$\\frac{75v + 3\\space000-75v}{v(v+40)} = 6$$ $$\\frac{3\\space000}{v(v+40)} = 6$$ $$3\\space000 = 6v(v+40)$$ $$500 = v(v+40)$$ $$v^2 + 40v-500 = 0$$<br />Решаем квадратное уравнение:<br /><br />$$v = \\dfrac{-40 \\pm \\sqrt{1\\space600 + 2\\space000}}{2}$$ $$v = \\frac{-40 \\pm \\sqrt{3\\space600}}{2} = \\dfrac{-40 \\pm 60}{2}$$ $$v_1 = 10$$ $$ v_2 = -50$$Так как скорость не может быть отрицательной, то $v = 10.$ Ответ: скорость велосипедиста равна $10\\ км/ч.$"]},{"content":"Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города $A$ в город $B,$ расстояние между которыми равно $70\\spaceкм.$ На следующий день он отправился обратно в $A$ со скоростью на $3\\spaceкм/ч$ больше прежней. По дороге он сделал остановку на $3$ часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $A$ в $B.$ Найдите скорость велосипедиста на пути из $B$ в $A.$ Ответ дайте в км/ч.[[fill_choice_big-146]][[image-211]]","widgets":{"fill_choice_big-146":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$12$","$13$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-211":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/na-velike-velosiped-01-2-3.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Время в пути из $A$ в $B{:}$ $\\dfrac{70}{v-3}.$<br /><br />$2.$ Время в пути из $B$ в $A{:}$ $\\dfrac{70}{v} + 3.$<br /><br />$3.$ По условию: $\\dfrac{70}{v-3} = \\dfrac{70}{v} + 3.$<br /><br />Решаем уравнение: $$\\dfrac{70}{v-3} = \\dfrac{70}{v} + 3$$ $$\\dfrac{70}{v-3} = \\dfrac{70 + 3v}{v}$$ $$70v = 70(v-3) + 3v(v-3)$$ $$70v = 70v-210 + 3v^2 — 9v$$ $$3v^2-9v-210 = 0$$ $$v^2-3v-70 = 0$$ Решаем квадратное уравнение: $$v = \\frac{3 \\pm \\sqrt{9 + 280}}{2} = \\frac{3 \\pm \\sqrt{289}}{2} = \\frac{3 \\pm 17}{2}$$ $$v_1 = 10$$ $$\\quad v_2 = -7$$Так как скорость не может быть отрицательной, то $v = 10.$ <br />Ответ: скорость велосипедиста на пути из $B$ в $A$ равна $10\\ км/ч.$"]},{"content":"Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города $A$ в город $B,$ расстояние между которыми равно $98\\space км.$ На следующий день он отправился обратно со скоростью на $7\\spaceкм/ч$ больше прежней. По дороге он сделал остановку на $7$ часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $A$ в $B.$ Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.[[fill_choice_big-247]][[image-268]]","widgets":{"fill_choice_big-247":{"type":"fill_choice_big","options":["$7$","$11$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-268":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/gorod-lyudi-zanyatoj-mashiny-1-1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Время в пути из $A$ в $B{:}$ $\\dfrac{98}{v}.$<br /><br />$2.$ Время в пути из $B$ в $A{:}$ $\\dfrac{98}{v+7} + 7.$<br /><br />$3.$ По условию: $\\frac{98}{v} = \\dfrac{98}{v+7} + 7.$<br /><br />Решаем уравнение:<br />$$\\frac{98}{v} = \\frac{98}{v+7} + 7$$ $$\\frac{98}{v} = \\frac{98 + 7(v+7)}{v+7}$$ $$\\frac{98}{v} = \\frac{98 + 7v + 49}{v+7}$$ $$\\frac{98}{v} = \\frac{147 + 7v}{v+7}$$ $$98(v+7) = v(147 + 7v)$$ $$98v + 686 = 147v + 7v^2$$ $$7v^2 + 49v-686 = 0$$ $$v^2 + 7v — 98 = 0$$<br />Решаем квадратное уравнение:<br /><br />$$v = \\frac{-7 \\pm \\sqrt{49 + 392}}{2} = \\frac{-7 \\pm \\sqrt{441}}{2} = \\frac{-7 \\pm 21}{2}$$ $$v_1 = 7$$ $$ v_2 = -14$$Так как скорость не может быть отрицательной, то $v = 7.$<br /><br />Ответ: скорость велосипедиста на пути из $A$ в $B$ равна $7\\ км/ч.$"]},{"content":"Два велосипедиста одновременно отправились в $240$-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на $1\\spaceкм/ч$ большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на $1$ час раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.[[fill_choice_big-764]][[image-329]]","widgets":{"fill_choice_big-764":{"type":"fill_choice_big","options":["$16$","$26$","$19$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-329":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/bicycle-1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Время первого велосипедиста: $\\dfrac{240}{v+1}.$<br /><br />$2.$ Время второго велосипедиста: $\\dfrac{240}{v}.$<br /><br />$3.$ По условию: $\\dfrac{240}{v}-\\dfrac{240}{v+1} = 1.$<br /><br />Решаем уравнение: $$\\frac{240}{v}-\\frac{240}{v+1} = 1$$ $$\\frac{240(v+1)-240v}{v(v+1)} = 1$$ $$\\frac{240v + 240-240v}{v(v+1)} = 1$$ $$\\frac{240}{v(v+1)} = 1$$ $$240 = v(v+1)$$ $$v^2 + v-240 = 0$$Решаем квадратное уравнение:$$v = \\frac{-1 \\pm \\sqrt{1 + 960}}{2} = \\frac{-1 \\pm \\sqrt{961}}{2} = \\frac{-1 \\pm 31}{2}$$ $$v_1 = 15$$ $$v_2 = -16$$ Так как скорость не может быть отрицательной, то $v = 15.$<br />Скорость первого велосипедиста: $v + 1 = 15 + 1 = 16.$<br /><br />Ответ: скорость первого велосипедиста равна $16\\ км/ч.$"]},{"content":"Расстояние между городами $A$ и $B$ равно $435\\spaceкм.$ Из города $A$ в город $B$ со скоростью $60\\spaceкм/ч$ выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города B выехал со скоростью $65\\spaceкм/ч$ второй автомобиль. На каком расстоянии от города $A$ автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.[[fill_choice_big-686]][[image-394]]","widgets":{"fill_choice_big-686":{"type":"fill_choice_big","options":["$240$","$242$","$250$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-394":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/mashina-01.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ За первый час первый автомобиль проехал: $$60 \\cdot 1 = 60\\ км$$ $2.$ Оставшееся расстояние: $$435-60 = 375\\ км$$ $3.$ Скорость сближения автомобилей: $$60 + 65 = 125\\ км/ч$$ $4.$ Время до встречи после выезда второго автомобиля: $$\\frac{375}{125} = 3\\ ч$$ $5.$ Общее время движения первого автомобиля: $$1 + 3 = 4\\ ч$$ $6.$ Расстояние от города A до места встречи: $$60 \\cdot 4 = 240\\ км$$ Ответ: автомобили встретятся на расстоянии $240\\ км$ от города $A.$"]},{"content":"Расстояние между городами $A$ и $B$ равно $470\\spaceкм.