Шар, цилиндр и конус друг в друге

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"[[image-1]]Шар радиуса 2 вписан в цилиндр. Найдите объем цилиндра, деленный на $\\pi$. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/milsrj7tizne.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"16"}},"hints":["$r = R = 2$, $h = 2R = 4$.","$V = \\pi \\cdot 4 \\cdot 4 = 16\\pi$.","Ответ: 16."],"step":1},{"id":"1","content":"[[image-2]]Шар радиуса 5 вписан в цилиндр. Найдите объем цилиндра, деленный на $\\pi$. [[input-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/milsrj7tizne.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"250"}},"hints":["$r = R = 5$, $h = 2R = 10$.","$V = \\pi \\cdot 25 \\cdot 10 = 250\\pi$.","Ответ: 250."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-3]]Объем шара, вписанного в цилиндр, равен 24. Найдите объем цилиндра. [[input-3]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/milsrj7tizne.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"36"}},"hints":["$V_{\\text{шара}} : V_{\\text{ц}} = 2 : 3$.","$V_{\\text{ц}} = 24 \\cdot \\tfrac32 = 36$.","Ответ: 36."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-4]]Объем шара, вписанного в цилиндр, равен 18. Найдите объем цилиндра. [[input-4]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/milsrj7tizne.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"27"}},"hints":["$V_{\\text{шара}} : V_{\\text{ц}} = 2 : 3$.","$V_{\\text{ц}} = 18 \\cdot \\tfrac32 = 27$.","Ответ: 27."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-5]]В шар вписан цилиндр с радиусом основания 6 и высотой 16. Найдите радиус шара. [[input-5]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/yfumpl91asog.svg"},"input-5":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["$R^2 = r^2 + (h/2)^2 = 36 + 64 = 100$.","Ответ: 10."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-6]]В шар вписан цилиндр с радиусом основания 15 и высотой 16. Найдите радиус шара. [[input-6]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/yfumpl91asog.svg"},"input-6":{"type":"input","answer":"17"}},"hints":["$R^2 = r^2 + (h/2)^2 = 225 + 64 = 289$.","Ответ: 17."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-7]]В конус с радиусом основания 3 и высотой 4 вписан шар. Найдите радиус шара. [[input-7]]","widgets":{"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/te8v7bwdbjit.svg"},"input-7":{"type":"input","answer":["1,5","1.5"]}},"hints":["Образующая $l = \\sqrt{3^2+4^2} = 5$.","Радиус вписанной в сечение окружности $\\rho = \\dfrac{rh}{r + l} = \\dfrac{12}{8} = 1{,}5$.","Ответ: $1{,}5$."],"step":1},{"id":"4","content":"[[image-8]]В конус с радиусом основания 12 и высотой 16 вписан шар. Найдите радиус шара. [[input-8]]","widgets":{"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/te8v7bwdbjit.svg"},"input-8":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Образующая $l = \\sqrt{12^2+16^2} = 20$.","Радиус вписанной в сечение окружности $\\rho = \\dfrac{rh}{r + l} = \\dfrac{192}{32} = 6$.","Ответ: $6$."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-9]]Конус с радиусом основания 12 и высотой 18 вписан в шар. Найдите радиус шара. [[input-9]]","widgets":{"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/e6owdhjfccca.svg"},"input-9":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["Центр на высоте: $R^2 = (18-R)^2 + 12^2$.","$36R = 468$.","Ответ: 13."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-10]]Конус с радиусом основания 8 и высотой 16 вписан в шар. Найдите радиус шара. [[input-10]]","widgets":{"image-10":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/e6owdhjfccca.svg"},"input-10":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Центр на высоте: $R^2 = (16-R)^2 + 8^2$.","$32R = 320$.","Ответ: 10."],"step":1},{"id":"6","content":"[[image-11]]Объем конуса равен 48. В конус вписан цилиндр, высота которого равна половине высоты конуса. Найдите объем цилиндра. [[input-11]]","widgets":{"image-11":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/rwmcknkri1tw.svg"},"input-11":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["Пусть у конуса радиус $r$ и высота $h$. Верхнее основание цилиндра отсекает малый конус высоты $h-\\tfrac h2$, подобный данному, поэтому радиус цилиндра $r_1 = r \\cdot \\tfrac{1}{2}$.","$V_{\\text{ц}} = \\pi r_1^2 \\cdot \\tfrac h2 = \\pi r^2 h \\cdot \\tfrac{1}{8}$, а $\\pi r^2 h = 3V_{\\text{к}} = 144$.","$V_{\\text{ц}} = 144 \\cdot \\tfrac{1}{8} = 18$. Ответ: 18."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"[[image-12]]Объем конуса равен 27. В конус вписан цилиндр, высота которого равна трети высоты конуса. Найдите объем цилиндра. [[input-12]]","widgets":{"image-12":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/rwmcknkri1tw.svg"},"input-12":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Пусть у конуса радиус $r$ и высота $h$. Верхнее основание цилиндра отсекает малый конус высоты $h-\\tfrac h3$, подобный данному, поэтому радиус цилиндра $r_1 = r \\cdot \\tfrac{2}{3}$.","$V_{\\text{ц}} = \\pi r_1^2 \\cdot \\tfrac h3 = \\pi r^2 h \\cdot \\tfrac{4}{27}$, а $\\pi r^2 h = 3V_{\\text{к}} = 81$.","$V_{\\text{ц}} = 81 \\cdot \\tfrac{4}{27} = 12$. Ответ: 12."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Полная поверхность цилиндра, описанного около шара, равна $150\\pi$. Площадь поверхности шара равна [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$150\\pi$","$225\\pi$","$100\\pi$","$25\\pi$"],"answer":2}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["$r = R$, $h = 2R$: $S_{\\text{полн}} = 2\\pi R \\cdot 2R + 2\\pi R^2 = 6\\pi R^2$, $R^2 = 150 : 6 = 25$.","$S_{\\text{сф}} = 4\\pi R^2 = 100\\pi$."],"step":1},{"id":"7","content":"Полная поверхность цилиндра, описанного около шара, равна $96\\pi$. Площадь поверхности шара равна [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$96\\pi$","$64\\pi$","$144\\pi$","$16\\pi$"],"answer":1}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["$r = R$, $h = 2R$: $S_{\\text{полн}} = 2\\pi R \\cdot 2R + 2\\pi R^2 = 6\\pi R^2$, $R^2 = 96 : 6 = 16$.","$S_{\\text{сф}} = 4\\pi R^2 = 64\\pi$."],"step":1},{"id":"8","content":"[[image-13]]Цилиндр, осевое сечение которого — квадрат, вписан в шар радиуса $R = 2\\sqrt2$. Найдите объем цилиндра, деленный на $\\pi$. [[input-13]]","widgets":{"image-13":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/yfumpl91asog.svg"},"input-13":{"type":"input","answer":"16"}},"hints":["Сечение — квадрат со стороной $h = 2r$, его диагональ — диаметр шара: $(2R)^2 = (2r)^2 + (2r)^2$, то есть $R^2 = 2r^2$.","$R^2 = 8$, $r^2 = 4$, $r = 2$, $h = 4$.","$V = \\pi \\cdot 4 \\cdot 4 = 16\\pi$. Ответ: 16."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"[[image-14]]Цилиндр, осевое сечение которого — квадрат, вписан в шар радиуса $R = 4\\sqrt2$. Найдите объем цилиндра, деленный на $\\pi$. [[input-14]]","widgets":{"image-14":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/yfumpl91asog.svg"},"input-14":{"type":"input","answer":"128"}},"hints":["Сечение — квадрат со стороной $h = 2r$, его диагональ — диаметр шара: $(2R)^2 = (2r)^2 + (2r)^2$, то есть $R^2 = 2r^2$.","$R^2 = 32$, $r^2 = 16$, $r = 4$, $h = 8$.","$V = \\pi \\cdot 16 \\cdot 8 = 128\\pi$. Ответ: 128."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-15]]Решавр искал радиус шара, вписанного в конус с радиусом основания 9 и высотой 12: <br>1) осевое сечение — равнобедренный треугольник, шар дает вписанную окружность; <br>2) центр шара — середина высоты, поэтому $\\rho = h : 2 = 6$; <br>3) ответ: $6$.<br>Где ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"image-15":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/te8v7bwdbjit.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["В шаге 1: сечение — не треугольник","Ошибок нет","В шаге 2: центр шара — не середина высоты","В шаге 3: ответ надо удвоить"],"explanations":["Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник, и круг в нем — вписанный","Точка, равноудаленная от основания и боковых сторон, ближе к основанию, чем середина высоты","","Ответ следует из шага 2, и он уже неверен"],"answer":[2]}},"hints":["Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис, а не середина высоты.","$\\rho = \\dfrac{rh}{r + l} = \\dfrac{108}{24} = 4{,}5$, где $l = 15$.","Верный ответ: $4{,}5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-16]]Решавр искал радиус шара, вписанного в конус с радиусом основания 7 и высотой 24: <br>1) осевое сечение — равнобедренный треугольник, шар дает вписанную окружность; <br>2) центр шара — середина высоты, поэтому $\\rho = h : 2 = 12$; <br>3) ответ: $12$.<br>Где ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"image-16":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/te8v7bwdbjit.svg"},"choice-2":{"type":"choice","options":["В шаге 1: сечение — не треугольник","Ошибок нет","В шаге 2: центр шара — не середина высоты","В шаге 3: ответ надо удвоить"],"explanations":["Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник, и круг в нем — вписанный","Точка, равноудаленная от основания и боковых сторон, ближе к основанию, чем середина высоты","","Ответ следует из шага 2, и он уже неверен"],"answer":[2]}},"hints":["Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис, а не середина высоты.","$\\rho = \\dfrac{rh}{r + l} = \\dfrac{168}{32} = 5{,}25$, где $l = 25$.","Верный ответ: $5{,}25$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Сопоставьте комбинации тел и искомые величины.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Шар радиуса 3 вписан в цилиндр: высота цилиндра","Цилиндр с $r = 4$, $h = 6$ вписан в шар: радиус шара","Конус с $r = 6$, $h = 12$ вписан в шар: радиус шара"],"items":["$6$","$5$","$7{,}5$","$7$"]}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["Шар в цилиндре: $h = 2R$.","Цилиндр в шаре: $R^2 = r^2 + (h/2)^2$.","Конус в шаре: $R^2 = (h-R)^2 + r^2$, то есть $R = \\dfrac{r^2+h^2}{2h}$."],"step":1},{"id":"10","content":"Сопоставьте комбинации тел и искомые величины.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Шар радиуса 4 вписан в цилиндр: высота цилиндра","Цилиндр с $r = 8$, $h = 12$ вписан в шар: радиус шара","Конус с $r = 12$, $h = 18$ вписан в шар: радиус шара"],"items":["$8$","$10$","$13$","$9$"]}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["Шар в цилиндре: $h = 2R$.","Цилиндр в шаре: $R^2 = r^2 + (h/2)^2$.","Конус в шаре: $R^2 = (h-R)^2 + r^2$, то есть $R = \\dfrac{r^2+h^2}{2h}$."],"step":1}]}</textarea></pre></div>