Цилиндр, конус и многогранники

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Цилиндр описан около правильной треугольной призмы со стороной основания $3\\sqrt3$ и высотой 2. Найдите объем цилиндра, деленный на $\\pi$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"18"}},"hints":["Радиус описанной окружности правильного треугольника: $r = a\\sqrt3 : 3 = 3\\sqrt3 \\cdot \\sqrt3 : 3 = 3$.","$V = \\pi \\cdot 9 \\cdot 2 = 18\\pi$.","Ответ: 18."],"step":1},{"id":"1","content":"Цилиндр описан около правильной треугольной призмы со стороной основания $5\\sqrt3$ и высотой 2. Найдите объем цилиндра, деленный на $\\pi$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"50"}},"hints":["Радиус описанной окружности правильного треугольника: $r = a\\sqrt3 : 3 = 5\\sqrt3 \\cdot \\sqrt3 : 3 = 5$.","$V = \\pi \\cdot 25 \\cdot 2 = 50\\pi$.","Ответ: 50."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-1]]В правильную четырехугольную призму со стороной основания 8 и высотой 5 вписан цилиндр. Найдите объем цилиндра, деленный на $\\pi$. [[input-3]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/boho9qvnm652.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"80"}},"hints":["$r = 8 : 2 = 4$.","$V = \\pi \\cdot 16 \\cdot 5 = 80\\pi$.","Ответ: 80."],"step":1},{"id":"2","content":"[[image-2]]В правильную четырехугольную призму со стороной основания 12 и высотой 3 вписан цилиндр. Найдите объем цилиндра, деленный на $\\pi$. [[input-4]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/boho9qvnm652.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"108"}},"hints":["$r = 12 : 2 = 6$.","$V = \\pi \\cdot 36 \\cdot 3 = 108\\pi$.","Ответ: 108."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-3]]Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания $6\\sqrt2$ и высотой 8. Найдите площадь боковой поверхности конуса, деленную на $\\pi$. [[input-5]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/sb2f4sg5daue.svg"},"input-5":{"type":"input","answer":"60"}},"hints":["$r = 6\\sqrt2 \\cdot \\sqrt2 : 2 = 6$.","Образующая конуса — боковое ребро пирамиды: $l = \\sqrt{6^2 + 8^2} = 10$.","$S_{\\text{бок}} = \\pi r l = 60\\pi$. Ответ: 60."],"step":1},{"id":"3","content":"[[image-4]]Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания $4\\sqrt2$ и высотой 3. Найдите площадь боковой поверхности конуса, деленную на $\\pi$. [[input-6]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/sb2f4sg5daue.svg"},"input-6":{"type":"input","answer":"20"}},"hints":["$r = 4\\sqrt2 \\cdot \\sqrt2 : 2 = 4$.","Образующая конуса — боковое ребро пирамиды: $l = \\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.","$S_{\\text{бок}} = \\pi r l = 20\\pi$. Ответ: 20."],"step":1},{"id":"4","content":"Конус вписан в правильную треугольную пирамиду со стороной основания $4\\sqrt3$ и высотой 6. Найдите объем конуса, деленный на $\\pi$. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"8"}},"hints":["$r = a\\sqrt3 : 6 = 4\\sqrt3 \\cdot \\sqrt3 : 6 = 2$.","$V = \\tfrac13 \\pi \\cdot 4 \\cdot 6 = 8\\pi$.","Ответ: 8."],"step":1},{"id":"4","content":"Конус вписан в правильную треугольную пирамиду со стороной основания $12\\sqrt3$ и высотой 5. Найдите объем конуса, деленный на $\\pi$. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"60"}},"hints":["$r = a\\sqrt3 : 6 = 12\\sqrt3 \\cdot \\sqrt3 : 6 = 6$.","$V = \\tfrac13 \\pi \\cdot 36 \\cdot 5 = 60\\pi$.","Ответ: 60."