$ Из города $A$ в город $B$ выехал первый автомобиль, а через $3$ часа после этого навстречу ему из города $B$ выехал со скоростью $60\\spaceкм/ч$ второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии $350\\spaceкм$ от города $A$. Ответ дайте в км/ч.<br /><br />[[fill_choice_big-617]][[image-463]]","widgets":{"fill_choice_big-617":{"type":"fill_choice_big","options":["$70$","$75$","$77$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-463":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/probka.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Расстояние, пройденное вторым автомобилем до встречи:<br /> $$470-350 = 120\\ км$$ $2.$ Время движения второго автомобиля: $$t_2 = \\frac{120}{60} = 2\\ ч$$ $3.$ Время движения первого автомобиля: $$t_1 = t_2 + 3 = 2 + 3 = 5\\ ч$$ $4.$ Скорость первого автомобиля: $$v_1 = \\frac{350}{5} = 70\\ км/ч$$ Ответ: скорость первого автомобиля равна $70\\ км/ч.$"]},{"content":"Из городов $A$ и $B$ навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в $B$ на $3$ часа раньше, чем велосипедист приехал в $A,$ а встретились они через $48$ минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из пункта $B$ в пункт $A$ велосипедист?[[fill_choice_big-557]][[image-536]]","widgets":{"fill_choice_big-557":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$5$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-536":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/italiya-3.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Пусть $x$ — время велосипедиста из $B$ в $A.$<br /><br />$2.$ Тогда время мотоциклиста: $x-3.$<br /><br />$3.$ Скорость велосипедиста: $\\dfrac{1}{x}.$<br /><br />$4.$ Скорость мотоциклиста: $\\dfrac{1}{x-3}.$ <br />$5.$ Путь велосипедиста до встречи: $$\\dfrac{1}{x} \\cdot \\dfrac{4}{5} = \\dfrac{4}{5x}$$ $6.$ Путь мотоциклиста до встречи: $$\\dfrac{1}{x-3} \\cdot \\dfrac{4}{5} = \\dfrac{4}{5(x-3)}$$ $7.$ Сумма путей до встречи равна $1$: $$\\dfrac{4}{5x} + \\dfrac{4}{5(x-3)} = 1$$ $8.$ Умножаем на $5x(x-3)$: $$4(x-3) + 4x = 5x(x-3)$$ $9.$ Раскрываем скобки: $$4x-12 + 4x = 5x^2-15x$$ $10.$ Приводим к стандартному виду:$$5x^2-23x + 12 = 0$$ $11.$ Решаем квадратное уравнение:<br />$$D = 23^2-4 \\cdot 5 \\cdot 12 = 529-240 = 289$$ $$x_1 = \\frac{23-17}{10} = \\frac{6}{10} = \\frac{3}{5}$$ — не подходит;$$x_2 = \\frac{23 + 17}{10} = \\frac{40}{10} = 4$$ Ответ: велосипедист затратил $4$ часа на путь из пункта $B$ в пункт $A.$"]},{"content":"Товарный поезд каждую минуту проезжает на $750$ метров меньше, чем скорый, и на путь в $180\\spaceкм$ тратит времени на $2$ часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.<br />[[fill_choice_big-506]][[image-613]]","widgets":{"fill_choice_big-506":{"type":"fill_choice_big","options":["$45$","$43$","$37$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-613":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/poezd.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ За $1$ минуту товарный поезд проезжает на $0,75\\ км$ меньше.<br /><br />$2.$ За $1$ час $(60$ минут$)$ товарный поезд проезжает меньше на: $$0,75 \\cdot 60 = 45\\ км$$ $3.$ Пусть $v_t$ — скорость товарного поезда.<br /><br />$4.$ Тогда скорость скорого поезда: $v_t + 45\\ км/ч.$<br /><br />$5.$ Время товарного поезда: $t_t = \\dfrac{180}{v_t}.$<br /><br />$6.$ Время скорого поезда: $t_s = \\dfrac{180}{v_t + 45}.$<br /><br />$7.$ По условию: $t_t-t_s = 2.$<br /><br />$8.$ Составляем уравнение:<br /> $$\\frac{180}{v_t}-\\frac{180}{v_t + 45} = 2$$ $9.$ Приводим к общему знаменателю: $$\\frac{180(v_t + 45)-180v_t}{v_t(v_t + 45)} = 2$$$10.$ Упрощаем числитель: $$\\frac{180v_t + 8\\space100-180v_t}{v_t(v_t + 45)} = 2$$ $11.$ Получаем: $$\\frac{8\\space100}{v_t(v_t + 45)} = 2$$ $12.$ Умножаем обе части на знаменатель: $$8\\space100 = 2v_t(v_t + 45)$$ $13.$ Раскрываем скобки: $$8\\space100 = 2v_t^2 + 90v_t$$ $14.$ Делим на 2: $$4\\space050 = v_t^2 + 45v_t$$ $15.$ Приводим к стандартному виду: $$v_t^2 + 45v_t-4\\space050 = 0$$ $16.$ Решаем квадратное уравнение: $$D = 45^2 + 4 \\cdot 4\\space050 = 2\\space025 + 16\\space200 = 18\\space225$$ $$v_t = \\frac{-45 + \\sqrt{18\\space225}}{2} = \\frac{-45 + 135}{2} = \\frac{90}{2} = 45$$ Ответ: скорость товарного поезда равна $45\\ км/ч.$"]}]}

{"questions":[{"content":"Два пешехода отправляются одновременно в одном направлении из одного и того же места на прогулку по аллее парка. Скорость первого на $1.5\\spaceкм/ч$ больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между пешеходами станет равным $300$ метрам?[[fill_choice_big-1]][[image-31]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$11$","$10$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-31":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/10/quiet-tishina-golubi-pticza-park-01.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Переведем разницу скоростей в метры в минуту: $$1,5\\ км/ч = 1500\\ м/ч$$ $$1500\\ м/ч : 60\\ мин = 25\\ м/мин$$ $2.$ Используем формулу для нахождения времени: $$t = \\frac{S}{V}$$ $3.$ Подставляем значения:<br />$$t = \\frac{300\\ м}{25\\ м/мин} = 12\\ мин$$ Ответ: расстояние между пешеходами станет равным $300\\ м$ через $12$ минут.<br />"]},{"content":"Первый велосипедист выехал из поселка по шоссе со скоростью $15\\spaceкм/ч.$ Через час после него со скоростью $10\\spaceкм/ч$ из того же поселка в том же направлении выехал второй велосипедист, а еще через час после этого  — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через $2$ часа $20$ минут после этого догнал первого. Ответ дайте в км/ч.[[fill_choice_big-7]][[image-76]]","widgets":{"fill_choice_big-7":{"type":"fill_choice_big","options":["$25$","$21$","$22$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-76":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/na-velike-velosiped-01-2-3.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Пусть $x$ — скорость третьего велосипедиста.<br /><br />$2.$ Третий выехал через $2\\ ч$ после первого.<br /><br />$3.$ За эти $2\\ ч$ первый проехал: $15 \\cdot 2 = 30\\ км.