Задание 11. Прикладная стереометрия

{"questions":[{"content":"Аквариум имеет форму куба со стороной $40\\spaceсм.$ Сколько литров составляет объем аквариума? В одном литре $1\\space000$ кубических сантиметров.[[fill_choice_big-1]][[image-34]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$64$","$66$","$68$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-34":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n1k.svg","width":"300"}},"hints":["Вычисление объема в кубических сантиметрах.<br />Объем куба рассчитывается по формуле: <br />$$V=a^3$$где $a$ — длина стороны куба.<br /><br />Подставляем значение стороны:$$V=40\\cdot40\\cdot40=64\\space000\\spaceсм^2$$Перевод объема в литры:$$V=\\frac{64\\space000}{1\\space000}=64\\spaceл$$Объем аквариума составляет $64$ литра.<br />"]},{"content":"Пирамида Снофру имеет форму правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна $220\\spaceм,$ а высота  — $104\\spaceм.$ Сторона основания точной музейной копии этой пирамиды равна $44\\spaceсм.$ Найдите высоту музейной копии. Ответ дайте в сантиметрах.[[fill_choice_big-7]][[image-83]]","widgets":{"fill_choice_big-7":{"type":"fill_choice_big","options":["$20.8$","$21.8$","$20.2$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-83":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n2k.svg","width":"400"}},"hints":["Переведем сторону основания музейной копии в метры для удобства расчетов: $$44\\spaceсм=0.44\\spaceм$$Найдем, во сколько раз сторона основания музейной копии меньше стороны основания оригинальной пирамиды:$$\\frac{220}{0.44}=500$$Вычисление высоты музейной копии:$$\\frac{104}{500}=0.208\\spaceм=20.8\\spaceсм$$Высота музейной копии пирамиды Снофру — $20.8\\spaceсм.$"]},{"content":"Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).[[fill_choice_big-22]][[image-149]]","widgets":{"fill_choice_big-22":{"type":"fill_choice_big","options":["$18$","$22$","$24$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-149":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n3k.svg","width":"300"}},"hints":["Многогранник можно представить как прямоугольный параллелепипед с ребрами $2,3,1$ из которого вырезаны два прямоугольника со сторонами $2$ и $1.$<br /><br />Вычисление площади поверхности параллелепипеда:$$S=2\\cdot(ab+bc+ac)$$где $a=2, b=3, c=1.$<br /><br />Подставляем значения:$$S = 2\\cdot(2 \\cdot 3 + 2 \\cdot 1 + 3 \\cdot 1) = 22$$Площадь вырезанных прямоугольников:$$S=2\\cdot1\\cdot2=4$$Вычитаем площадь вырезанных частей из площади поверхности параллелепипеда:$$S=22-4=18$$ Площадь поверхности многогранника равна $18.$"]},{"content":"Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).[[fill_choice_big-40]][[image-206]]","widgets":{"fill_choice_big-40":{"type":"fill_choice_big","options":["$76$","$78$","$74$"],"placeholder":0,"answer":0},"fill_choice_big-73":{"type":"fill_choice_big","options":["$92$","$94$","$90$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-206":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n4k.svg","width":"300"}},"hints":["Многогранник можно представить как прямоугольный параллелепипед с ребрами $3,3,5$ из которого вырезаны два квадрата со стороной $1.$<br /><br />Вычисление площади поверхности параллелепипеда:$$S=2\\cdot(ab+bc+ac)$$где $a=3, b=3, c=5.$<br /><br />Подставляем значения:$$S=2\\cdot(3\\cdot3+3\\cdot5+3\\cdot5)=78$$Площадь вырезанных квадратов:$$S=1\\cdot1\\cdot2=2$$Вычитаем площадь вырезанных частей из площади поверхности параллелепипеда:$$S=78-2=76$$Площадь поверхности многогранника равна $76.$"]},{"content":"Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).[[fill_choice_big-120]][[image-267]]","widgets":{"fill_choice_big-120":{"type":"fill_choice_big","options":["$92$","$94$","$90$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-267":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n5k.svg","width":"300"}},"hints":["Многогранник можно представить как прямоугольный параллелепипед с ребрами $3,4,5$ из которого вырезаны два квадрата со стороной $1.