Объемы составных тел и тел, полученных вращением

Содержание

Вы уже знаете объем цилиндра, объем конуса и объемы шара и его частей. В этом уроке научимся находить объемы тел, которые составлены из таких частей или получены вращением плоской фигуры, а также сравнивать объемы подобных тел.

Аптечная капсула — это цилиндр, на основаниях которого стоят два полушария. Сколько лекарства в нее помещается, если считать полость капсулы цилиндром с двумя полушариями (радиус полушарий равен радиусу цилиндра), внутренний диаметр которой 6 мм, а внутренняя длина 18 мм? Ответим в конце урока.

Разрезаем тело на знакомые части

Вспомним модель модуля: тело — это стопка тонких слоев, и объем равен сумме слоев. Если тело состоит из цилиндра, на который поставили полушарие, то его слои делятся на две стопки. Нижние слои — одинаковые круги цилиндра. Верхние слои — уменьшающиеся круги полушария. Каждую стопку мы уже умеем считать.

Цилиндр r=3, h=6 с полушарием радиуса 3 сверху: плоскость раздела, слои обеих частей; объём 54π + 18π = 72π не больше 81π охватывающего цилиндра — Плоскость основания делит тело на цилиндр и полушарие: каждый слой попадает ровно в одну часть, поэтому объемы складываем

Правило

Если тело разрезано на части, которые не перекрываются, его объем равен сумме объемов частей.

Проверка: объем тела не больше объема любого тела, в котором оно помещается (охватывающего тела).

$$V=V_1+V_2$$

Пример 1

На цилиндр с радиусом основания 3 и высотой 6 поставили полушарие того же радиуса. Найдите объем тела.

Решение. Цилиндр: $V_1=\pi r^2h=\pi\cdot9\cdot6=54\pi$.

Полушарие — половина шара: $V_2=\frac12\cdot\frac43\pi R^3=\frac23\pi\cdot27=18\pi$.

Сумма: $V=54\pi+18\pi=72\pi$.

Проверка. Тело помещается в цилиндр радиуса 3 и высоты $6+3=9$, его объем $\pi\cdot9\cdot9=81\pi$. Получили $72\pi<81\pi$ — ответ правдоподобен.

Ответ: $72\pi$.

Ошибка

Как ошибаются. В примере 1 прибавляют объем целого шара: $54\pi+36\pi=90\pi$.

Проверка на числах. Охватывающий цилиндр радиуса 3 и высоты 9 имеет объем $81\pi$. Тело внутри него не может иметь объем $90\pi$.

Где сломалось. Нижняя половина шара оказалась внутри цилиндра: ее слои уже посчитаны в стопке цилиндра. Части перекрылись, и одни и те же слои сложены дважды.

Ошибка: к цилиндру добавлен целый шар; нижняя половина шара лежит внутри цилиндра и посчитана дважды, 90π больше 81π — Целый шар залезает внутрь цилиндра: красная половина посчитана второй раз

{"questions":[{"content":"На цилиндр с радиусом основания 3 и высотой 4 поставили полушарие того же радиуса. Найдите объем тела, деленный на $\\pi$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"54"}},"hints":["Цилиндр: $\\pi\\cdot9\\cdot4=36\\pi$.","Полушарие: $\\frac12\\cdot\\frac43\\pi\\cdot27=18\\pi$.","Сумма: $54\\pi$. Ответ: 54."],"step":1},{"content":"На цилиндр с радиусом основания 3 и высотой 1 поставили полушарие того же радиуса. Ученик записал: «$V=\\pi\\cdot9\\cdot1+\\frac43\\pi\\cdot27=9\\pi+36\\pi=45\\pi$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки нет, ответ $45\\pi$ верен","Объем цилиндра надо было разделить на 3","Взят объем целого шара, а над цилиндром — только полушарие","Радиус полушария равен $1{,}5$, а не 3"],"explanations":["Тело помещается в цилиндр объемом $\\pi\\cdot9\\cdot4=36\\pi$, а $45\\pi$ больше — так не бывает","Множитель $\\frac13$ есть у конуса, у цилиндра его нет","","В условии дан радиус 3. Вы приняли его за диаметр и лишний раз разделили на 2; радиус полушария равен 3"],"answer":[2]}},"hints":["Набросайте тело и сопоставьте каждое слагаемое записи ученика с его частью.","Над цилиндром стоит только половина шара: $\\frac12\\cdot\\frac43\\pi\\cdot27=18\\pi$.","Верный объем $9\\pi+18\\pi=27\\pi$; проверка: тело помещается в цилиндр радиуса 3 и высоты 4, его объем $36\\pi$, а $45\\pi>36\\pi$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Достраиваем до целого и вычитаем пустоту

Труба — цилиндр, вдоль оси которого идет канал. Каждый слой трубы — кольцо: большой круг, из которого вырезан малый. Разрезать трубу на знакомые стопки неудобно. Удобнее заполнить канал, получить сплошной цилиндр, а затем убрать то, что добавили.