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-5]]Конус вписан в правильную четырехугольную пирамиду со стороной основания 16 и высотой 6. Найдите площадь боковой поверхности конуса, деленную на $\\pi$. [[input-9]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/bldpfy6ndj9p.svg"},"input-9":{"type":"input","answer":"80"}},"hints":["$r = 8$, образующая — апофема пирамиды: $l = \\sqrt{8^2+6^2} = 10$.","$S_{\\text{бок}} = \\pi r l = 80\\pi$.","Ответ: 80."],"step":1},{"id":"5","content":"[[image-6]]Конус вписан в правильную четырехугольную пирамиду со стороной основания 10 и высотой 12. Найдите площадь боковой поверхности конуса, деленную на $\\pi$. [[input-10]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/bldpfy6ndj9p.svg"},"input-10":{"type":"input","answer":"65"}},"hints":["$r = 5$, образующая — апофема пирамиды: $l = \\sqrt{5^2+12^2} = 13$.","$S_{\\text{бок}} = \\pi r l = 65\\pi$.","Ответ: 65."],"step":1},{"id":"6","content":"Цилиндр вписан в правильную шестиугольную призму со стороной основания 4. Радиус основания цилиндра равен [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$2\\sqrt3$","2","4","$4\\sqrt3$"],"answer":0}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Окружность основания цилиндра вписана в правильный шестиугольник.","Ее радиус — высота правильного треугольника со стороной 4: $r = \\tfrac{4\\sqrt3}{2} = 2\\sqrt3$."],"step":1},{"id":"6","content":"Цилиндр вписан в правильную шестиугольную призму со стороной основания 8. Радиус основания цилиндра равен [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$8\\sqrt3$","8","4","$4\\sqrt3$"],"answer":3}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["Окружность основания цилиндра вписана в правильный шестиугольник.","Ее радиус — высота правильного треугольника со стороной 8: $r = \\tfrac{8\\sqrt3}{2} = 4\\sqrt3$."],"step":1},{"id":"7","content":"Какая окружность — окружность основания тела относительно основания многогранника? Распределите утверждения.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Окружность вписана в многоугольник","Окружность описана около многоугольника"],"items":[["Цилиндр вписан в призму","Пирамида описана около конуса"],["Конус описан около пирамиды","Призма вписана в цилиндр"]]}},"instruction":"Распределите","hints":["Если многогранник описан около тела, тело касается его граней: окружность вписана в многоугольник.","Если многогранник вписан в тело, его вершины лежат на теле: окружность описана около многоугольника."],"step":1},{"id":"7","content":"Какая окружность — окружность основания тела относительно основания многогранника? Распределите утверждения.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Окружность вписана в многоугольник","Окружность описана около многоугольника"],"items":[["Призма описана около цилиндра","Конус вписан в пирамиду"],["Цилиндр описан около призмы","Пирамида вписана в конус"]]}},"instruction":"Распределите","hints":["Если многогранник описан около тела, тело касается его граней: окружность вписана в многоугольник.","Если многогранник вписан в тело, его вершины лежат на теле: окружность описана около многоугольника."],"step":1},{"id":"8","content":"[[image-7]]В правильную четырехугольную призму вписан цилиндр, объем которого равен $36\\pi$. Найдите объем призмы. [[input-11]]","widgets":{"image-7":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/boho9qvnm652.svg"},"input-11":{"type":"input","answer":"144"}},"hints":["Радиус цилиндра $r = a : 2$, высоты равны: $V_{\\text{ц}} = \\pi \\cdot \\tfrac{a^2}{4} \\cdot h$.","Объем призмы $a^2 h = 4V_{\\text{ц}} : \\pi = 4 \\cdot 36$.","Ответ: 144."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"[[image-8]]В правильную четырехугольную призму вписан цилиндр, объем которого равен $25\\pi$. Найдите объем призмы. [[input-12]]","widgets":{"image-8":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/boho9qvnm652.svg"},"input-12":{"type":"input","answer":"100"}},"hints":["Радиус цилиндра $r = a : 2$, высоты равны: $V_{\\text{ц}} = \\pi \\cdot \\tfrac{a^2}{4} \\cdot h$.","Объем призмы $a^2 h = 4V_{\\text{ц}} : \\pi = 4 \\cdot 25$.","Ответ: 100."