Объем

Величина, которая показывает, сколько места занимает тело в единицах объема (единичных кубах и их долях)

Единица объема

$1\ \text{л}=1\ \text{дм}^3=1000\ \text{см}^3$

Объем прямой призмы

$V=S_{\text{осн}}h$ — площадь слоя на высоту столбика

Объем цилиндра

$V=\pi r^2h$, где $r$ — радиус основания, $h$ — высота

Главная ошибка в объеме цилиндра

$r$ входит в формулу в квадрате; если дан диаметр, сначала найдите радиус

Радиус вырос в k раз

Объем цилиндра растет в $k^2$ раз при той же высоте

Свойства объема

Объем тела — положительная величина. Равные тела имеют равные объемы. Если части не имеют общих внутренних точек, объем целого равен сумме объемов частей. Поэтому перестановка частей без перекрытий сохраняет объем. Куб с единичным ребром имеет объем 1.

Объем прямоугольного параллелепипеда

Для измерений $a$, $b$, $c$ верно $V=abc=S_{\text{осн}}h$: площадь слоя умножают на высоту. Для куба с ребром $a$ получаем $V=a^3$.

Площадь слоя и боковая поверхность

У прямой призмы слой равен основанию; для прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ его площадь $S_{\text{осн}}=\frac12 ab$. У цилиндра слой — круг, $S_{\text{осн}}=\pi r^2$. Площади оснований вписанной и описанной призм приближаются к $\pi r^2$, поэтому $V=\pi r^2h$. Площадь боковой поверхности $S_{\text{бок}}=2\pi rh$ измеряется в квадратных единицах, объем — в кубических.

Осевое сечение цилиндра

Это прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$, поэтому его площадь $S_{\text{сеч}}=2rh$. Если известен диаметр $d$, то $r=d:2$. Если сечение — квадрат, то $2r=h$. Подстановка диаметра вместо радиуса увеличивает вычисленный объем в 4 раза.

Как найти высоту по объему?

$h=\dfrac{V}{\pi r^2}$: объем делят на площадь основания. В формуле $V=S_{\text{осн}}h$ для прямого и наклонного цилиндра $h$ — расстояние между плоскостями оснований. Если требуется объем, деленный на $\pi$, записывают $V/\pi=r^2h$.

Литры и согласование единиц

Перед вычислением все длины приводят к одной единице. $1\ \text{л}=1\ \text{дм}^3=1000\ \text{см}^3$, $1\ \text{м}^3=1000\ \text{л}$. Чтобы перевести кубические сантиметры в литры, число делят на 1000, а для обратного перевода умножают на 1000.