$<br /><br />$4.$ Второй выехал через $1\\ ч$ после первого, значит, проехал: $10 \\cdot 1 = 10\\ км.$<br /><br />$5.$ Третий догоняет второго:<br /> $\\dfrac{10}{x-10}$ — время до встречи со вторым.<br /><br />$6.$ Третий догоняет первого:<br /> $\\dfrac{30}{x-15}$ — время до встречи с первым.<br /><br />$7.$ По условию:<br />$$\\frac{30}{x-15} = \\frac{10}{x-10} + \\frac{7}{3}$$ $8.$ Приводим к общему знаменателю: $$\\frac{30(x-10)-10(x-15)}{(x-15)(x-10)} = \\frac{7}{3}$$ $9.$ Упрощаем числитель: $$\\frac{30x-300-10x + 150}{(x-15)(x-10)} = \\frac{7}{3}$$ $10.$ Получаем: $$\\frac{20x-150}{(x-15)(x-10)} = \\frac{7}{3}$$ $11.$ Умножаем обе части на $3(x-15)(x-10){:}$ $$60x-450 = 7(x^2-25x + 150)$$ $12.$ Раскрываем скобки: $$60x-450 = 7x^2-175x + 1\\space050$$ $13.$ Приводим к стандартному виду: $$7x^2-235x + 1\\space500 = 0$$ $14.$ Решаем квадратное уравнение: $$D = 235^2-4 \\cdot 7 \\cdot 1\\space500 = 55\\space225-42\\space000 = 13\\space225$$ $$x_1 = \\frac{235-\\sqrt{13\\space225}}{14} = \\frac{235-115}{14} = \\frac{120}{14} = \\frac{60}{7}$$ $x_1$ — не подходит;$$x_2 = \\frac{235 + \\sqrt{13\\space225}}{14} = \\frac{235 + 115}{14} = \\frac{350}{14} = 25$$Ответ: скорость третьего велосипедиста равна $25\\ км/ч.$"]},{"content":"Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью $74\\spaceкм/ч,$ а вторую половину времени  — со скоростью $66\\spaceкм/ч.$ Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.[[fill_choice_big-40]][[image-125]]","widgets":{"fill_choice_big-40":{"type":"fill_choice_big","options":["$70$","$64$","$60$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-125":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/mashina_derevnya-1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Пусть половина времени равна $x$ часов.<br />$2.$ Тогда все время: $2x$ часов.<br />$3.$ За первую половину времени автомобиль проехал: $$S_1 = 74x\\ км$$ $4.$ За вторую половину времени автомобиль проехал:$$S_2 = 66x\\ км$$ $5.$ Общий путь:$$S = S_1 + S_2 = 74x + 66x = 140x\\ км$$ $6.$ Средняя скорость находится по формуле: $$v_{ср} = \\frac{S}{t}$$ $7.$ Подставляем значения: $$v_{ср} = \\frac{140x}{2x} = \\frac{140}{2} = 70\\ км/ч$$Ответ: средняя скорость автомобиля равна $70\\ км/ч.$"]},{"content":"Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью $60\\spaceкм/ч,$ вторую треть  — со скоростью $120\\spaceкм/ч,$ а последнюю  — со скоростью $110\\spaceкм/ч.$ Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.[[fill_choice_big-133]][[image-178]]","widgets":{"fill_choice_big-133":{"type":"fill_choice_big","options":["$88$","$78$","$84$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-178":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/06/bolid-01.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Пусть весь путь равен $x$ $км.$<br /><br />$2.$ Каждый участок пути равен $\\dfrac{x}{3}$ $км.$<br /><br />$3.$ Время на первом участке: $t_1 = \\dfrac{x/3}{60} = \\dfrac{x}{180}$ $часов.$<br /><br />$4.$ Время на втором участке: $t_2 = \\dfrac{x/3}{120} = \\dfrac{x}{360}$ $часов.$<br /><br />$5.$ Время на третьем участке: $t_3 = \\dfrac{x/3}{110} = \\dfrac{x}{330}$ $часов.$<br /><br />$6.$ Средняя скорость находится по формуле:<br /> $$v_{ср} = \\dfrac{S}{t} = \\frac{3}{\\frac{1}{60} + \\frac{1}{120} + \\frac{1}{110}}$$ $7.$ Приводим к общему знаменателю: $$v_{ср} = \\frac{3 \\cdot 120 \\cdot 11}{22 + 11 + 12} = \\frac{3\\space960}{45} = 88\\ км/ч$$<br />Ответ: средняя скорость автомобиля равна $88\\ км/ч.$"]},{"content":"Первые два часа автомобиль ехал со скоростью $50\\spaceкм/ч,$ следующий час  — со скоростью $100\\spaceкм/ч,$ а затем два часа  — со скоростью $75\\spaceкм/ч.$ Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.[[fill_choice_big-213]][[image-235]]","widgets":{"fill_choice_big-213":{"type":"fill_choice_big","options":["$70$","$72$","$77$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-235":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/bezhit-beg-sport-01-2.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Находим путь на каждом участке:<br /> $$S_1 = 50 \\cdot 2 = 100\\ км$$  $$S_2 = 100 \\cdot 1 = 100\\ км$$ $$S_3 = 75 \\cdot 2 = 150\\ км$$ $2.$ Общий путь:<br /> $$S = S_1 + S_2 + S_3 = 100 + 100 + 150 = 350\\ км$$ $3.$ Общее время: $$t = 2 + 1 + 2 = 5\\ ч$$ $4.$ Средняя скорость находится по формуле: $$v_{ср} = \\frac{S}{t} = \\frac{350}{5} = 70\\ км/ч$$ Ответ: средняя скорость автомобиля равна $70\\ км/ч.$"]},{"content":"Первые $190\\spaceкм$ автомобиль ехал со скоростью $50\\spaceкм/ч,$ следующие $180\\spaceкм$  — со скоростью $90\\spaceкм/ч,$ а затем $170\\spaceкм$  — со скоростью $100\\spaceкм/ч.$ Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.[[fill_choice_big-300]][[image-296]]","widgets":{"fill_choice_big-300":{"type":"fill_choice_big","options":["$72$","$71$","$73$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-296":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/obrazavr_deyatelnost_dop-03-2.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Находим общее расстояние:<br /> $$S = S_1 + S_2 + S_3 = 190 + 180 + 170 = 540\\ км$$ $2.$ Находим время на каждом участке:<br /> $$t_1 = \\frac{190}{50} = 3,8\\ ч$$ $$t_2 = \\frac{180}{90} = 2\\ ч$$ $$t_3 = \\frac{170}{100} = 1.7\\ ч$$<br />$3.$ Общее время: $$t = t_1 + t_2 + t_3 = 3.8 + 2 + 1.7 = 7.5\\ ч$$ $4.$ Средняя скорость находится по формуле:<br /> $$v_{ср} = \\frac{S}{t} = \\frac{540}{7.5} = 72\\ км/ч$$ Ответ: средняя скорость автомобиля равна $72\\ км/ч.$"]},{"content":"Поезд, двигаясь равномерно со скоростью $80\\spaceкм/ч,$ проезжает мимо придорожного столба за $36$ секунд. Найдите длину поезда в метрах.[[fill_choice_big-434]][[image-361]]","widgets":{"fill_choice_big-434":{"type":"fill_choice_big","options":["$800$","$780$","$790$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-361":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/station-1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Переведем скорость из км/ч в м/с:<br /> $$v = 80\\ км/ч = \\frac{80 \\cdot 1\\space000}{3\\space600}$$  $$v= \\frac{80\\space000}{3\\space600} = \\frac{800}{36} = \\frac{200}{9}\\ м/с$$ $2.