Усеченный конус

Часть конуса между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию

Осевое сечение усеченного конуса

Равнобокая трапеция с основаниями $2r_1$ и $2r_2$ и боковой стороной $l$

Образующая усеченного конуса

$l^2 = h^2 + (r_2-r_1)^2$

Площадь боковой поверхности усеченного конуса

$S_{\text{бок}} = \pi l(r_1+r_2)$ — разность боковых поверхностей двух конусов

Достройка до конуса

Малый и большой конусы подобны: $\dfrac{r_1}{r_2} = \dfrac{x}{x+l}$

Главная ловушка

Разность радиусов — это катет, а не образующая

Тело вращения и его элементы

Усеченный конус получается вращением прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Эта сторона дает высоту $h$ — расстояние между основаниями; основания трапеции дают радиусы $r_1$ и $r_2$, наклонная сторона — образующую $l$. Основания тела — круги. Если даны их диаметры $d_1$ и $d_2$, то $r_1=d_1/2$, $r_2=d_2/2$.

Параллельное сечение

Плоскость, параллельная основанию конуса и пересекающая его между вершиной и основанием, дает круг. Если $r$ и $H$ — радиус основания и высота полного конуса, $t$ — расстояние от вершины до плоскости, то радиус сечения $\rho$ удовлетворяет $\rho/r=t/H$. Если плоскость находится на расстоянии $a$ от основания, сначала найдите $t=H-a$.

Восстановление полного конуса

Продолжения образующих сходятся в точке вершины полного конуса. По подобию $\dfrac{r_1}{r_2}=\dfrac{x}{x+l}=\dfrac{H-h}{H}$, где $r_1<r_2$, $h$ и $l$ — высота и образующая усеченного конуса, $H$ — высота полного, $x$ — образующая малого конуса. Отсюда $x=\dfrac{r_1l}{r_2-r_1}$, $H=\dfrac{r_2h}{r_2-r_1}$; вершина выше меньшего основания на $H-h$.

Полная поверхность

К боковой поверхности усеченного конуса прибавляют площади двух оснований: $S_{\text{полн}}=\pi l(r_1+r_2)+\pi r_1^2+\pi r_2^2$. Боковая поверхность получается вычитанием поверхности малого конуса из поверхности полного; ее развертка — большой сектор без малого. Проверка формулы в предельных случаях: при $r_1=0$ получаем конус и $S_{\text{бок}}=\pi r_2l$; при $r_1=r_2=r$ получаем цилиндр, $l=h$ и $S_{\text{бок}}=2\pi rh$.

Сечение через вершину

Плоскость через вершину $S$ и хорду основания $AB$ дает равнобедренный треугольник: его стороны $SA$ и $SB$ — равные образующие. Пусть $O$ — центр основания, $M$ — середина хорды, $OM=d$, радиус основания равен $r$, высота конуса $SO=h$. Тогда $AM=\sqrt{r^2-d^2}$, $AB=2\sqrt{r^2-d^2}$, высота сечения $SM=\sqrt{h^2+d^2}$, а площадь $S_{SAB}=\frac12 AB\cdot SM$. В осевом сечении $d=0$, поэтому $AB=2r$ и $SM=h$.

Перпендикуляр от центра к секущей плоскости

Пусть сечение конуса проходит через вершину $S$ и хорду $AB$, $O$ — центр основания, $M$ — середина хорды. При $OM=d>0$ отрезок $OK$, перпендикулярный $SM$, — высота прямоугольного треугольника $SOM$, опущенная на гипотенузу. Он перпендикулярен и плоскости сечения. Если $SO=h$, то расстояние до этой плоскости $OK=\dfrac{SO\cdot OM}{SM}=\dfrac{hd}{\sqrt{h^2+d^2}}$; $d$ здесь — расстояние до хорды, а не до плоскости. Для осевого сечения расстояние до плоскости равно нулю.