Карточки
Тесты
Зави
Объем конуса и усеченного конуса
Объем конуса и усеченного конуса
Вы уже умеете находить объем цилиндра: тело — стопка одинаковых слоев, объем равен площади слоя, умноженной на высоту. В этом уроке разберем конус: его слои уменьшаются к вершине, и поэтому объем конуса меньше объема цилиндра с тем же основанием и той же высотой. Сравним их точно. Затем выведем формулу объема усеченного конуса и научимся проверять ее.
Сколько конусов воды в цилиндре
Начнем с вопроса, к которому вернемся в конце урока. Бокал в форме конуса, обращенного вершиной вниз, наполнили до половины высоты. Какая часть бокала заполнена? Кажется, что половина. Проверим это расчетом, а пока выясним, сколько вообще вмещает конус.
Возьмем цилиндр с радиусом основания $r=3$ см и высотой $h=10$ см и пустой конус с таким же основанием и такой же высотой. На рисунке контур конуса нарисован внутри цилиндра только для сравнения размеров, а вода показана уровнями в цилиндре после первого, второго и третьего переливаний. Объем цилиндра $V=\pi r^2h=\pi\cdot9\cdot10=90\pi\approx282{,}7$ см³. Наполним конус водой и будем переливать в цилиндр. Сколько таких переливаний нужно, чтобы цилиндр заполнился доверху? Дайте прогноз в интерактиве.
Опыт показывает: после первого переливания цилиндр заполнен примерно на треть, после второго — на две трети, после третьего — доверху. Значит, в конус помещается около $90\pi:3=30\pi\approx94{,}2$ см³. Опыт показывает треть, но опыт не доказательство: вода могла пролиться, а стенки — иметь толщину. Почему множитель именно $\frac13$, а не, например, $0{,}3$, объясним в следующем разделе с помощью слоев.
Почему именно треть: слои конуса убывают
Разрежем конус плоскостями, параллельными основанию, на 10 слоев одинаковой толщины $\frac{h}{10}$. Сечение на расстоянии $x$ от вершины, измеренном перпендикулярно основанию, — круг; слой между соседними сечениями заменим цилиндром. По подобию его радиус равен $r\cdot\frac{x}{h}$, а площадь $\pi r^2\cdot\left(\frac{x}{h}\right)^2$: вдвое ближе к вершине — вчетверо меньше площадь. Такой цилиндр — тонкая «монета». Если брать радиус нижнего края слоя, ступенчатое тело получится чуть больше конуса, если верхнего — чуть меньше.
Посчитаем в долях объема цилиндра $\pi r^2h$. Радиусы монет равны $\frac{1}{10}r$, $\frac{2}{10}r$, …, $\frac{10}{10}r$, поэтому внешняя стопка дает $\frac{1^2+2^2+\ldots+10^2}{1000}=\frac{385}{1000}=0{,}385$, а внутренняя $\frac{0^2+1^2+\ldots+9^2}{1000}=0{,}285$. При 100 слоях границы сближаются: $0{,}328$ и $0{,}338$. Чем тоньше слои, тем ближе обе стопки к числу $\frac13=0{,}333\ldots$, а конус все время зажат между ними.
Теорема
Объем конуса равен трети произведения площади основания на высоту:
Здесь $r$ — радиус основания, $h$ — высота конуса.
$$V_{\text{кон}}=\frac13S_{\text{осн}}h=\frac13\pi r^2h$$
Почему стопки сходятся к трети (повышенный уровень)
Скрыть
Сумма квадратов первых $n$ натуральных чисел равна $1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Внешняя стопка из $n$ монет дает долю $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$, внутренняя — $\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}$. При $n=10$ это $0{,}385$ и $0{,}285$. С ростом $n$ обе дроби приближаются к $\frac{2n^3}{6n^3}=\frac13$, а разность между ними равна $\frac1n$ и стремится к нулю. Конус лежит между стопками, поэтому его объем равен ровно $\frac13\pi r^2h$. Та же треть стоит в формуле объема пирамиды $V=\frac13S_{\text{осн}}h$: слои пирамиды тоже уменьшаются как квадрат расстояния до вершины.
Ошибка
Как ошибаются. Пишут $V=\pi r^2h$ — формулу из прошлого урока, без множителя $\frac13$. Для конуса с $r=3$ и $h=10$ получают $90\pi$.
Проверка. $90\pi$ — объем цилиндра с тем же основанием и той же высотой. Конус целиком помещается в этот цилиндр и не заполняет его: ответ для конуса обязан быть меньше, и опыт с водой дает втрое меньше — $30\pi$.
Где сломалось. Формула $V=S_{\text{осн}}h$ верна только для стопки одинаковых слоев. У конуса слои убывают к вершине, поэтому «площадь основания на высоту» считает лишнее — пустое место между конусом и цилиндром.