$ Длина поезда равна произведению скорости на время: $$L = v \\cdot t = \\frac{200}{9} \\cdot 36 = 200 \\cdot 4 = 800\\ м$$Ответ: длина поезда составляет $800\\ м.$"]},{"content":"Поезд, двигаясь равномерно со скоростью $60\\spaceкм/ч,$ проезжает мимо лесополосы, длина которой равна $400$ метрам, за $1$ минуту. Найдите длину поезда в метрах.[[fill_choice_big-578]][[image-430]]","widgets":{"fill_choice_big-578":{"type":"fill_choice_big","options":["$600$","$520$","$780$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-430":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/05/stancziya-poezd-ostanovka-elektrichka.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ За 1 минуту поезд проходит расстояние, равное $1\\spaceкм,$ так как:<br /> $v = 60\\ км/ч \\Rightarrow$ за $1$ час $(3\\space600\\spaceс)$ проходит $60\\spaceкм$<br /> $\\Rightarrow$ за $60$ с проходит $\\dfrac{60}{3\\space600} \\cdot 60 = 1\\ км = 1\\space000\\ м.$<br /><br />$2.$ За это время поезд проходит расстояние, равное сумме длин лесополосы и самого поезда: $$S = L_{лес} + L_{поезда}$$ $3.$ По формуле пути:<br /> $$S = v \\cdot t = 1\\space000\\ м$$ $4.$ Находим длину поезда:<br /> $$L_{поезда} = S-L_{лес} = 1\\space000-400 = 600\\ м$$ Ответ: длина поезда равна $600\\ м.$"]},{"content":"Дорога между пунктами $А$ и $В$ состоит из подъема и спуска, а ее длина равна $8\\spaceкм.$ Турист прошел путь из $А$ в $В$ за $5$ часов. Время его движения на спуске составило $1$ час. С какой скоростью турист шёл на спуске, если скорость его движения на подъеме меньше скорости движения на спуске на $3\\spaceкм/ч?$[[fill_choice_big-727]][[image-503]]","widgets":{"fill_choice_big-727":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$5$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-503":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/obrazavr_poznanie-03.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Пусть скорость на спуске равна $x\\ км/ч$.<br />$2.$ Тогда скорость на подъеме равна $(x-3)\\ км/ч$.<br />$3.$ Время на подъеме: $5-1=4\\ ч$.<br />$4.$ Длина спуска: $x \\cdot 1 = x\\ км$.<br />$5.$ Длина подъема: $$(x-3) \\cdot 4 = 4(x-3)\\ км$$ $6.$ Составляем уравнение: $$x + 4(x-3) = 8$$ $7.$ Решаем уравнение:<br /> $$x + 4x-12 = 8$$ $$5x = 20$$ $$x = 4$$ Ответ: скорость туриста на спуске равна $4\\ км/ч.$"]},{"content":"Иван и Алексей договорились встретиться в Москве. Иван звонит Алексею и узнаёт, что тот находится в $275\\spaceкм$ от Москвы и едет с постоянной скоростью $75\\spaceкм/ч.$ Иван в момент разговора находится в $255\\spaceкм$ от Москвы и еще должен по дороге сделать $50$-минутную остановку. С какой скоростью должен ехать Иван, чтобы прибыть в Москву одновременно с Алексеем?<br />[[fill_choice_big-922]][[image-580]]","widgets":{"fill_choice_big-922":{"type":"fill_choice_big","options":["$90$","$85$","$75$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-580":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/krasnaya-ploshchad.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Найдем время, за которое Алексей доедет до Москвы:<br />$$t_A = \\frac{275}{75} = \\frac{11}{3}\\ ч = 3\\ ч\\ 40\\ мин$$ $2.$ У Ивана есть остановка $50$ минут, значит, на движение у него остается: $$t_И = 3\\ ч\\ 40\\ мин-50\\ мин = 2\\ ч\\ 50\\ мин = \\frac{17}{6}\\ ч$$ $3.$ Иван должен проехать $255$ км за $\\dfrac{17}{6}$ часа, значит, его скорость должна быть: $$v = \\frac{255}{\\frac{17}{6}} = 255 \\cdot \\frac{6}{17} = 90\\ км/ч$$ Ответ: Иван должен ехать со скоростью $90\\ км/ч.$"]}]}

{"questions":[{"content":"Моторная лодка прошла против течения реки $112\\spaceкм$ и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на $6$ часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна $11\\spaceкм/ч.$ Ответ дайте в км/ч.<br />[[fill_choice_big-1]][[image-111]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$5$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-111":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/rychagi14_1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Пусть время движения против течения: $(x+6)\\ ч.$<br />$2.$ Время движения по течению: $x\\ ч.$<br />$3.$ Скорость против течения: $11-v\\ км/ч.$<br />$4.$ Скорость по течению: $11+v\\ км/ч.$<br />$5.$ Составим уравнения:<br />$$\\dfrac{112}{x+6} = 11-v$$ $$\\dfrac{112}{x} = 11+v$$ $6.$ Сложим эти уравнения: $$\\frac{112}{x+6} + \\frac{112}{x} = 22$$ $7.$ Упростим:<br />$$112x + 112(x+6) = 22x(x+6)$$ $$56x + 56(x+6) = 11x(x+6)$$ $$56x + 56x + 336 = 11x^2 + 66x$$ $$11x^2-46x — 336 = 0$$ $8.$ Решаем квадратное уравнение: $$D = (-46)^2-4 \\cdot 11 \\cdot (-336) = 16\\space900$$ $$\\sqrt{D} = 130$$ $9.$ Находим корни: $$x_1 = \\frac{46 + 130}{22} = 8$$ $$x_2 = \\frac{46-130}{22} = -\\frac{42}{11}$$ $10.$ Берем положительный корень $x = 8.$ <br />$11.$ Находим скорость течения:$$\\frac{112}{8} = 11+v$$ $$14 = 11+v$$ $$v = 3\\ км/ч$$ Ответ: скорость течения равна $3\\ км/ч.$"]},{"content":"Моторная лодка прошла против течения реки $255\\spaceкм$ и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на $2$ часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна $1\\space км/ч.$ Ответ дайте в км/ч.[[fill_choice_big-56]][[image-156]]","widgets":{"fill_choice_big-56":{"type":"fill_choice_big","options":["$16$","$11$","$14$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-156":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/lodka-1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Скорость против течения: $x-1\\ км/ч.$<br /><br />$2.$ Скорость по течению: $x+1\\ км/ч.$<br /><br />$3.$ Время против течения: $\\dfrac{255}{x-1}\\ ч.$<br /><br />$4.$ Время по течению: $\\dfrac{255}{x+1}\\ ч.$<br /><br />$5.$ Составим уравнение:<br />$$\\frac{255}{x-1}-\\frac{255}{x+1} = 2$$ $6.$ Приводим к общему знаменателю: $$\\frac{255(x+1)-255(x-1)}{(x-1)(x+1)} = 2$$ $7.$ Упрощаем числитель: $$\\frac{255x + 255-255x + 255}{x^2-1} = 2$$ $8.$ Получаем: $$\\frac{510}{x^2-1} = 2$$ $9.$ Решаем:$$510 = 2(x^2-1)$$ $$255 = x^2-1$$ $$x^2 = 256$$ $$x = 16$$ Ответ: скорость лодки в неподвижной воде равна $16\\ км/ч.$"]},{"content":"Моторная лодка в $10:00$ вышла из пункта $A$ в пункт $B,$ расположенный в $30\\spaceкм$ от $A.$  Пробыв в пункте $B$ $2$ часа $30$ минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт $A$ в $18:00.$ Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки $1\\spaceкм/ч.$[[fill_choice_big-41]][[image-205]]","widgets":{"fill_choice_big-41":{"type":"fill_choice_big","options":["$11$","$12$","$10$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-205":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/10/angliya-dom-doma-zdaniya-zdanie_15.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Найдем общее время в пути:<br />$18:00-10:00-2.5\\ ч = 5.5\\ ч$<br /><br />$2.$ Скорость против течения: $x-1\\ км/ч.$<br />$3.$ Скорость по течению: $x+1\\ км/ч.$<br /><br />$4.$ Составим уравнение:<br />$$\\frac{30}{x-1} + \\frac{30}{x+1} = 5.5$$ $5.$ Приводим к общему знаменателю:$$\\frac{30(x+1) + 30(x-1)}{(x-1)(x+1)} = 5.5$$ $6.$ Упрощаем: $$\\frac{30x + 30 + 30x-30}{x^2-1} = 5.5$$ $$\\frac{60x}{x^2-1} = 5.5$$ $7.$ Решаем:<br />$$60x = 5.5(x^2-1)$$ $$60x = 5.5x^2-5.5$$ $$5.5x^2-60x-5.5 = 0$$ $8.$ Умножаем на 2 для удобства:$$11x^2-120x-11 = 0$$ $9.$ Решаем квадратное уравнение: $$x = \\frac{60 \\pm \\sqrt{3\\space600 + 121}}{11}$$ $$x = \\frac{60 \\pm 61}{11}$$ $10.$ Получаем корни: $$x_1 = \\frac{121}{11} = 11$$ $$x_2 = \\frac{-1}{11}$$ $x_2$ — не подходит. <br /><br />Ответ: собственная скорость лодки равна $11\\ км/ч.$"]},{"content":"Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения $200\\spaceкм$ и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна $15\\spaceкм/ч,$ стоянка длится $10$ часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через $40$ часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.[[fill_choice_big-305]][[image-258]]","widgets":{"fill_choice_big-305":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$4$","$7$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-258":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/yahta-lodka-korabl.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Скорость по течению: $15 + u\\ км/ч$<br />$2.$ Скорость против течения: $15-u\\ км/ч$<br /><br />$3.$ Время в пути без учета стоянки: $$40-10 = 30\\ ч$$ $4.$ Составим уравнение: $$\\frac{200}{15-u} + \\frac{200}{15+u} = 30$$ $5.$ Приводим к общему знаменателю: $$\\frac{200(15+u) + 200(15-u)}{(15-u)(15+u)} = 30$$ $6.$ Упрощаем: $$\\frac{200 \\cdot 15 + 200u + 200 \\cdot 15-200u}{225-u^2} = 30$$ $$\\frac{200 \\cdot 30}{225-u^2} = 30$$ $7.$ Решаем:$$\\frac{6\\space000}{225-u^2} = 30$$ $$6\\space000 = 30(225-u^2)$$ $$200 = 225-u^2$$ $$u^2 = 25$$ $$u = 5$$ Ответ: скорость течения реки равна $5\\ км/ч.$"]},{"content":"Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения $255\\spaceкм$ и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна $1\\spaceкм/ч,$ стоянка длится $2$  $часа$, а в пункт отправления теплоход возвращается через $34$ $часа$ после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.[[fill_choice_big-152]][[image-315]]","widgets":{"fill_choice_big-152":{"type":"fill_choice_big","options":["$16$","$14$","$18$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-315":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/07/korabl-kapitan-matros-01.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Скорость по течению: $u + 1\\ км/ч$<br />$2.$ Скорость против течения: $u-1\\ км/ч$<br /><br />$3.$ Время в пути без учета стоянки:<br />$$34-2 = 32\\ ч$$ $4.$ Составим уравнение: $$\\frac{255}{u+1} + \\frac{255}{u-1} = 32$$ $5.$ Приводим к общему знаменателю: $$\\frac{255(u-1) + 255(u+1)}{(u-1)(u+1)} = 32$$ $6.$ Упрощаем:$$\\frac{255u-255 + 255u + 255}{u^2-1} = 32$$ $$\\frac{510u}{u^2-1} = 32$$ $7.$ Решаем: $$510u = 32(u^2-1)$$ $$510u = 32u^2-32$$ $$32u^2-510u-32 = 0$$ $8.$ Решаем квадратное уравнение: $$u = \\frac{510 \\pm \\sqrt{510^2 + 4 \\cdot 32^2}}{2 \\cdot 32}$$ $$u = \\frac{510 \\pm \\sqrt{260\\space100 + 4\\space096}}{64}$$ $$u = \\frac{510 \\pm \\sqrt{264\\space196}}{64}$$ $$u = \\frac{510 \\pm 514}{64}$$ $9.$ Получаем корни:$$u_1 = \\frac{1\\space024}{64} = 16$$ $$u_2 = \\frac{-4}{64} = -\\frac{1}{16}$$ $u_2$ — не подходит.<br /><br />Ответ: скорость теплохода в неподвижной воде равна $16\\ км/ч.$"]},{"content":"От пристани $A$ к пристани $B$ отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через $1$ $час$ после этого следом за ним со скоростью на $1\\space км/ч$ большей отправился второй. Расстояние между пристанями равно $420\\spaceкм.$ Найдите скорость первого теплохода, если в пункт B оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.[[fill_choice_big-347]][[image-391]]","widgets":{"fill_choice_big-347":{"type":"fill_choice_big","options":["$20$","$22$","$23$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-391":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/plavaniesudov2.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Время в пути первого теплохода: $\\dfrac{420}{v}.$<br /><br />$2.$ Время в пути второго теплохода: $\\dfrac{420}{v+1}.$<br /><br />$3.$ Так как второй теплоход отправился на час позже, но прибыл одновременно, разница во времени равна $1$ $часу:$ $$\\frac{420}{v}-\\frac{420}{v+1} = 1$$ $4.$ Приводим к общему знаменателю: $$\\frac{420(v+1)-420v}{v(v+1)} = 1$$ $5.$ Упрощаем: $$\\frac{420v + 420-420v}{v(v+1)} = 1$$ $$\\frac{420}{v(v+1)} = 1$$ $6.$ Решаем: $$420 = v(v+1)$$ $$v^2 + v-420 = 0$$ $7.$ Решаем квадратное уравнение: $$v = \\frac{-1 \\pm \\sqrt{1 + 4 \\cdot 420}}{2}$$ $$v = \\frac{-1 \\pm \\sqrt{1\\space681}}{2}$$ $$v = \\frac{-1 \\pm 41}{2}$$ $8.$ Получаем корни:<br />$$v_1 = \\frac{40}{2} = 20$$ $$v_2 = \\frac{-42}{2} = -21$$ $v_2$ — не подходит.