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Цилиндр описан около правильной четырехугольной призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна 96, высота равна 4. Найдите радиус основания цилиндра.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$6\\sqrt2$","$3\\sqrt2$","6","3"],"explanations":["Это диагональ основания, то есть диаметр, а нужен радиус","","Это сторона основания, а не радиус","Это радиус вписанной окружности квадрата, а цилиндр описан"],"answer":[1]}},"hints":["$S_{\\text{бок}} = P \\cdot h$, поэтому периметр основания $P = 96 : 4 = 24$ и сторона $a = 24 : 4 = 6$.","Радиус описанной окружности квадрата — половина диагонали: $6\\sqrt2 : 2 = 3\\sqrt2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Цилиндр описан около правильной четырехугольной призмы. Площадь боковой поверхности призмы равна 200, высота равна 5. Найдите радиус основания цилиндра.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$5\\sqrt2$","5","$10\\sqrt2$","10"],"explanations":["","Это радиус вписанной окружности квадрата, а цилиндр описан","Это диагональ основания, то есть диаметр, а нужен радиус","Это сторона основания, а не радиус"],"answer":[0]}},"hints":["$S_{\\text{бок}} = P \\cdot h$, поэтому периметр основания $P = 200 : 5 = 40$ и сторона $a = 40 : 4 = 10$.","Радиус описанной окружности квадрата — половина диагонали: $10\\sqrt2 : 2 = 5\\sqrt2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр искал объем цилиндра, вписанного в правильную треугольную призму со стороной основания $6\\sqrt3$ и высотой 5: <br>1) окружность основания цилиндра вписана в правильный треугольник; <br>2) $r = a\\sqrt3 : 3 = 6$; <br>3) $V = \\pi \\cdot 36 \\cdot 5$.<br>Где ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["В шаге 3: радиус не возведен в квадрат","В шаге 2: взят радиус описанной окружности","В шаге 1: окружность должна быть описанной","Ошибок нет"],"explanations":["В шаге 3 квадрат взят верно, $V = \\pi r^2 h$; неверно число $r$ из шага 2","","Цилиндр вписан, значит, окружность вписана в основание","Радиус вписанной окружности вдвое меньше радиуса описанной у правильного треугольника"],"answer":[1]}},"hints":["Для правильного треугольника вписанная окружность имеет радиус $a\\sqrt3 : 6$.","Ошибка в шаге 2: формула $a\\sqrt3 : 3$ дает радиус описанной окружности. Верно: $r = 6\\sqrt3 \\cdot \\sqrt3 : 6 = 3$.","$V = \\pi \\cdot 9 \\cdot 5 = 45\\pi$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Решавр искал объем цилиндра, вписанного в правильную треугольную призму со стороной основания $12\\sqrt3$ и высотой 7: <br>1) окружность основания цилиндра вписана в правильный треугольник; <br>2) $r = a\\sqrt3 : 3 = 12$; <br>3) $V = \\pi \\cdot 144 \\cdot 7$.<br>Где ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Ошибок нет","В шаге 3: радиус не возведен в квадрат","В шаге 1: окружность должна быть описанной","В шаге 2: взят радиус описанной окружности"],"explanations":["Радиус вписанной окружности вдвое меньше радиуса описанной у правильного треугольника","В шаге 3 квадрат взят верно, $V = \\pi r^2 h$; неверно число $r$ из шага 2","Цилиндр вписан, значит, окружность вписана в основание",""],"answer":[3]}},"hints":["Для правильного треугольника вписанная окружность имеет радиус $a\\sqrt3 : 6$.","Ошибка в шаге 2: формула $a\\sqrt3 : 3$ дает радиус описанной окружности. Верно: $r = 12\\sqrt3 \\cdot \\sqrt3 : 6 = 6$.","$V = \\pi \\cdot 36 \\cdot 7 = 252\\pi$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>