$<br /><br />Вычисление площади поверхности параллелепипеда:$$S=2\\cdot(ab+bc+ac)$$где $a=3, b=4, c=5.$<br /><br />Подставляем значения:$$S=2\\cdot(3\\cdot4+3\\cdot5+4\\cdot5)=94$$Площадь вырезанных квадратов:$$S=1\\cdot1\\cdot2=2$$Вычитаем площадь вырезанных частей из площади поверхности параллелепипеда:$$S=94-2=92$$Площадь поверхности многогранника равна $92.$"]},{"content":"Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).[[fill_choice_big-171]][[image-332]]","widgets":{"fill_choice_big-171":{"type":"fill_choice_big","options":["$110$","$112$","$108$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-332":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n6k.svg","width":"300"}},"hints":["Площадь поверхности заданного многогранника равна площади поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами $3,5,5.$<br /><br />Вычисление площади поверхности параллелепипеда:$$S=2\\cdot(ab+bc+ac)$$где $a=3, b=5, c=5.$<br /><br />Подставляем значения:$$S=2\\cdot(3\\cdot5+3\\cdot5+5\\cdot5)=110$$ Площадь поверхности многогранника равна $110.$"]},{"content":"Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).[[fill_choice_big-178]][[image-401]]","widgets":{"fill_choice_big-178":{"type":"fill_choice_big","options":["$94$","$92$","$90$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-401":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n7kkk.svg","width":"300"}},"hints":["Многогранник можно представить как прямоугольный параллелепипед с ребрами $3,5\\spaceи\\space4.$ Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:$$S=2(ab+bc+ac)$$Подставляем значения:$$S = 2\\cdot(3 \\cdot 5 + 5 \\cdot 4 + 3 \\cdot 4)= 94$$Площадь поверхности многогранника равна $94.$"]},{"content":"Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).[[fill_choice_big-240]][[image-510]]","widgets":{"fill_choice_big-240":{"type":"fill_choice_big","options":["$132$","$130$","$138$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-510":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n8k.svg","width":"300"}},"hints":["Площадь поверхности заданного многогранника можно найти, сложив площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами $6, 4,4$ и площади двух дополнительных прямоугольников со сторонами $1\\space и\\space 4,$ а затем вычтя площади двух «вырезанных» прямоугольников со сторонами $1\\spaceи\\space2.$<br /><br />Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:$$S=2(ab+bc+ac)$$Подставляем значения:$$S=2\\cdot(6\\cdot4+4\\cdot4+6\\cdot4)=128$$Добавляем два прямоугольника:$$S=(1\\cdot4\\cdot2)+128=136$$Вычитаем два «вырезанных» прямоугольника:$$S=136-(1\\cdot2\\cdot2)=132$$Площадь поверхности многогранника равна $132.$"]},{"content":"Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).[[fill_choice_big-319]][[image-587]]","widgets":{"fill_choice_big-319":{"type":"fill_choice_big","options":["$114$","$108$","$118$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-587":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n9k.svg","width":"300"}},"hints":["Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда}с ребрами $4, 4, 5$ вычисляется по формуле:<br />$$S = 2(ab + bc + ac)$$Подставляем значения:<br />$$S = 2\\cdot(4 \\cdot 4 + 4 \\cdot 5 + 4 \\cdot 5) = 112$$Добавляем два прямоугольника со сторонами $1 \\spaceи \\space4{:}$<br />$$S = 112 + (1 \\cdot 4 \\cdot 2) =  120$$Вычитаем два «вырезанных» прямоугольника со сторонами $1\\spaceи \\space3{:}$<br />$$S = 120-(1 \\cdot 3 \\cdot 2) =  114$$Площадь поверхности многогранника равна $114.$"]},{"content":"Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).[[fill_choice_big-397]][[image-668]]","widgets":{"fill_choice_big-397":{"type":"fill_choice_big","options":["$48$","$42$","$46$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-668":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n10k.svg","width":"300"}},"hints":["Сумма площадей поверхности двух прямоугольных параллелепипедов со сторонами $1, 3, 4\\space и\\space1, 2, 3.