Усеченный конус. Сечения конуса

Содержание

В уроке про конус вы получили конус вращением прямоугольного треугольника и нашли его образующую и площадь боковой поверхности. Теперь срежем у конуса вершину плоскостью, параллельной основанию: получится усеченный конус. Разберем его элементы, осевое сечение, площадь боковой поверхности, а в конце — сечения конуса плоскостью через вершину.

Что остается от конуса, если срезать вершину

Переверните обычное ведро вверх дном. Широкий край оказался внизу, дно — наверху, стенки сходятся. Если мысленно продолжить стенки вверх, они встретятся в одной точке. Ведро — это конус, у которого срезали вершину. Где именно была эта вершина? Ответим на этот вопрос в третьем разделе.

Возьмем конус с вершиной $S$ и центром основания $O$ и проведем плоскость, параллельную основанию. Она пересекает ось в точке $O_1$, а боковую поверхность — по окружности. Сверху остается малый конус, снизу — нужное нам тело.

Конус с вершиной S и сечение плоскостью, параллельной основанию: круг радиуса r1; выше — малый конус, ниже — усеченный — Плоскость, параллельная основанию, отрезает малый конус; сечение — круг с центром на оси

Определение

Усеченный конус — часть конуса, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Круги с центрами $O$ и $O_1$ — его основания (радиусы $r_2$ и $r_1$, $r_1 < r_2$), отрезок $OO_1$ — высота $h$, отрезки образующих большого конуса между основаниями — образующие $l$.

Представьте конус с радиусом основания 10 и плоскость на половине его высоты, считая от вершины: радиус среза вдвое меньше, то есть 5. Почему сечение — круг и чему равен его радиус в общем случае? Рассечем конус плоскостью через ось. Получится треугольник $SAB$, а в нем отрезок $A_1B_1$, параллельный основанию ($A_1$ — точка пересечения образующей $SA$ с секущей плоскостью). Прямоугольные треугольники $SO_1A_1$ и $SOA$ имеют общий угол при вершине $S$, значит, они подобны, и $O_1A_1 = r_1 = OA \cdot \frac{SO_1}{SO}$. Это верно для любой осевой плоскости, поэтому все точки пересечения секущей плоскости с боковой поверхностью лежат на одном расстоянии $r_1$ от $O_1$ и образуют окружность радиуса $r_1$ с центром $O_1$. Сечение самого тела включает и внутренние точки этой окружности, поэтому сечение — круг. Это и есть главный инструмент урока: малый конус — уменьшенная копия большого.

Правило

Сечение конуса плоскостью, параллельной основанию и пересекающей ось между вершиной и основанием, — круг. Радиус этого круга относится к радиусу основания $r$ ($r = r_2$) так же, как расстояние от вершины до плоскости — к высоте конуса:

(Плоскость, параллельная основанию и проходящая через вершину, дает лишь точку.) Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия $k$: площадь сечения относится к площади основания как $k^2$.

$$\frac{r_1}{r} = \frac{SO_1}{SO}$$

Осевое сечение конуса: подобные прямоугольные треугольники SO1A1 и SOA; SO = 15, OA = 10, OO1 = 6, SO1 = 9, O1A1 = r1 — искомое — Треугольники SO₁A₁ и SOA подобны: расстояния отсчитываем от вершины S

Пример 1

Радиус основания конуса равен 10, высота равна 15. Плоскость параллельна основанию и проходит на расстоянии 6 от основания. Найдите радиус сечения.

Решение. Подобие отсчитывается от вершины, поэтому сначала найдем расстояние от вершины до плоскости: $SO_1 = 15-6 = 9$. Тогда $r_1 = 10 \cdot \frac{9}{15} = 6$.

Проверка смысла: сечение ближе к основанию, чем к вершине, поэтому его радиус больше половины радиуса основания. Так и есть: $6 > 5$.