Труба R=4, r=2: кольцо площади 12π заметно больше круга радиуса R−r площади 4π, поэтому (R−r)² не равно R²−r² — Слой трубы — кольцо: площадь большого круга минус площадь малого, а не круг радиуса R − r

Правило

Если в теле есть пустота (канал, выемка, отверстие), объем тела равен объему целого тела без пустоты минус объем пустоты.

$$V=V_{\text{целого}}-V_{\text{пустоты}}$$

Пример 2

Наружный радиус трубы 4, радиус канала 2, длина трубы 10. Найдите объем материала трубы.

Решение. Сплошной цилиндр: $\pi\cdot16\cdot10=160\pi$. Канал: $\pi\cdot4\cdot10=40\pi$.

Материал: $V=160\pi-40\pi=120\pi$.

Проверка. $120\pi<160\pi$: труба помещается в сплошной цилиндр.

Ответ: $120\pi$.

Ошибка

Как ошибаются. Первый вариант — складывают: $160\pi+40\pi=200\pi$. Второй — берут «толщину стенки» $4-2=2$ и считают $\pi\cdot2^2\cdot10=40\pi$.

Проверка на числах. $200\pi$ больше объема сплошного цилиндра $160\pi$ — так не бывает. А $40\pi$ совпадает с объемом самого канала, хотя на схеме кольцо заметно больше малого круга.

Где сломалось. Канал — пустота, его не прибавляют. Площадь кольца равна $\pi R^2-\pi r^2$, а $(R-r)^2\ne R^2-r^2$.

{"questions":[{"content":"У трубы наружный радиус 6, внутренний радиус канала 2, длина 3. Ученик записал: «$V=\\pi\\cdot36\\cdot3+\\pi\\cdot4\\cdot3=108\\pi+12\\pi=120\\pi$». Где ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Объем канала прибавили, а его надо вычесть: верно $108\\pi-12\\pi=96\\pi$","Надо взять квадрат разности радиусов: $(6-2)^2\\cdot3\\pi=48\\pi$","Объем канала надо делить на 3","Ошибки нет, ответ $120\\pi$ верен"],"explanations":["","Так считают не площадь кольца: $(R-r)^2\\ne R^2-r^2$","Множитель $\\frac13$ у цилиндра не нужен","$120\\pi$ больше объема сплошного цилиндра $108\\pi$: труба в него помещается, так не бывает"],"answer":[0]}},"hints":["Набросайте сечение трубы и отметьте, где материал, а где воздух.","Канал пуст, материала в нем нет. Верно: $108\\pi-12\\pi=96\\pi$; а $120\\pi$ больше объема сплошного цилиндра $108\\pi$, так не бывает."],"step":1},{"content":"В цилиндре с радиусом основания 5 и высотой 4 просверлили сквозное отверстие радиусом 3 вдоль оси. Найдите объем оставшегося тела, деленный на $\\pi$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"64"}},"hints":["Из объема цилиндра вычитаем объем отверстия.","$25\\cdot4-9\\cdot4=100-36=64$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Плоская фигура вращается вокруг оси

Возьмем прямоугольник со сторонами 3 и 7 и будем вращать его вокруг стороны 7. Сторона на оси остается на месте, а каждый отрезок, перпендикулярный оси, заметает круг. Получается стопка одинаковых кругов радиуса 3 высотой 7 — цилиндр: $V=\pi\cdot9\cdot7=63\pi$.

Если вращать тот же прямоугольник вокруг стороны 3, получится другой цилиндр: радиус 7, высота 3, $V=\pi\cdot49\cdot3=147\pi$. Фигура та же, объем больше вдвое с лишним.