<br /><br />Ответ: скорость первого теплохода равна $20\\ км/ч.$"]},{"content":"От пристани $A$ к пристани $B$ отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через $1$ $час$ после этого следом за ним со скоростью на $1$ $км/ч$ большей отправился второй. Расстояние между пристанями равно $110 \\spaceкм.$ Найдите скорость второго теплохода, если в пункт $B$ он прибыл одновременно с первым.<br />Ответ дайте в км/ч.[[fill_choice_big-403]][[image-456]]","widgets":{"fill_choice_big-403":{"type":"fill_choice_big","options":["$11$","$10$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-456":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/yahta-lodka-korabl.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Время в пути первого теплохода: $\\dfrac{110}{v}.$<br />$2.$ Время в пути второго теплохода: $\\dfrac{110}{v+1}.$<br /><br />$3.$ Так как второй теплоход отправился на час позже, но прибыл одновременно, разница во времени равна $1$ часу: $$\\frac{110}{v}-\\frac{110}{v+1} = 1$$ $4.$ Приводим к общему знаменателю: $$\\frac{110(v+1)-110v}{v(v+1)} = 1$$ $5.$ Упрощаем: $$\\frac{110v + 110-110v}{v(v+1)} = 1$$ $$\\frac{110}{v(v+1)} = 1$$ $6.$ Решаем: $$110 = v(v+1)$$ $$v^2 + v-110 = 0$$ $7.$ Решаем квадратное уравнение: $$v = \\frac{-1 \\pm \\sqrt{1 + 4 \\cdot 110}}{2}$$ $$v = \\frac{-1 \\pm \\sqrt{441}}{2}$$ $$v = \\frac{-1 \\pm 21}{2}$$ $8.$ Получаем корни:<br />$$v_1 = \\frac{20}{2} = 10$$ $$v_2 = \\frac{-22}{2} = -11$$ $v_2$ — не подходит.<br /><br />Ответ: скорость первого теплохода равна $10\\ км/ч$, следовательно, скорость второго теплохода: $10 + 1 = 11\\ км/ч.$"]},{"content":"Баржа в $10:00$ вышла из пункта $A$ в пункт $B,$ расположенный в $15\\spaceкм$ от $A.$  Пробыв в пункте $B$ $1$ час $20$ минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт $A$ в $16:00$ того же дня. Определите скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна   $7\\spaceкм/ч.$[[fill_choice_big-561]][[image-525]]","widgets":{"fill_choice_big-561":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$6$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-525":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/07/korabl-kapitan-matros-01.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Скорость по течению: $7 + u\\ км/ч.$<br />$2.$ Скорость против течения: $7-u\\ км/ч.$<br />$3.$ Время в пути без учета стоянки: $$6-\\frac{4}{3} = \\frac{18}{3}-\\frac{4}{3} = \\frac{14}{3}\\ ч$$ $4.$ Составим уравнение:$$\\frac{15}{7-u} + \\frac{15}{7+u} = \\frac{14}{3}$$ $5.$ Приводим к общему знаменателю:$$\\frac{15(7+u) + 15(7-u)}{(7-u)(7+u)} = \\frac{14}{3}$$ $6.$ Упрощаем: $$\\frac{15 \\cdot 7 + 15u + 15 \\cdot 7-15u}{49-u^2} = \\frac{14}{3}$$ $$\\frac{15 \\cdot 14}{49-u^2} = \\frac{14}{3}$$ $7.$ Решаем: $$\\frac{210}{49-u^2} = \\frac{14}{3}$$ $$210 \\cdot 3 = 14(49-u^2)$$ $$630 = 686-14u^2$$ $$14u^2 = 56$$ $$u^2 = 4$$ $$u = 2$$ Ответ: скорость течения реки равна $2\\ км/ч.$"]},{"content":"Пристани $A$ и $B$ расположены на озере, расстояние между ними $390\\spaceкм.$ Баржа отправилась с постоянной скоростью из $A$ в $B.$ На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на $3\\spaceкм/ч$ больше прежней, сделав по пути остановку на $9$ часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из $A$ в $B.$  Найдите скорость баржи на пути из $A$ в $B.$ Ответ дайте в км/ч.[[fill_choice_big-902]][[image-598]]","widgets":{"fill_choice_big-902":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$12$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-598":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/utki-prud-01-2.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Время в пути из $A$ в $B{:}$ $\\dfrac{390}{u}.$<br /><br />$2.$ Время в пути из $B$ в $A{:}$ $\\dfrac{390}{u+3}.$<br /><br />$3.$ Составим уравнение:<br />$$\\frac{390}{u} = \\frac{390}{u+3} + 9$$ $4.$ Приводим к общему знаменателю:$$\\frac{390}{u} = \\frac{390 + 9(u+3)}{u+3}$$ $5.$ Упрощаем: $$\\frac{390}{u} = \\frac{390 + 9u + 27}{u+3}$$ $$\\frac{390}{u} = \\frac{417 + 9u}{u+3}$$ $6.$ Решаем: $$390(u+3) = u(417 + 9u)$$ $$390u + 1\\space170 = 417u + 9u^2$$ $$9u^2 + 27u-1\\space170 = 0$$ $$u^2 + 3u-130 = 0$$ $7.$ Решаем квадратное уравнение: $$u = \\frac{-3 \\pm \\sqrt{9 + 520}}{2}$$ $$u = \\frac{-3 \\pm \\sqrt{529}}{2}$$ $$u = \\frac{-3 \\pm 23}{2}$$ $8.$ Получаем корни: $$u_1 = \\frac{20}{2} = 10$$ $$u_2 = \\frac{-26}{2} = -13$$ $u_2$ — не подходит.<br />Ответ: скорость баржи на пути из $A$ в $B$ равна $10\\ км/ч.$"]},{"content":"Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью $20\\spaceкм/ч.$ Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью $480\\spaceкм/ч.$ Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.[[fill_choice_big-980]][[image-675]]","widgets":{"fill_choice_big-980":{"type":"fill_choice_big","options":["$38.4$","$38.6$","$39.2$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-675":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/03/pilot-1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Время движения на яхте: $\\dfrac{x}{20}$ часов.<br />$2.$ Время движения на самолете: $\\dfrac{x}{480}$ часов.<br />$3.$ Общее время движения: $$\\frac{x}{20} + \\frac{x}{480} = \\frac{24x}{480} + \\frac{x}{480} = \\frac{25x}{480}\\space ч$$<br />$4.$ Средняя скорость — это отношение всего пути ко всему времени движения:<br />$$v_{ср} = \\frac{2x}{\\frac{25x}{480}} = 2x \\cdot \\frac{480}{25x} = \\frac{960}{25} = 38.4\\ км/ч$$<br />Ответ: средняя скорость путешественника на протяжении всего пути равна $38.4\\ км/ч.$<br /><br />"]}]}

{"questions":[{"content":"Заказ на $110$ деталей первый рабочий выполняет на $1$ час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на $1$ деталь больше?<br />[[fill_choice_big-1]][[image-31]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$12$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-31":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/obrazavr_konveer-01.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Пусть $x$ — производительность второго рабочего (деталей/час).<br /><br />$2.$ Тогда $(x+1)$ — производительность первого рабочего.<br /><br />$3.$ Время работы второго рабочего: $\\dfrac{110}{x}$ часов.<br /><br />$4.$ Время работы первого рабочего: $\\dfrac{110}{x+1}$ часов.<br /><br />$5.$ По условию: $$\\frac{110}{x}-\\frac{110}{x+1} = 1$$ $6.$ Решаем уравнение: $$\\frac{110}{x}-\\frac{110}{x+1} = 1$$ $$110(x+1)-110x = x(x+1)$$ $$110x + 110-110x = x^2 + x$$ $$110 = x^2 + x$$ $$x^2 + x-110 = 0$$ $7.$ Решаем квадратное уравнение:<br />$$D = 1^2 + 4 \\cdot 110 = 441$$ $$x_1 = \\frac{-1 + \\sqrt{441}}{2} = \\frac{-1 + 21}{2} = 10$$ $$x_2 = \\frac{-1-\\sqrt{441}}{2} = \\frac{-1-21}{2} = -11$$ $x_2$ — не подходит.<br /><br />Ответ: второй рабочий делает $10$ деталей в час."]},{"content":"Заказ на $156$ деталей первый рабочий выполняет на $1$ час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий, если известно, что он за час делает на $1$ деталь больше?[[fill_choice_big-31]][[image-76]]","widgets":{"fill_choice_big-31":{"type":"fill_choice_big","options":["$13$","$11$","$15$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-76":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/05/ponyatie_shestirenki-01.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Пусть $n$ — производительность первого рабочего (деталей/час).<br /><br />$2.$ Тогда $(n-1)$ — производительность второго рабочего.<br /><br />$3.$ Время работы первого рабочего: $\\dfrac{156}{n}$ часов.<br /><br />$4.$ Время работы второго рабочего: $\\dfrac{156}{n-1}$ часов.<br /><br />$5.$ По условию: $$\\frac{156}{n-1}-\\frac{156}{n} = 1$$ $6.$ Решаем уравнение:$$\\frac{156}{n-1}-\\frac{156}{n} = 1$$ $$\\frac{156n-156(n-1)}{n(n-1)} = 1$$ $$\\frac{156n-156n + 156}{n(n-1)} = 1$$ $$\\frac{156}{n(n-1)} = 1$$ $$156 = n(n-1)$$$$n^2-n-156 = 0$$ $7.$ Решаем квадратное уравнение: $$D = (-1)^2 + 4 \\cdot 156 = 1 + 624 = 625$$ $$n_1 = \\frac{1 + \\sqrt{625}}{2} = \\frac{1 + 25}{2} = 13$$ $$n_2 = \\frac{1-\\sqrt{625}}{2} = \\frac{1-25}{2} = -12$$ $n_2$ — не подходит.$$<br /><br />Ответ: первый рабочий делает $13$ деталей в час."]},{"content":"Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за $12$ дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй  — за три дня?[[fill_choice_big-66]][[image-125]]","widgets":{"fill_choice_big-66":{"type":"fill_choice_big","options":["$20$","$22$","$19$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-125":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/vnutri-doma-01-1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Пусть $x$ — количество дней, за которые первый рабочий выполнит всю работу.<br /><br />$2.$ Тогда второй рабочий выполнит всю работу за $1.5x$ дней (так как за $2$ дня первого = $3$ дня второго).<br /><br />$3.$ Производительность первого рабочего: $\\dfrac{1}{x}$ работы в день.<br /><br />$4.$ Производительность второго рабочего: $\\dfrac{1}{1.5x}$ работы в день.<br /><br />$5.$ Общая производительность: $$\\frac{1}{x} + \\frac{1}{1.5x} = \\frac{1.5 + 1}{1.5x} = \\frac{2.5}{1.5x} = \\frac{5}{3x}$$ $6.$ По условию, вместе они выполняют работу за $12$ дней:$$\\frac{5}{3x} \\cdot 12 = 1$$ $7.$ Решаем уравнение:$$\\frac{60}{3x} = 1$$ $$20 = x$$ Ответ: первый рабочий выполнит работу за $20$ дней."]},{"content":"Первая труба пропускает на $1$ литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом $110$ литров она заполняет на $1$ минуту дольше, чем вторая труба?[[fill_choice_big-147]][[image-178]]","widgets":{"fill_choice_big-147":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$11$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-178":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2024/12/rezonans14.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Пусть $k$ — производительность второй трубы (л/мин).<br /><br />$2.$ Тогда $(k-1)$ — производительность первой трубы.<br /><br />$3.$ Время заполнения первой трубой: $\\dfrac{110}{k-1}$ минут.<br /><br />$4.$ Время заполнения второй трубой: $\\dfrac{110}{k}$ минут.<br /><br />$5.$ По условию: $$\\frac{110}{k-1}-\\frac{110}{k} = 1$$ $6.$ Решаем уравнение:<br />$$\\frac{110}{k-1}-\\frac{110}{k} = 1$$ $$\\frac{110k-110(k-1)}{k(k-1)} = 1$$ $$\\frac{110k-110k + 110}{k(k-1)} = 1$$ $$\\frac{110}{k(k-1)} = 1$$ $$110 = k(k-1)$$ $$k^2-k-110 = 0$$ $7.$ Решаем квадратное уравнение:<br />$$D = (-1)^2 + 4 \\cdot 110 = 1 + 440 = 441$$ $$k_1 = \\frac{1 + \\sqrt{441}}{2} = \\frac{1 + 21}{2} = 11$$ $$k_2 = \\frac{1-\\sqrt{441}}{2} = \\frac{1-21}{2} = -10$$ $k_2$ — не подходит.<br /><br />$8.$ Производительность второй трубы: $11$ литров/мин.<br /><br />$9.$ Производительность первой трубы: $11-1 = 10$ литров/мин.<br /><br />Ответ: первая труба пропускает $10$ литров воды в минуту."]},{"content":"Первая труба пропускает на $5$ литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом $375$ литров она заполняет на $10$ минут быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объемом $500$ литров?[[fill_choice_big-228]][[image-235]]","widgets":{"fill_choice_big-228":{"type":"fill_choice_big","options":["$25$","$22$","$21$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-235":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/personazh-s-lupoi-.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Пусть $x$ — производительность второй трубы (л/мин).<br />$2.$ Тогда $(x-5)$ — производительность первой трубы.<br /><br />$3.$ Время заполнения второй трубой: $\\dfrac{375}{x}$ минут.<br /><br />$4.$ Время заполнения первой трубой: $\\dfrac{500}{x-5}$ минут.<br /><br />$5.$ По условию: $$\\frac{500}{x-5}-\\frac{375}{x} = 10$$ $6.$ Решаем уравнение:<br />$$\\frac{500}{x-5}-\\frac{375}{x} = 10$$ $$\\frac{500x-375(x-5)}{x(x-5)} = 10$$ $$\\frac{500x-375x + 1\\space875}{x(x-5)} = 10$$ $$\\frac{125x + 1\\space875}{x(x-5)} = 10$$ $7.$ Умножаем обе части на $x(x-5){:}$ $$125x + 1\\space875 = 10x(x-5)$$ $$125x + 1\\space875 = 10x^2-50x$$ $$10x^2-175x-1\\space875 = 0$$ $8.