Ответ: 6.

g11-usechennyj-konus-srez

{"questions":[{"content":"Как получить усеченный конус из конуса?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Отсечь вершину плоскостью, параллельной основанию","Отсечь вершину плоскостью, наклонной к основанию","Отсечь вершину плоскостью, проходящей через ось","Проткнуть конус цилиндром вдоль оси"],"explanations":["","Тогда верхнее основание не будет кругом, параллельным нижнему","Такая плоскость делит конус на две равные половины, а не отсекает малый конус","Получится конус с отверстием, а не усеченный конус"],"answer":[0]}},"hints":["Посмотрите на два основания усеченного конуса: как расположены их плоскости?","Значит, верхнее основание получено плоскостью, параллельной основанию. Она делит конус на две части: малый конус у вершины и нижнюю часть.","Нижняя часть — усеченный конус."],"step":1},{"content":"[[image-1]]У конуса радиус основания равен 6, высота равна 12. Плоскость параллельна основанию и проходит на расстоянии 4 от вершины. Найдите радиус сечения. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/mxvvwf6ir9rt.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Малый конус подобен большому с коэффициентом $\\frac{4}{12} = \\frac{1}{3}$.","$r = 6 \\cdot \\frac{1}{3}$.","Ответ: 2."],"step":1}],"mix":1}

В осевом сечении спрятан прямоугольный треугольник

Усеченный конус тоже тело вращения. Возьмите прямоугольную трапецию $OBB_1O_1$ с прямыми углами при $O$ и $O_1$ и поверните ее вокруг стороны $OO_1$. Основания трапеции опишут круги радиусов $r_2$ и $r_1$, наклонная сторона $BB_1$ — боковую поверхность. Значит, в осевом сечении — две такие трапеции, приставленные друг к другу: равнобокая трапеция $ABB_1A_1$.

Усеченный конус с осевым сечением ABB1A1 и прямоугольная трапеция OBB1O1, вращением которой он получается: r2, r1, h, образующая l — Осевое сечение усеченного конуса — равнобокая трапеция с основаниями 2r₂ и 2r₁ и боковой стороной l

Посмотрим на ведро из примера 2 (радиусы 12 и 17, высота 12): если опустить высоту из края верхнего основания, получится прямоугольный треугольник с катетами 12 и $17-12=5$ и гипотенузой 13. Теперь обобщим. Опустим из точки $B_1$ высоту $B_1H$ на основание $AB$. Отрезок $B_1H$ равен высоте усеченного конуса $h$, а отрезок $HB$ равен разности радиусов: $HB = OB-O_1B_1 = r_2-r_1$. Боковая сторона $BB_1$ — образующая $l$ — оказывается гипотенузой прямоугольного треугольника $B_1HB$.

Правило

Образующая усеченного конуса — гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого — высота и разность радиусов оснований:

$$l^2 = h^2 + (r_2-r_1)^2$$

Пример 2

Перевернутое ведро — усеченный конус с радиусами оснований 12 см и 17 см и высотой 12 см. Найдите длину его образующей.

Решение. Катеты: $h = 12$ и $r_2-r_1 = 17-12 = 5$. Тогда $l = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13$.

Ответ: 13 см.

Ошибка

Частая запись: «$l = r_2-r_1 = 5$» или «$l = h = 12$». Проверим на ведре: стенка от края до края дна поднимается на 12 см и одновременно сдвигается внутрь на 5 см. Отрезок, который делает оба движения сразу, длиннее каждого из них: $13 > 12$ и $13 > 5$.

Где ломается рассуждение: разность радиусов — это проекция образующей на основание, а высота — ее проекция на ось. Обе величины — катеты, образующая — гипотенуза. Прежде чем подставлять числа, найдите на трапеции прямоугольный треугольник.

Трапеция ABB1A1 с основаниями 34 и 24 и высотой 12: катет HB равен 5, но образующая BB1 — гипотенуза, l = 13 — Разность радиусов и высота — катеты; образующая — гипотенуза, она длиннее обоих

{"questions":[{"content":"Какой отрезок усеченного конуса изображает боковая сторона его осевого сечения?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Радиус меньшего основания","Высота","Радиус большего основания","Образующая"],"explanations":["Радиус меньшего основания лежит в плоскости основания и идет от центра, а боковая сторона идет по боковой поверхности","Высота перпендикулярна основаниям, а боковая сторона трапеции наклонена к ним","Радиус большего основания лежит в нижней плоскости и не соединяет два основания, а боковая сторона соединяет их",""],"answer":[3]}},"hints":["Боковая сторона трапеции лежит на боковой поверхности и проходит от окружности одного основания до окружности другого.","Это отрезок образующей усеченного конуса."],"step":1},{"content":"[[image-1]]Радиусы оснований усеченного конуса равны 1 и 4, высота равна 4. Найдите образующую. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/r3zo8ltyjvlm.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["В осевом сечении (трапеции) опустим высоту из вершины меньшего основания: катеты $h = 4$ и $r_2-r_1 = 3$.","$l = \\sqrt{4^2+3^2} = 5$.","Ответ: 5."],"step":1},{"content":"Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 и 7, высота равна 3. Решавр записал: $l = r_2-r_1 = 4$. Найдите ошибку и верное значение $l$.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Ошибки нет, образующая $l = 4$","Образующая равна высоте конуса; $l = 3$","Нужна сумма радиусов, а не разность; $l = 10$","Разность радиусов — катет, а не образующая; $l = 5$"],"explanations":["Ошибка есть: 4 — длина катета, а образующая — гипотенуза","Высота — второй катет; гипотенуза длиннее обоих катетов","Сумма радиусов — не сторона прямоугольного треугольника в трапеции",""],"answer":[3]}},"hints":["Вернитесь к трапеции осевого сечения: из конца верхнего основания опущена высота.","Получился прямоугольный треугольник с катетами $h = 3$ и $r_2-r_1 = 4$; образующая — его гипотенуза.","$l = \\sqrt{3^2+4^2} = 5$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Где прячется вершина: достраиваем до полного конуса