Прямоугольник 3×7 вращается вокруг стороны 7 (цилиндр r=3, h=7, 63π) или вокруг стороны 3 (цилиндр r=7, h=3, 147π) — Сторона на оси становится высотой, перпендикулярная ей сторона — радиусом

Правило

В рассматриваемых ниже случаях отрезок фигуры на оси дает высоту тела, а расстояние от оси до точек фигуры — радиусы слоев.

Прямоугольник вокруг стороны — цилиндр.
Прямоугольный треугольник вокруг катета — конус: ось — этот катет, радиус — другой катет.
Прямоугольная трапеция вокруг боковой стороны, перпендикулярной основаниям, — усеченный конус: радиусы — основания трапеции.
Полукруг вокруг диаметра — шар.

Пример 3

Прямоугольная трапеция с основаниями 2 и 5 и высотой 3 вращается вокруг боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Найдите объем тела.

Решение. Получится усеченный конус: $r_1=2$, $r_2=5$, $h=3$.

Проверка другим путем. Достроим усеченный конус до полного. Радиусы относятся как $2:5$, значит, полный конус имеет высоту 5, а отрезанный — высоту 2. Тогда $V=\frac13\pi\cdot25\cdot5-\frac13\pi\cdot4\cdot2=\frac{125\pi-8\pi}{3}=39\pi$ — то же число.

Ответ: $39\pi$.

Прямоугольная трапеция с основаниями 2 и 5 и высотой 3 при вращении даёт усечённый конус; тот же объём — большой конус высоты 5 минус малый высоты 2: 125π/3 − 8π/3 = 39π — Усеченный конус = большой конус минус маленький: два способа дают один объем

Особый случай — вращение прямоугольного треугольника вокруг гипотенузы. Пусть $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза, $h$ — высота к гипотенузе. Вершина прямого угла описывает окружность, поэтому тело состоит из двух конусов с общим основанием. Радиус основания — расстояние от этой вершины до оси, то есть высота $h$. Площадь треугольника равна $\frac{ab}{2}$ и $\frac{ch}{2}$, откуда $r=h=\frac{ab}{c}$. Высоты конусов в сумме дают гипотенузу: $h_1+h_2=c$. Высота к гипотенузе здесь — общий радиус двух конусов. Например, для катетов 3 и 4 гипотенуза равна 5, а радиус $r=\frac{3\cdot4}{5}=2{,}4$.

Разбор числового примера: вращение вокруг гипотенузы

Скрыть

Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 вращается вокруг гипотенузы. Найдите объем тела.

Решение. Гипотенуза равна 5. Вершина прямого угла описывает окружность, радиус которой — высота к гипотенузе: $r=\frac{3\cdot4}{5}=\frac{12}{5}$. Тело состоит из двух конусов с общим основанием радиуса $r$, сумма их высот равна гипотенузе 5.

Ответ: $9{,}6\pi$. Проверка: тело помещается в цилиндр радиуса $2{,}4$ и высоты 5 объемом $28{,}8\pi$.

{"questions":[{"content":"Сопоставьте плоскую фигуру, которая вращается вокруг указанной прямой, и тело, которое получится.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Прямоугольник вокруг своей стороны","Прямоугольный треугольник вокруг катета","Прямоугольная трапеция вокруг боковой стороны, перпендикулярной основаниям","Полукруг вокруг своего диаметра"],"items":["Цилиндр","Конус","Усеченный конус","Шар","Труба (полый цилиндр)"]}},"hints":["Сторона, лежащая на оси, становится высотой тела; отрезки, перпендикулярные оси, заметают круги.","Прямоугольник дает цилиндр, прямоугольный треугольник вокруг катета — конус, прямоугольная трапеция вокруг перпендикулярной боковой стороны — усеченный конус, полукруг вокруг диаметра — шар."],"step":1},{"content":"[[image-1]]Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 вращается вокруг катета, равного 4. Найдите объем полученного тела, деленный на $\\pi$. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/9lffsscqemli.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Получится конус: ось — высота $h=4$, другой катет — радиус $r=3$.","$V=\\frac13\\pi\\cdot9\\cdot4=12\\pi$. Ответ: 12."],"step":1},{"content":"Прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4 и гипотенузой 5 вращается вокруг гипотенузы. Получаются два конуса с общим основанием. Какой отрезок является радиусом этого основания?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Меньший катет, равный 3","Половина гипотенузы треугольника","Больший катет, равный 4","Высота к гипотенузе из вершины прямого угла"],"explanations":["Катет 3 — сторона треугольника, а не перпендикуляр к оси; перпендикуляр от вершины до оси равен 2,4 и короче катета","Половина гипотенузы равна 2,5, а расстояние от вершины до оси равно 2,4: это разные длины","Катет наклонен к оси: расстояние от вершины до оси равно 2,4 и меньше катета",""],"answer":[3]}},"hints":["Вершина прямого угла описывает окружность; ее радиус — расстояние от этой вершины до оси.","Расстояние от точки до прямой — перпендикуляр, то есть высота, проведенная к гипотенузе: $\\frac{3\\cdot4}{5}=2{,}4$."],"step":1}],"mix":1}