$ Делим уравнение на $5{:}$ $$2x^2-35x-375 = 0$$ $9.$ Решаем квадратное уравнение: $$D = (-35)^2 + 4 \\cdot 2 \\cdot 375 = 1\\space225 + 3\\space000 = 4\\space225$$ $$x_1 = \\frac{35-\\sqrt{4\\space225}}{4} = \\frac{35-65}{4} = -\\frac{30}{4}$$ $x_1$ — не подходит. $$x_2 = \\frac{35 + \\sqrt{4\\space225}}{4} = \\frac{35 + 65}{4} = 25$$ Ответ: вторая труба пропускает $25$ литров воды в минуту."]},{"content":"Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за $15$ часов. Через $3$ часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?[[fill_choice_big-395]][[image-296]]","widgets":{"fill_choice_big-395":{"type":"fill_choice_big","options":["$9$","$10$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-296":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/rabota-opazdyvaet-chasy-ofis.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Примем весь заказ за $1.$<br /><br />$2.$ Производительность каждого рабочего: $\\dfrac{1}{15}$ заказа в час.<br /><br />$3.$ За первые $3$ часа первый рабочий выполнил:<br />$$\\dfrac{1}{15} \\cdot 3 = \\dfrac{3}{15} = \\dfrac{1}{5} \\spaceзаказа$$<br />$4.$ Когда работали вдвоем, их общая производительность:<br />$$\\dfrac{1}{15} + \\dfrac{1}{15} = \\dfrac{2}{15}\\space заказа\\space в\\space час$$<br />$5.$ Осталось выполнить:<br />$$1-\\dfrac{1}{5} = \\dfrac{5}{5}-\\dfrac{1}{5} = \\dfrac{4}{5}\\spaceзаказа$$<br />$6.$ Время совместной работы:<br />$$\\dfrac{4}{5} : \\dfrac{2}{15} = \\dfrac{4}{5} \\cdot \\dfrac{15}{2} = \\dfrac{60}{10} = 6\\spaceчасов$$<br />$7.$ Общее время выполнения заказа:<br />$$3 + 6 = 9\\spaceчасов$$ Ответ: на выполнение всего заказа потребовалось $9$ часов."]},{"content":"Один мастер может выполнить заказ за $12$ часов, а другой  — за $6$ часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?[[fill_choice_big-512]][[image-361]]","widgets":{"fill_choice_big-512":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$6$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-361":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/stolyar-instrumenty-ugol2.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Примем весь заказ за $1.$<br /><br />$2.$ Производительность первого мастера: $\\dfrac{1}{12}$ заказа в час.<br /><br />$3.$ Производительность второго мастера: $\\dfrac{1}{6}$ заказа в час.<br /><br />$4.$ Общая производительность при совместной работе:<br />$$\\frac{1}{12} + \\frac{1}{6} = \\frac{1}{12} + \\frac{2}{12} = \\frac{3}{12} = \\frac{1}{4}\\spaceзаказа\\spaceв\\spaceчас$$<br />$5.$ Время выполнения заказа при совместной работе:<br />$$1 : \\frac{1}{4} = 1 \\cdot 4 = 4\\spaceчаса$$ Ответ: работая вместе, оба мастера выполнят заказ за $4$ часа."]},{"content":"Первый насос наполняет бак за $20$ минут, второй  — за $30$ минут, а третий  — за $1$ час. За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?[[fill_choice_big-656]][[image-430]]","widgets":{"fill_choice_big-656":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$12$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-430":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/solnechnye-batarei-1.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Примем весь бак за $1.$<br /><br />$2.$ Производительность первого насоса: $\\dfrac{1}{20}$ бака в минуту.<br /><br />$3.$ Производительность второго насоса: $\\dfrac{1}{30}$ бака в минуту.<br /><br />$4.$ Производительность третьего насоса: $\\dfrac{1}{60}$ бака в минуту.<br /><br />$5.$ Общая производительность при совместной работе в минуту:<br />$$\\frac{1}{20} + \\frac{1}{30} + \\frac{1}{60} = \\frac{3}{60} + \\frac{2}{60} + \\frac{1}{60} = \\frac{6}{60} = \\frac{1}{10}$$ $6.$ Время наполнения бака при совместной работе:<br />$$1 : \\dfrac{1}{10} = 1 \\cdot 10 = 10\\spaceминут$$ Ответ: три насоса, работая одновременно, наполнят бак за $10$ минут.<br />"]},{"content":"Даша и Маша пропалывают грядку за $12$ минут, а одна Маша  — за $20$ минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Даша?[[fill_choice_big-805]][[image-503]]","widgets":{"fill_choice_big-805":{"type":"fill_choice_big","options":["$30$","$32$","$28$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-503":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/repa-morkovka-zelen-01.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Примем всю работу по прополке грядки за $1.$<br /><br />$2.$ Производительность Маши: $\\dfrac{1}{20}$ грядки в минуту.<br /><br />$3.$ Производительность Даши и Маши вместе: $\\dfrac{1}{12}$ грядки в минуту.<br />$4.$ Пусть производительность Даши равна $\\dfrac{1}{x}$ грядки в минуту<br /><br />$5.$ Составим уравнение: $$\\frac{1}{20} + \\frac{1}{x} = \\frac{1}{12}$$ $$6.$ Решаем уравнение:<br />$$\\frac{1}{20} + \\frac{1}{x} = \\frac{1}{12}$$ $$\\frac{120}{20} + \\frac{120}{x} = \\frac{120}{12}$$ $$6 + \\frac{120}{x} = 10$$ $$\\frac{120}{x} = 4$$ $$x = \\frac{120}{4}$$ $$x = 30$$ Ответ: Даша пропалывает грядку за $30$ минут."]},{"content":"Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на $8$ вопросов теста, а Ваня  — на $9.$ Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на $20$ минут. Сколько вопросов содержит тест?[[fill_choice_big-1000]][[image-580]]","widgets":{"fill_choice_big-1000":{"type":"fill_choice_big","options":["$24$","$22$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-580":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/02/test-01.svg","width":"300"}},"hints":["$1.$ Пусть $x$ — количество вопросов в тесте.<br /><br />$2.$ Время Пети на выполнение теста: $\\dfrac{x}{8}$ часов.<br /><br />$3.$ Время Вани на выполнение теста: $\\dfrac{x}{9}$ часов.<br /><br />$4.$ Переведем $20$ минут в часы:<br /> $$\\dfrac{20}{60} = \\dfrac{1}{3}$$ $5.$ Составим уравнение: $$\\frac{x}{8}-\\frac{x}{9} = \\frac{1}{3}$$ $6.$ Решаем уравнение: $$\\frac{9x-8x}{72} = \\frac{1}{3}$$ $$\\frac{x}{72} = \\frac{1}{3}$$ $$x = \\frac{72}{3}$$ $$x = 24$$ Ответ: тест содержит $24$ вопроса."]}]}