Вернемся к вопросу о ведре. Продолжим образующие за меньшее основание — они пересекутся в вершине $S$ того конуса, из которого «вырезан» усеченный. Обозначим через $x$ длину продолжения образующей от меньшего основания до вершины: $SB_1 = x$, $SB = x + l$.

Усеченный конус (r2 = 17, r1 = 12, h = 12) достроен до полного конуса с вершиной S: x = SB1, l = 13, H — полная высота — Продолжив образующие, получаем полный конус; малый конус над верхним основанием подобен ему

Правило

Малый конус подобен полному. Отношение радиусов равно отношению образующих и отношению высот:

где $H$ — высота полного конуса.

$$\frac{r_1}{r_2} = \frac{x}{x + l} = \frac{H-h}{H}$$

Пример 3

Для ведра из примера 2 ($r_1 = 12$, $r_2 = 17$, $h = 12$, $l = 13$) найдите, на каком расстоянии от дна по образующей и по высоте находится вершина полного конуса.

Решение. По образующей: $\frac{x}{x + 13} = \frac{12}{17}$, откуда $17x = 12x + 156$, $x = 31{,}2$.

По высоте: $\frac{H-12}{H} = \frac{12}{17}$, откуда $17H-204 = 12H$, $H = 40{,}8$. Вершина выше дна на $40{,}8-12 = 28{,}8$ см.

Проверка: у полного конуса $r = 17$, $H = 40{,}8$, образующая $31{,}2 + 13 = 44{,}2$; и действительно $17^2 + 40{,}8^2 = 1953{,}64 = 44{,}2^2$.

Ответ: 31,2 см по образующей, 28,8 см по высоте.

Получается, что ведро — это конус высотой 40,8 см, у которого срезали верхушку высотой 28,8 см. Она больше самого ведра: стенки сходятся медленно.

{"questions":[{"content":"Радиусы оснований усеченного конуса равны 1 и 3, образующая равна 6. Образующую продлили до вершины полного конуса. Найдите длину продолжения (от меньшего основания до вершины). [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Обозначим продолжение $x$. Малый конус подобен большому: $\\frac{x}{x+6} = \\frac{1}{3}$.","$3x = x + 6$.","Ответ: 3."],"step":1},{"content":"Радиусы оснований усеченного конуса равны 4 и 6, высота равна 5. Найдите высоту полного конуса, из которого он получен. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Пусть $H$ — высота полного конуса; высота отрезанного малого конуса $H-5$.","Конусы подобны: $\\frac{H-5}{H} = \\frac{4}{6}$, откуда $6H-30 = 4H$.","$H = 15$. Ответ: 15."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Боковая поверхность — большой конус без малого

Достройка дает и формулу площади. Боковая поверхность усеченного конуса — это боковая поверхность полного конуса без боковой поверхности малого. На развертке это видно сразу: от большого сектора отрезали малый, осталась часть кольца. Площадь боковой поверхности конуса вы уже знаете: $\pi r l$.

Развертка боковой поверхности усеченного конуса: большой сектор радиуса x + l без малого сектора радиуса x — часть кольца шириной l — Развертка боковой поверхности усеченного конуса — большой сектор без малого

Вычтем: $S_{\text{бок}} = \pi r_2 (x + l)-\pi r_1 x = \pi\bigl(x(r_2-r_1) + r_2 l\bigr)$. Из подобия $r_2 x = r_1(x + l)$, то есть $x(r_2-r_1) = r_1 l$. Подставим: $S_{\text{бок}} = \pi (r_1 l + r_2 l)$. Вспомогательная длина $x$ исчезла.