Формулу можно применять и в обратную сторону. Тройка в числителе появляется при умножении обеих частей равенства на 3.
Правило
Высота конуса по объему и радиусу:
$$h=\frac{3V}{\pi r^2}$$
В формулу входит высота, а не образующая
Рассматриваем прямой круговой конус: его вершина лежит над центром основания. Часто в задаче даны не радиус и высота, а радиус и образующая; пусть радиус основания 5 см, образующая 13 см. Какой отрезок показывает толщину стопки слоев — высоту? Чтобы ответить, рассмотрим осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник $SAB$, где $S$ — вершина, $AB$ — диаметр основания, $O$ — центр основания. Высота $SO=h$ перпендикулярна основанию, $OB=r$, образующая $SB=l$ (в примере $r=5$, $l=13$). Высота — перпендикуляр $SO$, а не наклонная $SB$. Треугольник $SOB$ прямоугольный с прямым углом при вершине $O$, и по теореме Пифагора $l^2=r^2+h^2$.
Правило
Высоту конуса находят из прямоугольного треугольника $SOB$ в осевом сечении:
$$h=\sqrt{l^2-r^2}$$
Пример 1
Радиус основания конуса равен 5 см, образующая — 13 см. Найдите объем конуса.
Решение. Из треугольника $SOB$: $h=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12$ см. Объем: $V=\frac13\pi\cdot5^2\cdot12=\frac13\pi\cdot300=100\pi$ см³.
Ответ: $100\pi\approx314{,}2$ см³.
Ошибка
Как ошибаются. В формулу подставляют образующую: $V=\frac13\pi\cdot5^2\cdot13=\frac{325}{3}\pi\approx108{,}3\pi$.
Проверка. Верный ответ $100\pi$, а с образующей объем вышел больше. Наклоним карандаш: его длина не меняется, а высота над столом уменьшается. Так и образующая длиннее высоты в любом прямом конусе.
Где сломалось. Слои конуса кладут друг на друга вдоль оси $SO$, перпендикулярно основанию. Толщина стопки — это высота $h$, а образующая $l$ идет наискосок и к толщине стопки не относится.
Два частых случая
1) Угол $45^\circ$ при вершине $B$ треугольника $SOB$ (образующая наклонена к основанию под углом $45^\circ$): треугольник равнобедренный, $h=r$, $l=r\sqrt2$.
2) Осевое сечение — равносторонний треугольник: $l=AB=2r$, $h=\sqrt{(2r)^2-r^2}=r\sqrt3$.
Усеченный конус — стопка без верхушки
Представьте конус, у которого срезали верхушку плоскостью, параллельной основанию: остались круги радиусов 2 см и 4 см на расстоянии 6 см друг от друга. Как найти объем оставшегося тела? Сначала дадим название, потом решим эту задачу.
Определение
Усеченный конус — часть конуса, заключенная между его основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию. Его основания — круги радиусов $r_1<r_2$, высота $h$ — расстояние между основаниями.
В модели стопки усеченный конус — это стопка слоев конуса, с которой сняли верхние слои. Отсюда способ найти объем: продолжим образующие до пересечения в точке $S$, то есть достроим усеченный конус до полного, и вычтем объем маленького верхнего конуса. Высоту маленького конуса найдем по подобию треугольников в осевом сечении.
Пример 2
Радиусы оснований усеченного конуса равны $r_1=2$ и $r_2=4$, высота $h=6$. Найдите его объем.
Решение. Достроим до полного конуса. Пусть $x$ — высота маленького конуса. Треугольники в осевом сечении подобны, поэтому $\frac{x}{x+6}=\frac{r_1}{r_2}=\frac24$. Отсюда $2x=x+6$ и $x=6$, а высота большого конуса $6+6=12$.
Объем большого конуса $\frac13\pi\cdot4^2\cdot12=64\pi$, маленького — $\frac13\pi\cdot2^2\cdot6=8\pi$. Объем усеченного конуса $64\pi-8\pi=56\pi$.
Ответ: $56\pi$.
Заметьте: маленький конус подобен большому с коэффициентом $\frac12$, а его объем меньше не в 2 и не в 4, а в 8 раз ($64\pi:8\pi=8$). Модель стопки объясняет почему. При подобии с коэффициентом $k$ радиус каждого слоя умножается на $k$, площадь слоя — на $k^2$, толщина слоя — на $k$. Число слоев не меняется, поэтому объем каждого слоя и всего тела умножается на $k^3$.
Правило
Если тела подобны с коэффициентом $k$, то их объемы относятся как $k^3$:
$$\frac{V_1}{V_2}=k^3$$
Теперь ответим на вопрос о бокале. Жидкость в нем — конус, подобный всему бокалу с коэффициентом $\frac12$. Значит, налито $\left(\frac12\right)^3=\frac18$ объема бокала, а не половина. Пустая верхняя часть — усеченный конус, и в ней $\frac78$ объема.