$<br /><br />Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с ребрами  вычисляется по формуле:<br />$$S = 2(ab + bc + ac)$$Для первого параллелепипеда $(1, 3, 4){:}$ $$S=2\\cdot(4\\cdot1+3\\cdot1+4\\cdot3)=38$$Для второго параллелепипеда $(1, 2, 3){:}$ $$S=2\\cdot(2\\cdot1+1\\cdot3+2\\cdot3)=22$$Общая сумма:$$S=38+22=60$$Вычитается удвоенная площадь прямоугольника со сторонами $2\\space и\\space3,$ который является общей гранью для двух параллелепипедов:$$S=60-(2\\cdot2\\cdot3)=48$$Площадь поверхности многогранника равна $48.$"]}]}

{"questions":[{"content":"Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).[[fill_choice_big-1]][[image-31]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$84$","$80$","$86$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-31":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n1.svg","width":"250"}},"hints":["Формула площади поверхности:$$S=2(ab+bc+ac)$$Вычислим площадь поверхности первого параллелепипеда с ребрами $1, 6, 4{:}$ $$S=2\\cdot(4\\cdot1+6\\cdot1+4\\cdot6)=68$$Вычислим площадь поверхности второго параллелепипеда с ребрами $1, 4, 4{:}$ $$S=2\\cdot(4\\cdot1+4\\cdot1+4\\cdot4)=48$$Суммируем площади поверхностей обоих параллелепипедов:$$S=68+48=116$$Удвоенная площадь квадрата со стороной $4$ (так как это общая грань для обоих параллелепипедов):$$S=4\\cdot4\\cdot2=32$$Вычтем удвоенную площадь квадрата:$$S=116-32=84$$Площадь поверхности многогранника равна $84.$"]},{"content":"Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).[[fill_choice_big-7]][[image-87]]","widgets":{"fill_choice_big-7":{"type":"fill_choice_big","options":["$96$","$90$","$94$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-87":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n2.svg","width":"400"}},"hints":["Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:$$S = 2(ab + bc + ac)$$Площадь большого параллелепипеда с ребрами $1, 5, 7$: $$S = 2 \\cdot (5 \\cdot 1 + 7 \\cdot 1 + 7 \\cdot 5) =94$$ Площадь маленького параллелепипеда с ребрами $1, 1, 2$:$$S = 2 \\cdot (1 \\cdot 1 + 2 \\cdot 1 + 2 \\cdot 1) =10$$Сумма площадей:$$S = 94 + 10 = 104$$Вычитаем излишне учтенную площадь передней грани маленького параллелепипеда $($ $4$ площади прямоугольника $1 \\times 2$ $){:}$ $$S = 104-4 \\cdot (2 \\cdot 1) = 96$$Площадь поверхности многогранника равна $96.$"]},{"content":"Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).[[fill_choice_big-21]][[image-148]]","widgets":{"fill_choice_big-21":{"type":"fill_choice_big","options":["$124$","$122$","$126$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-148":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n3.svg","width":"300"}},"hints":["Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:<br />$$S = 2(ab + bc + ac)$$Площадь первого параллелепипеда со сторонами $2, 3, 3$:$$S = 2 \\cdot (3 \\cdot 2 + 3 \\cdot 3 + 2 \\cdot 3) = 42$$Площадь второго параллелепипеда со сторонами $5, 4, 3$:<br />$$S = 2 \\cdot (4 \\cdot 5 + 4 \\cdot 3 + 5 \\cdot 3) = 94$$Сумма площадей:$$S = 42 + 94 = 136$$Вычитаем удвоенную площадь общего прямоугольника $3 \\times 2$:$$S = 136-2 \\cdot (2 \\cdot 3) = 124$$Площадь поверхности многогранника равна $124$."]},{"content":"Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого прямые.[[fill_choice_big-43]][[image-201]]","widgets":{"fill_choice_big-43":{"type":"fill_choice_big","options":["$14$","$12$","$18$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-201":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n4.svg","width":"300"}},"hints":["Квадраты со стороной $1$: $$S=4\\cdot1=4$$Прямоугольники со сторонами $1\\spaceи\\space2{:}$ $$S=2\\cdot2=4$$Передняя и задняя грани (составные):$$S=2\\cdot3=6$$Итоговая площадь поверхности: $$S=4+4+6=14$$Площадь поверхности многогранника равна $14.$"]},{"content":"Найдите площадь поверхности пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.[[fill_choice_big-73]][[image-258]]","widgets":{"fill_choice_big-73":{"type":"fill_choice_big","options":["$30$","$25$","$28$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-258":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n5kkk.svg","width":"300"}},"hints":["Поверхность креста составлена из шести поверхностей кубов, у каждого из которых отсутствует одна грань.<br />Площадь одного куба без одной грани:<br />$$S=6 \\cdot (1 \\cdot 1)-(1 \\cdot 1) = 5$$Всего $6$ кубов в кресте.<br />Общая площадь поверхности:<br />$$S=6\\cdot 5 = 30$$Площадь поверхности пространственного креста равна $30$."]},{"content":"Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).[[fill_choice_big-111]][[image-319]]","widgets":{"fill_choice_big-111":{"type":"fill_choice_big","options":["$162$","$164$","$166$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-319":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n6.svg","width":"300"}},"hints":["Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:<br />$$S = 2(ab + bc + ac)$$Первый параллелепипед $($ребра $6, 6, 2){:}$<br />$$S = 2 \\cdot (6 \\cdot 6 + 6 \\cdot 2 + 6 \\cdot 2) = 120$$ Второй параллелепипед $($ребра $3, 3, 4){:}$<br />$$S = 2 \\cdot (3 \\cdot 3 + 3 \\cdot 4 + 3 \\cdot 4) = 66$$Сумма площадей:$$S = 120 + 66 = 186$$Вычитаем площадь двух общих граней $(3 \\times 4){:}$<br />$$S = 186-(2 \\cdot 3 \\cdot 4) = 162$$Площадь поверхности многогранника равна $162.$"]},{"content":"Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).[[fill_choice_big-167]][[image-384]]","widgets":{"fill_choice_big-167":{"type":"fill_choice_big","options":["$156$","$154$","$158$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-384":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n7.svg","width":"300"}},"hints":["Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:<br />$$S = 2(ab + bc + ac)$$Площадь первого параллелепипеда $($ребра $2, 5, 6){:}$ $$S = 2 \\cdot (2 \\cdot 5 + 5 \\cdot 6 + 2 \\cdot 6) = 104$$Площадь второго параллелепипеда $($ребра $2, 5, 3){:}$ $$S = 2 \\cdot (2 \\cdot 5 + 5 \\cdot 3 + 2 \\cdot 3) = 62$$Площадь третьего параллелепипеда $($ребра $2, 2, 3){:}$ $$S = 2 \\cdot (2 \\cdot 2 + 2 \\cdot 3 + 3 \\cdot 2) = 32$$Сумма площадей:$$S = 104 + 62 + 32 = 198$$Вычитаем площади общих граней:$$S =198-(2 \\cdot (5 \\cdot 3 + 2 \\cdot 3)) = 156$$Площадь поверхности многогранника равна $156.$"]},{"content":"Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).[[fill_choice_big-221]][[image-453]]","widgets":{"fill_choice_big-221":{"type":"fill_choice_big","options":["$152$","$154$","$158$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-453":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n8.svg","width":"300"}},"hints":["Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:<br />$$S = 2(ab + bc + ac)$$Площадь первого параллелепипеда $($ребра $2, 4, 6){:}$<br />$$S = 2 \\cdot (2 \\cdot 4 + 4 \\cdot 6 + 2 \\cdot 6) = 88$$Площадь второго параллелепипеда $($ребра $1, 6, 2){:}$<br />$$S = 2 \\cdot (1 \\cdot 6 + 6 \\cdot 2 + 1 \\cdot 2) = 40$$Площадь третьего параллелепипеда $($ребра $2, 2, 2){:}$<br />$$S = 2 \\cdot (2 \\cdot 2 + 2 \\cdot 2 + 2 \\cdot 2) = 24$$Сумма площадей:$$S = 88 + 40 + 24 = 152$$Площадь поверхности многогранника равна $152$."]},{"content":"Деталь имеет форму изображенного на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Цифры на рисунке обозначают длины ребер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.[[fill_choice_big-283]][[image-526]]","widgets":{"fill_choice_big-283":{"type":"fill_choice_big","options":["$180$","$178$","$182$"],"placeholder":0,"answer":1},"image-526":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n9.svg","width":"300"}},"hints":["Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:<br />$$S = 2(ab + bc + ac)$$Площадь основного параллелепипеда $($ребра $6, 5, 5){:}$ $$S = 2 \\cdot (6 \\cdot 5 + 5 \\cdot 5 + 6 \\cdot 5) = 170\\space см^ 2$$ Площади двух боковых прямоугольников:$$S = 2 \\cdot (3 \\cdot 2) = 12\\space см^ 2$$Площади верхнего и нижнего прямоугольников:$$S = 2 \\cdot (2 \\cdot 5) = 20\\space см^ 2$$Вычитаем площади двух боковых прямоугольников и прибавляем площади верхнего и нижнего прямоугольников:$$S = 170-12 + 20 = 178\\space см^ 2$$Площадь поверхности детали равна $178\\space см^ 2.