Теорема

Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению $\pi$, образующей и суммы радиусов оснований:

$$S_{\text{бок}} = \pi l (r_1 + r_2)$$

Пример 4

Сколько жести нужно на стенку ведра из примера 2 ($r_1 = 12$ см, $r_2 = 17$ см, $l = 13$ см)?

Решение. $S_{\text{бок}} = \pi \cdot 13 \cdot (12 + 17) = 377\pi \approx 1184$ см².

Проверка разностью конусов: $\pi \cdot 17 \cdot 44{,}2-\pi \cdot 12 \cdot 31{,}2 = 751{,}4\pi-374{,}4\pi = 377\pi$.

Ответ: $377\pi \approx 1184$ см², то есть около $0{,}12$ м².

Обратите внимание

В формуле стоит сумма радиусов. Проверьте крайние случаи. Если $r_1 = 0$, верхнего основания нет — получается конус, и формула дает $\pi r_2 l$. Если $r_1 = r_2 = r$, получается цилиндр с образующей $l = h$, и формула дает $2\pi r h$. Запись $\pi l (r_2-r_1)$ для цилиндра дала бы ноль.

{"questions":[{"content":"Радиусы оснований усеченного конуса равны 4 и 7, образующая равна 5. Решавр записал: $S_{\\text{бок}} = \\pi \\cdot 5 \\cdot (7-4) = 15\\pi$. Найдите ошибку и верный ответ.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Учтем только больший радиус: $35\\pi$","Нужен множитель 2; верно $110\\pi$","Ошибки нет, ответ $15\\pi$","В площади нужна сумма радиусов, а не разность; верно $55\\pi$"],"explanations":["Формула $\\pi r_2 l$ относится к конусу с вершиной; у усеченного конуса в формулу входит и меньший радиус","Множитель 2 у конуса не нужен","Ошибка есть: разность радиусов — катет треугольника для образующей $l$, высоту она не определяет, а в площадь стенки входит сумма радиусов",""],"answer":[3]}},"hints":["Достройте два конуса: боковая поверхность усеченного конуса — разность двух боковых поверхностей.","Разность радиусов нужна в прямоугольном треугольнике для $l$, а в площади стоит сумма: $\\pi r_2 (l+x)-\\pi r_1 x = \\pi l (r_1+r_2)$.","$S_{\\text{бок}} = \\pi \\cdot 5 \\cdot 11 = 55\\pi$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Ведро имеет форму усеченного конуса с радиусами 1 и 5 и образующей 5. Сколько жести пошло на стенку, если ответ разделить на $\\pi$? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"30"}},"hints":["$S_{\\text{бок}} = \\pi l (r_1+r_2)$.","$S_{\\text{бок}} = \\pi \\cdot 5 \\cdot (1+5) = 30\\pi$.","Ответ: 30."],"step":1}],"mix":1}

Плоскость через вершину режет конус по треугольнику

Вернемся к полному конусу. Пусть плоскость, проходящая через вершину $S$, пересекает основание по хорде $AB$ (не вырожденной в точку), а боковую поверхность — по образующим $SA$ и $SB$. Все образующие конуса равны, поэтому сечение $SAB$ — равнобедренный треугольник. Если хорда проходит через центр $O$, это осевое сечение с основанием $2r$.

Сечение конуса плоскостью через вершину S и хорду AB основания: треугольник SAB, высота сечения SM, OM перпендикулярно AB, OK перпендикулярно SM — Сечение через вершину — равнобедренный треугольник SAB; если хорда не проходит через O, его высота SM — гипотенуза треугольника SOM

Чтобы найти площадь сечения, нужна его высота $SM$, где $M$ — середина хорды. Если хорда не проходит через центр $O$, то $M \ne O$ и высота $SM$ больше высоты конуса $SO$: $SO$ и $OM$ — катеты прямоугольного треугольника $SOM$, а $SM$ — гипотенуза. В осевом сечении $M = O$ и $SM = SO$. Снова все сводится к плоскому чертежу.

Пример 5 ★

Радиус основания конуса равен 10, высота равна 15. Плоскость проходит через вершину и пересекает основание по хорде длины 12. Найдите площадь сечения.

Решение. $OM \perp AB$, $AM = 6$, поэтому $OM = \sqrt{10^2-6^2} = 8$. Высота сечения $SM = \sqrt{15^2 + 8^2} = 17$. Площадь $S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 17 = 102$.

Ответ: 102.

Повышенный уровень ★: расстояние от центра основания до плоскости сечения

Скрыть

Прямая $AB$ перпендикулярна $OM$ и $SO$, значит, перпендикулярна плоскости $SOM$. Поэтому перпендикуляр $OK$ из точки $O$ на $SM$ перпендикулярен и плоскости сечения: $OK$ — искомое расстояние. Это высота прямоугольного треугольника $SOM$:

Как проходит плоскость	Что в сечении
Параллельно основанию	Круг; радиус — по подобию от вершины
Через ось конуса	Равнобедренный треугольник с основанием $2r$
Через вершину и хорду основания	Равнобедренный треугольник с основанием-хордой
Через ось усеченного конуса	Равнобокая трапеция с основаниями $2r_1$ и $2r_2$

{"questions":[{"content":"Плоскость проходит через вершину $S$ конуса и пересекает основание по хорде $AB$. Почему сечение $SAB$ — равнобедренный треугольник?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$SA$ и $SB$ — образующие, а они равны","Хорда $AB$ всегда равна $SA$","$SA$ и $SB$ — радиусы основания","Плоскость $SAB$ проходит через ось"],"explanations":["","Хорда может иметь любую длину от 0 до $2r$","Радиус идет от центра $O$, а не от вершины $S$","Через ось проходит только осевое сечение, а хорда $AB$ любая"],"answer":[0]}},"hints":["Посмотрите, где лежат отрезки $SA$ и $SB$: от вершины до окружности основания.","Это образующие конуса, а все образующие конуса равны."],"step":1},{"content":"Радиус основания конуса равен 17, высота равна 8. Плоскость проходит через вершину и пересекает основание по хорде длины 16. Найдите площадь сечения. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"136"}},"hints":["Сечение — равнобедренный треугольник; его высота идет из вершины $S$ в середину $M$ хорды.","Расстояние от центра до хорды: $OM = \\sqrt{17^2-8^2} = 15$.","Высота сечения: $SM = \\sqrt{8^2+15^2} = 17$.","$S = \\frac{1}{2} \\cdot 16 \\cdot 17 = 136$. Ответ: 136."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Сопоставьте положение секущей плоскости и фигуру сечения. [[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Конус, плоскость параллельна основанию и пересекает ось между вершиной и основанием","Конус, плоскость через ось","Конус, плоскость через вершину и хорду основания, не проходящую через центр","Усеченный конус, плоскость через ось"],"items":["Круг","Равнобедренный треугольник с основанием $2r$","Равнобедренный треугольник с основанием меньше $2r$","Равнобокая трапеция"]}},"hints":["Для каждого случая представьте след секущей плоскости в осевом чертеже. Есть ли в сечении вершина конуса? Какие отрезки лежат в основаниях?","Плоскость, параллельная основанию и пересекающая ось между вершиной и основанием, режет конус по кругу (через саму вершину она дает лишь точку).","Плоскость через вершину и невырожденную хорду основания режет конус по двум образующим и хорде — получается треугольник; если хорда проходит через центр, это осевое сечение.","У усеченного конуса вершины нет, его осевое сечение — трапеция."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Усеченный конус встречается в ведрах, абажурах, воронках и цветочных горшках. В разобранных задачах мы переходим от тела к плоским фигурам: осевой трапеции, подобным треугольникам, развертке и треугольникам сечения через вершину.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли считать усеченный конус телом вращения?

Да. Он получается вращением прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Эта сторона становится осью и высотой, основания трапеции — радиусами $r_1$ и $r_2$.

Зачем выводить формулу площади через полный конус, если ее можно запомнить?

Вывод подсказывает, как проверить формулу: при $r_1 = 0$ она должна дать конус, а при $r_1 = r_2$ — цилиндр. Кроме того, достройка до полного конуса сама по себе часто нужна в задачах.

Как найти полную поверхность усеченного конуса?

К боковой поверхности прибавьте площади двух оснований: $S_{\text{полн}} = \pi l (r_1 + r_2) + \pi r_1^2 + \pi r_2^2$. Оснований два, в отличие от конуса.

Почему в задачах дают диаметры, а в формуле радиусы?

Основания трапеции осевого сечения равны диаметрам $2r_1$ и $2r_2$, поэтому в условиях часто дают именно их. Перед подстановкой в формулы разделите диаметры пополам.

Награды за урок