Если все размеры увеличить в k раз

Сложим куб с ребром 2 из кубиков с ребром 1. Вдоль каждого ребра помещается 2 кубика, слой состоит из $2\cdot2=4$ кубиков, а слоев 2. Всего $2\cdot2\cdot2=8$ кубиков: ребро выросло в 2 раза, а объем — в 8 раз.

В модели слоев это видно так: площадь каждого слоя растет в $k^2$ раз, а число слоев (высота) — еще в $k$ раз.

Куб 1×1×1 и куб 2×2×2 из 8 кубиков: длина ×2, площадь слоя ×4, объём ×8, то есть k, k², k³ — Длина ×2, площадь слоя ×4, объем ×8: объем растет как куб коэффициента

Правило

Если тела подобны, то $k$ — отношение линейного размера второго тела к соответствующему размеру первого. Тогда объемы относятся как $k^3$.

$$\frac{V_2}{V_1}=k^3$$

Пример 4

Две кружки имеют подобную форму, высота первой 8 см, второй — 12 см. Первая вмещает $0{,}4$ л. Сколько вмещает вторая?

Решение. $k=12:8=1{,}5$, $k^3=3{,}375$. Объем второй: $0{,}4\cdot3{,}375=1{,}35$ л.

Ответ: $1{,}35$ л.

Ошибка

Как ошибаются. Умножают на $k^2=2{,}25$ и получают $0{,}9$ л — так меняются площади, а не объемы. Или умножают на $k$ и получают $0{,}6$ л.

Проверка на числах. Для куба с ребром 2 правило $k^2$ дало бы 4 кубика, а их 8.

Где сломалось. Забыто, что вместе с площадью слоя в $k$ раз растет и число слоев.

{"questions":[{"content":"Все размеры тела увеличили в 5 раз. Ученик утверждает, что объем вырос в 25 раз, потому что площадь слоя выросла в 25 раз. Как следует исправить рассуждение?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Прибавить к 25 число 5: высота выросла в 5 раз, поэтому объем вырос в 30 раз","Заменить 25 на 5: объем меняется как длина, поэтому он вырос в 5 раз","Умножить 25 на 5: высота тоже выросла в 5 раз, поэтому объем вырос в 125 раз","Оставить 25: слои стали больше, а их число не изменилось"],"explanations":["Множители перемножают, а не складывают: $25\\cdot5=125$","В 5 раз растут длины, а не объемы","","Число слоев тоже выросло в 5 раз, ведь высота увеличилась в 5 раз"],"answer":[2]}},"hints":["Площадь слоя действительно выросла в $5^2=25$ раз. Подумайте, сколько стало слоев.","Высота тела тоже выросла в 5 раз, значит, слоев в 5 раз больше: $25\\cdot5=125=5^3$."],"step":1},{"content":"Два шара подобны, радиус второго втрое больше радиуса первого. Объем первого шара равен 4. Найдите объем второго. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"108"}},"hints":["Коэффициент подобия $k=3$, объемы относятся как $k^3=27$.","$4\\cdot27=108$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Как выбрать способ решения

Перед расчетом посмотрите на тело и решите, как его удобнее представить стопками слоев. Иногда подходят оба способа — тогда второй служит проверкой, как в примере 3.

Метод

Определите, из каких знакомых тел состоит тело и есть ли в нем пустота.
Выберите способ: разрезать на части без перекрытий и сложить или достроить до целого и вычесть пустоту.
Найдите размеры каждой части по чертежу: где радиус, где высота, не перепутан ли диаметр с радиусом.
Посчитайте объем каждой части по своей формуле и сложите или вычтите.
Проверьте: ответ положителен и не больше объема охватывающего тела.

w2-g11-3-4-321-dva-puti

Пример 5. Капсула

Вернемся к капсуле: считаем ее внутреннюю полость цилиндром с двумя полушариями того же радиуса; внутренний диаметр 6 мм, общая внутренняя длина 18 мм. Найдите объем полости.

Решение. Радиус $r=6:2=3$ мм. Полушария по краям имеют высоту по 3 мм, поэтому длина цилиндрической части $18-3-3=12$ мм.

Цилиндр: $\pi\cdot9\cdot12=108\pi$. Два полушария вместе составляют шар: $\frac43\pi\cdot27=36\pi$.

Объем: $V=108\pi+36\pi=144\pi\approx452$ мм³.

Проверка. Капсула помещается в цилиндр радиуса 3 и длины 18 объемом $162\pi$; $144\pi<162\pi$.

Ответ: $144\pi$ мм³, примерно $0{,}45$ мл (так как $1\ \text{мл}=1000\ \text{мм}^3$).

{"questions":[{"content":"Распределите тела по способу, которым удобнее найти объем.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Сложить объемы частей","Вычесть объем пустоты из объема целого тела"],"items":[["Капсула: цилиндр и два полушария","Конус, поставленный на цилиндр","Два цилиндра разного радиуса, поставленные один на другой"],["Труба с каналом вдоль оси","Куб со сквозным квадратным отверстием","Цилиндр с конической выемкой"]]}},"hints":["Если тело собрано из частей, которые не перекрываются, объемы частей складывают.","Если в теле есть пустота (канал, выемка, отверстие), из объема целого тела вычитают объем пустоты."],"step":1},{"content":"В кубе с ребром 6 вырезали сквозное отверстие в форме прямоугольной призмы: ее основание — квадрат со стороной 2, а боковые ребра параллельны ребру куба. Найдите объем оставшегося тела. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"192"}},"hints":["Объем куба $6^3=216$.","Вынутая призма: $2\\cdot2\\cdot6=24$.","$216-24=192$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Объем любого тела этого урока сводится к знакомым стопкам слоев: цилиндру, конусу, шару. Нужно только решить, складывать стопки или вычитать одну из другой, и в конце сверить ответ с охватывающим телом. Эти приемы нужны в задании №3 ЕГЭ профильного уровня и в задачах на комбинации тел.

Случай	Как увидеть в модели слоев	Что делать
Тело из частей (капсула, конус на цилиндре)	слои делятся на стопки без общих слоев	$V=V_1+V_2$
Тело с пустотой (труба, выемка)	слой — круг с вырезом	$V=V_{\text{целого}}-V_{\text{пустоты}}$
Тело вращения	ось — высота, расстояние до оси — радиус слоя	узнать цилиндр, конус, усеченный конус, шар
Подобные тела	площадь слоя ×$k^2$, число слоев ×$k$	$V_2=k^3V_1$

Часто задаваемые вопросы

Как понять, что части перекрываются?

Спросите себя, не попадает ли один и тот же слой в две части. Если шар стоит на цилиндре так, что его нижняя половина внутри цилиндра, слои этой половины принадлежат обеим частям. Тогда берут только выступающую часть — полушарие.

Что делать, если в задаче не сказано, вокруг какой стороны вращают?

Тогда задача не определена: разные стороны дают разные тела и разные объемы, как прямоугольник $3\times7$ дает $63\pi$ или $147\pi$. В задачах ЕГЭ ось всегда указана; читайте условие до конца и отмечайте ось на чертеже.

Почему в ЕГЭ просят ответ, деленный на π?

Объемы круглых тел содержат множитель $\pi$, а ответ в бланке — число. Поэтому найдите объем в виде $72\pi$ и запишите 72. Делить приближенное значение не нужно.

Можно ли решать одну задачу разными способами?

Да, это полезная проверка: усеченный конус считают по формуле или как разность двух конусов, капсулу — как цилиндр плюс шар. Но совпадение не доказывает, что части выбраны верно: оба расчета могут повторить одну и ту же ошибку. Поэтому дополнительно сверяйте ответ с охватывающим телом.

Работает ли правило k³ для любых тел?

Да, если тела подобны, то есть все размеры одного получены из размеров другого умножением на одно и то же число $k$. Если увеличили только высоту, тела не подобны, и объем растет лишь в $k$ раз.

Награды за урок