$"]},{"content":"Деталь имеет форму изображенного на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Цифры на рисунке обозначают длины ребер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.[[fill_choice_big-370]][[image-603]]","widgets":{"fill_choice_big-370":{"type":"fill_choice_big","options":["$146$","$142$","$144$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-603":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n10.svg","width":"300"}},"hints":["Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:$$S = 2(ab + bc + ac)$$Площадь основного параллелепипеда $($ребра $7, 5, 3){:}$ $$S = 2 \\cdot (7 \\cdot 5 + 5 \\cdot 3 + 7 \\cdot 3) = 142\\space см^2$$Вычитаем площади двух боковых прямоугольников:$$S = 2 \\cdot (3 \\cdot 1) = 6\\space см^2$$Прибавляем площади верхнего и нижнего прямоугольников:$$S = 2 \\cdot (1 \\cdot 5) = 10\\space см^2$$Итоговая площадь поверхности:$$S = 142-6 + 10 = 146\\space см^2$$Площадь поверхности детали равна $146\\space см^2.$"]}]}

{"questions":[{"content":"Деталь имеет форму изображенного на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Цифры на рисунке обозначают длины ребер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.[[fill_choice_big-1]][[image-31]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$60$","$62$","$68$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-31":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver3n1.svg","width":"350"}},"hints":["Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:$$S = 2(ab + bc + ac)$$Площадь первого многогранника $($ребра $4, 4, 1){:}$ $$S = 2 \\cdot (4 \\cdot 4 + 4 \\cdot 1 + 4 \\cdot 1) = 48\\spaceсм^2$$ Площадь второго многогранника $($ребра $2, 1, 4){:}$ $$S = 2 \\cdot (2 \\cdot 1 + 2 \\cdot 4 + 1 \\cdot 4) = 28\\spaceсм^2$$Сумма площадей:$$S = 48 + 28 = 76\\spaceсм^2$$Вычитаем площади общих граней:$$S = 76-2 \\cdot (2 \\cdot 4) = 60\\spaceсм^2$$$$Площадь поверхности детали равна $60\\spaceсм^2.$"]},{"content":"Деталь имеет форму изображенного на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Цифры на рисунке обозначают длины ребер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.[[fill_choice_big-18]][[image-87]]","widgets":{"fill_choice_big-18":{"type":"fill_choice_big","options":["$50$","$51$","$52$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-87":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver3n2.svg","width":"300"}},"hints":["Формула площади поверхности прямоугольного параллелепипеда:<br />$$S = 2(ab + bc + ac)$$Площадь первого многогранника $($ребра $1, 2, 5){:}$ $$S = 2 \\cdot (1 \\cdot 2 + 2 \\cdot 5 + 5 \\cdot 1) = 34\\space\\text{см}^2$$Площадь второго многогранника $($ребра $2, 2, 2){:}$ $$S = 2 \\cdot (2 \\cdot 2 + 2 \\cdot 2 + 2 \\cdot 2) = 24\\space\\text{см}^2$$Итоговая площадь поверхности $($с учетом вычитания $2$ общих граней $2\\times2) {:}$ $$S = 34 + 24-2 \\cdot (2 \\cdot 2) = 50\\space\\text{см}^2$$Площадь поверхности детали равна $50\\space\\text{см}^2.$"]},{"content":"Двускатную крышу дома, имеющего в основании прямоугольник, необходимо полностью покрыть рубероидом. Высота крыши равна $4\\,$м, длины стен дома равны $6\\,м$ и $8\\,м.$ Найдите, сколько рубероида (в квадратных метрах) нужно для покрытия этой крыши, если скаты крыши равны.[[fill_choice_big-29]][[image-136]]","widgets":{"fill_choice_big-29":{"type":"fill_choice_big","options":["$80$","$82$","$88$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-136":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver3n3kkk.svg","width":"300"}},"hints":["Длина ската крыши (по теореме Пифагора):$$l = \\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$$Площадь крыши:$$S = 2 \\cdot (8 \\cdot 5) = 80\\space\\text{м}^2$$Площадь покрытия крыши равна $80\\,\\text{м}^2$."]},{"content":"Пять ступеней лестницы покрасили , как показано на рисунке (синий и голубой цвет). Найдите площадь окрашенной поверхности, если глубина каждой ступеньки равна $40\\spaceсм,$ высота  — $15\\spaceсм,$ а ширина  — $90 см.$ Ответ дайте в квадратных сантиметрах.[[fill_choice_big-89]][[image-189]]","widgets":{"fill_choice_big-89":{"type":"fill_choice_big","options":["$21\\space150$","$21\\space350$","$22\\space250$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-189":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver3n4.svg","width":"300"}},"hints":["Формула площади прямоугольника:<br />$$S = a \\cdot b$$Площадь горизонтальной части ступеньки:$$S=40 \\cdot 90 = 3\\space600\\,\\text{см}^2$$Площадь вертикальной части ступеньки:<br />$$S=15 \\cdot 90 = 1\\space350\\,\\text{см}^2$$Общая площадь окрашенной поверхности (всего $4$ ступеньки и $5$ подъемов):$$S=4 \\cdot 3\\space600 + 5 \\cdot 1\\space350 = 21\\space150\\,\\text{см}^2$$Площадь окрашенной поверхности равна $21\\space150\\,\\text{см}^2$."]},{"content":"Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы многогранника прямые).[[fill_choice_big-186]][[image-288]]","widgets":{"fill_choice_big-186":{"type":"fill_choice_big","options":["$8$","$7$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-288":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver3n5.svg","width":"300"}},"hints":["Формула объема прямоугольного параллелепипеда:<br />$$V = a \\cdot b \\cdot c$$Объем первого параллелепипеда $($ребра $3, 2, 1){:}$ $$V=3 \\cdot 2 \\cdot 1 = 6$$Объем второго параллелепипеда $($ребра $1, 1, 2){:}$ $$V=1 \\cdot 1 \\cdot 2 = 2$$Общий объем многогранника:$$V=6 + 2 = 8$$Объем многогранника равен $8$.<br />"]},{"content":"Найдите объем пространственного креста, изображенного на рисунке и составленного из единичных кубов.[[fill_choice_big-228]][[image-349]]","widgets":{"fill_choice_big-228":{"type":"fill_choice_big","options":["$7$","$8$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-349":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n5kkk.svg","width":"300"}},"hints":["Формула объема куба:$$V = a^3$$Объем одного единичного куба:$$V=1 \\cdot 1 \\cdot 1 = 1$$Количество кубов в кресте:$$7$$Общий объем пространственного креста:$$V=7 \\cdot 1 = 7$$Объем пространственного креста равен $7$."]},{"content":"Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).<br />[[fill_choice_big-429]][[image-414]]","widgets":{"fill_choice_big-429":{"type":"fill_choice_big","options":["$56$","$65$","$60$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-414":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver3n7.svg","width":"300"}},"hints":["Формула объема прямоугольного параллелепипеда:$$V = a \\cdot b \\cdot c$$Объем первого параллелепипеда $($ребра $5, 4, 2){:}$ $$V=5 \\cdot 4 \\cdot 2 = 40$$Объем второго параллелепипеда $($ребра $2, 2, 4){:}$ $$V=2 \\cdot 2 \\cdot 4 = 16$$Общий объем многогранника:$$V=40 + 16 = 56$$Объем многогранника равен $56$."]},{"content":"Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).[[fill_choice_big-369]][[image-483]]","widgets":{"fill_choice_big-369":{"type":"fill_choice_big","options":["$7$","$6$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-483":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver3n8.svg","width":"300"}},"hints":["Формула объема прямоугольного параллелепипеда:$$V = a \\cdot b \\cdot c$$Объем первого параллелепипеда $($ребра $2, 3, 1){:}$ $$V=2 \\cdot 3 \\cdot 1 = 6$$Объем второго параллелепипеда $($ребра $1, 1, 1){:}$ $$V=1 \\cdot 1 \\cdot 1 = 1$$Общий объем многогранника:$$V=6 + 1 = 7$$Объем многогранника равен $7$."]},{"content":"Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).[[fill_choice_big-538]][[image-556]]","widgets":{"fill_choice_big-538":{"type":"fill_choice_big","options":["$40$","$42$","$43$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-556":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver3n9.svg","width":"300"}},"hints":["Формула объема прямоугольного параллелепипеда:$$V = a \\cdot b \\cdot c$$Объем первого параллелепипеда $($ребра $3, 3, 4){:}$ $$V=3 \\cdot 3 \\cdot 4 = 36$$Объем второго параллелепипеда $($ребра $1, 1, 4){:}$ $$V=1 \\cdot 1 \\cdot 4 = 4$$Общий объем многогранника:$$V=36 + 4 = 40$$Объем многогранника равен $40.$"]},{"content":"Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).[[fill_choice_big-679]][[image-633]]","widgets":{"fill_choice_big-679":{"type":"fill_choice_big","options":["$34$","$36$","$32$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-633":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver3n10.svg","width":"300"}},"hints":["Формула объема прямоугольного параллелепипеда:<br />$$V = a \\cdot b \\cdot c$$Объем основного параллелепипеда $($ребра $3, 3, 4){:}$ $$V=3 \\cdot 3 \\cdot 4 = 36$$Объем вычитаемого параллелепипеда $($ребра $1, 1, 2){:}$ $$V=1 \\cdot 1 \\cdot 2 = 2$$Общий объем многогранника:$$V=36-2 = 34$$Объем многогранника равен $34$."]}]}

{"questions":[{"content":"Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).[[fill_choice_big-1]][[image-721]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$36$","$32$","$38$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-721":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver4n1.svg","width":"350"}},"hints":["Формула объема прямоугольного параллелепипеда:$$V = a \\cdot b \\cdot c$$Объем основного параллелепипеда $($ребра $5, 2, 4){:}$ $$V=5 \\cdot 2 \\cdot 4 = 40$$Объем вырезанной части $($ребра $1, 2, 2){:}$ $$V=1 \\cdot 2 \\cdot 2 = 4$$Общий объем многогранника:$$V=40-4 = 36$$Объем многогранника равен $36$."]},{"content":"Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).[[fill_choice_big-13]][[image-782]]","widgets":{"fill_choice_big-13":{"type":"fill_choice_big","options":["$90$","$92$","$88$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-782":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver4n2.svg","width":"300"}},"hints":["Формула объема прямоугольного параллелепипеда:$$V = a \\cdot b \\cdot c$$Объем основного параллелепипеда $($ребра $5, 5, 4){:}$ $$V=5 \\cdot 5 \\cdot 4 = 100$$Объем вырезанной части $($ребра $1, 2, 5){:}$ $$V=1 \\cdot 2 \\cdot 5 = 10$$Общий объем многогранника:$$V=100-10 = 90$$Объем многогранника равен $90$."]},{"content":"Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).[[fill_choice_big-37]][[image-827]]","widgets":{"fill_choice_big-37":{"type":"fill_choice_big","options":["$18$","$16$","$22$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-827":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver4n3.svg","width":"300"}},"hints":["Формула объема прямоугольного параллелепипеда:$$V = a \\cdot b \\cdot c$$Объем первого параллелепипеда $($ребра $1, 3, 2){:}$ $$V=1 \\cdot 3 \\cdot 2 = 6$$Объем второго параллелепипеда $($ребра $1, 3, 4){:}$ $$V=1 \\cdot 3 \\cdot 4 = 12$$Общий объем многогранника:$$V=6 + 12 = 18$$Объем многогранника равен $18$."]},{"content":"Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).[[fill_choice_big-79]][[image-876]]","widgets":{"fill_choice_big-79":{"type":"fill_choice_big","options":["$24$","$21$","$22$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-876":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver4n4.svg","width":"300"}},"hints":["Формула объема прямоугольного параллелепипеда:$$V = a \\cdot b \\cdot c$$Объем первого параллелепипеда $($ребра $2, 3, 2){:}$ $$V=2 \\cdot 3 \\cdot 2 = 12$$Объем второго параллелепипеда $($ребра $1, 3, 4){:}$ $$V=1 \\cdot 3 \\cdot 4 = 12$$Общий объем многогранника:$$V=12 + 12 = 24$$Объем многогранника равен $24$."]},{"content":"Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).[[image-929]][[fill_choice_big-1345]]","widgets":{"image-929":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver4n5.svg","width":"250"},"fill_choice_big-1345":{"type":"fill_choice_big","options":["$45$","$44$","$43$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Формула объема прямоугольного параллелепипеда:$$V = a \\cdot b \\cdot c$$Объем основного параллелепипеда $($ребра $1, 8, 6){:}$ $$V=1 \\cdot 8 \\cdot 6 = 48$$Объем вычитаемого параллелепипеда $($ребра $1, 3, 1){:}$ $$V=1 \\cdot 3 \\cdot 1 = 3$$Общий объем многогранника:$$V=48-3 = 45$$Объем многогранника равен $45$."]},{"content":"Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).[[fill_choice_big-172]][[image-1000]]","widgets":{"fill_choice_big-172":{"type":"fill_choice_big","options":["$78$","$72$","$76$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1000":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver4n6.svg","width":"300"}},"hints":["Формула объема прямоугольного параллелепипеда:$$V = a \\cdot b \\cdot c$$Объем первого параллелепипеда $($ребра $2, 3, 3){:}$ $$V=2 \\cdot 3 \\cdot 3 = 18$$Объем второго параллелепипеда $($ребра $5, 3, 4){:}$ $$V=5 \\cdot 3 \\cdot 4 = 60$$Общий объем многогранника:$$V=18 + 60 = 78$$Объем многогранника равен $78$."]},{"content":"Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).[[fill_choice_big-234]][[image-1061]]","widgets":{"fill_choice_big-234":{"type":"fill_choice_big","options":["$104$","$98$","$102$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1061":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver4n7.svg","width":"300"}},"hints":["Формула объема прямоугольного параллелепипеда:$$V = a \\cdot b \\cdot c$$Объем первого параллелепипеда $($ребра $7, 4, 2){:}$ $$V=7 \\cdot 4 \\cdot 2 = 56$$Объем второго параллелепипеда $($ребра $4, 3, 4){:}$ $$V=4 \\cdot 3 \\cdot 4 = 48$$Общий объем многогранника:$$V=56 + 48 = 104$$Объем многогранника равен $104$."]},{"content":"Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).[[fill_choice_big-321]][[image-1126]]","widgets":{"fill_choice_big-321":{"type":"fill_choice_big","options":["$87$","$92$","$89$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1126":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver4n8.svg","width":"300"}},"hints":["Формула объема прямоугольного параллелепипеда:$$V = a \\cdot b \\cdot c$$Объем первого параллелепипеда $($ребра $5, 3, 2){:}$ $$V=5 \\cdot 3 \\cdot 2 = 30$$Объем второго параллелепипеда $($ребра $3, 3, 5){:}$ $$V=3 \\cdot 3 \\cdot 5 = 45$$Объем третьего параллелепипеда $($ребра $2, 3, 2){:}$ $$V=2 \\cdot 3 \\cdot 2 = 12$$Общий объем многогранника:$$V=30 + 45 + 12 = 87$$Объем многогранника равен $87$."]},{"content":"Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).[[fill_choice_big-416]][[image-1195]]","widgets":{"fill_choice_big-416":{"type":"fill_choice_big","options":["$114$","$110$","$112$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1195":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver4n9.svg","width":"300"}},"hints":["Формула объема прямоугольного параллелепипеда:$$V = a \\cdot b \\cdot c$$Объем первого параллелепипеда $($ребра $5, 3, 3){:}$ $$V=5 \\cdot 3 \\cdot 3 = 45$$Объем второго параллелепипеда $($ребра $6, 3, 3){:}$ $$V=6 \\cdot 3 \\cdot 3 = 54$$Объем третьего параллелепипеда $($ребра $1, 3, 5){:}$ $$V=1 \\cdot 3 \\cdot 5 = 15$$Общий объем многогранника:$$V=45 + 54 + 15 = 114$$Объем многогранника равен $114$."]},{"content":"Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).[[fill_choice_big-89]][[image-1268]]","widgets":{"fill_choice_big-89":{"type":"fill_choice_big","options":["$78$","$72$","$76$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-1268":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver4n10.svg","width":"300"}},"hints":["Формула объема прямоугольного параллелепипеда:$$V = a \\cdot b \\cdot c$$Объем основного параллелепипеда $($ребра $4, 4, 5){:}$ $$V=4 \\cdot 4 \\cdot 5 = 80$$Объем вычитаемого параллелепипеда $($ребра $1, 2, 1){:}$ $$V=1 \\cdot 2 \\cdot 1 = 2$$Общий объем многогранника:$$V=80-2 = 78$$Объем многогранника равен $78$."]}]}