Важно
Площадь поверхности жидкости при половине высоты составляет $\left(\frac12\right)^2=\frac14$ площади круга у верхнего края бокала — это площадь, а не объем. Для объема нужен куб коэффициента.
Одна формула для усеченного конуса
Проведем достройку в общем виде, чтобы не решать каждый раз пропорцию. Результат удобно запомнить как одну формулу.
Теорема
Объем усеченного конуса с радиусами оснований $r_1$, $r_2$ и высотой $h$ равен
$$V_{\text{ус}}=\frac{\pi h}{3}\left(r_1^2+r_1r_2+r_2^2\right)$$
Почему верно
Шаг 1. Достроим до полного конуса, $x$ — высота маленького конуса. Из подобия $\frac{x}{x+h}=\frac{r_1}{r_2}$, откуда $x=\frac{hr_1}{r_2-r_1}$ и $x+h=\frac{hr_2}{r_2-r_1}$.
Шаг 2. Вычтем объемы: $V=\frac13\pi r_2^2(x+h)-\frac13\pi r_1^2x=\frac{\pi h}{3}\cdot\frac{r_2^3-r_1^3}{r_2-r_1}$.
Шаг 3. По формуле разности кубов $r_2^3-r_1^3=(r_2-r_1)(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)$. Сократим на $r_2-r_1$ и получим формулу теоремы.
Проверим формулу на примере 2: $\frac{6\pi}{3}(4+8+16)=2\pi\cdot28=56\pi$ — тот же ответ, что и при достройке. Проверим и крайние случаи. При сближении радиусов тело приближается к цилиндру. Окончательная формула применима и при $r_1=r_2=r$: скобка равна $3r^2$, и получается $\pi r^2h$ — объем цилиндра, хотя вывод через достройку проводился при $r_1<r_2$. При $r_1=0$ верхнее основание стягивается в точку, и формула дает объем конуса.
Пример 3
Стакан имеет форму усеченного конуса: радиус дна 3 см, радиус верхнего края 4 см, высота 9 см. Сколько миллилитров воды он вмещает?
Решение. $V=\frac{9\pi}{3}\left(3^2+3\cdot4+4^2\right)=3\pi\cdot37=111\pi\approx348{,}7$ см³. Так как $1$ см³ $=1$ мл, стакан вмещает около 349 мл.
Ответ: $111\pi$ см³, около 349 мл.
★ Справка: цилиндр со средним радиусом (необязательно)
Скрыть
Если посчитать стакан как цилиндр со средним радиусом $3{,}5$ см, получится $\pi\cdot3{,}5^2\cdot9=110{,}25\pi$ — близко, но меньше верного $111\pi$. Такой цилиндр занижает объем, а при близких радиусах ошибка мала: $V_{\text{ус}}-V_{\text{ср}}=\frac{\pi h(r_2-r_1)^2}{12}$.
Формула подтверждает и ответ про бокал. Пустая часть бокала радиуса $r$ и высоты $h$ — усеченный конус с $r_1=\frac r2$, $r_2=r$ и высотой $\frac h2$. Его объем $\frac{\pi h}{6}\left(\frac{r^2}{4}+\frac{r^2}{2}+r^2\right)=\frac{7}{24}\pi r^2h$, то есть $\frac78$ от объема бокала $\frac13\pi r^2h$. Налито $\frac18$ — два способа дали один результат.
Вывод
Объем конуса — задача ЕГЭ №3, и почти все ошибки в ней — это потерянная треть или образующая вместо высоты. Обе ошибки ловит модель стопки слоев: конус — стопка убывающих слоев, она меньше цилиндра втрое; толщина стопки — высота, а не наклонная образующая.
Формулу усеченного конуса проверяйте крайними случаями: равные радиусы дают цилиндр, нулевой верхний радиус — конус.
Часто задаваемые вопросы
Для усеченного конуса с разными радиусами достройка всегда работает и помогает понять, откуда берется формула. Но она требует пропорции и двух объемов, а формула дает ответ за одну подстановку. Если формула забылась, достройка выручит.
Да. При равных высотах и основаниях сечения плоскостями на одинаковых перпендикулярных расстояниях от вершины — те же круги, только сдвинутые вбок, поэтому сумма слоев не меняется. Высота при этом — перпендикуляр из вершины на плоскость основания, а не отрезок до центра основания.
Сначала разделите диаметр на 2. В формулу входит радиус, и если подставить диаметр, объем получится в 4 раза больше верного.
Ответ в бланке — число без символов. Объем конуса содержит множитель $\pi$, и его делят, чтобы получить точное целое или конечную десятичную дробь вместо приближения.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий