Усеченный конус. Сечения конуса

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Плоскость параллельна основанию конуса и пересекает его ось между вершиной и основанием. Какую фигуру она высекает?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Равнобедренный треугольник","Равнобокую трапецию","Эллипс","Круг"],"explanations":["Треугольник дает плоскость через вершину и невырожденную хорду основания","Трапеция — осевое сечение усеченного конуса","Эллипс получается только при наклонной плоскости",""],"answer":[3]}},"hints":["Проследите, что происходит с точками боковой поверхности на одной высоте.","Малый конус подобен большому, а его основание — круг."],"step":1},{"id":"1","content":"Плоскость проходит через вершину конуса и пересекает основание по хорде, не проходящей через центр. Какую фигуру она высекает?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Равнобедренный треугольник","Прямоугольник","Равнобокую трапецию","Круг"],"explanations":["","Прямоугольник — осевое сечение цилиндра","Трапеция — осевое сечение усеченного конуса","Круг — сечение, параллельное основанию"],"answer":[0]}},"hints":["Плоскость через вершину и невырожденную хорду основания дает треугольник: его стороны — две образующие и хорда."]},{"id":"2","content":"Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 и 10, высота равна 15. Найдите образующую. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"17"}},"hints":["Катеты: $h = 15$ и $r_2-r_1 = 8$.","$l = \\sqrt{15^2+8^2} = 17$.","Ответ: 17."],"step":1},{"id":"2","content":"Радиусы оснований усеченного конуса равны 1 и 7, высота равна 8. Найдите образующую. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Катеты: $h = 8$ и $r_2-r_1 = 6$.","$l = \\sqrt{8^2+6^2} = 10$.","Ответ: 10."],"step":1},{"id":"3","content":"Усеченный конус: $O_1$ и $O_2$ — центры меньшего и большего оснований, точка $A$ лежит на окружности меньшего основания, точка $B$ — на окружности большего; в осевом сечении они расположены по одну сторону от оси. Сопоставьте отрезок и его название.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$O_1O_2$","$AB$","$O_1A$","$O_2B$"],"items":["Высота","Образующая","Радиус меньшего основания","Радиус большего основания"]}},"hints":["Какие отрезки соединяют центры, а какие идут по стенке?","$O_1O_2$ — высота (ось).","$AB$ — образующая.","$O_2B$ — радиус большего основания."],"step":1},{"id":"3","content":"Усеченный конус: $K$ и $L$ — центры меньшего и большего оснований, точка $M$ лежит на окружности меньшего основания, точка $N$ — на окружности большего; в осевом сечении они расположены по одну сторону от оси. Сопоставьте отрезок и его название.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$MN$","$KL$","$LN$","$KM$"],"items":["Образующая","Высота","Радиус большего основания","Радиус меньшего основания"]}},"hints":["Какие отрезки соединяют центры, а какие идут по стенке?","$KL$ — высота.","$MN$ — образующая.","$KM$ и $LN$ — радиусы."],"step":1},{"id":"4","content":"Распределите осевые сечения тел по фигуре.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Треугольник","Трапеция"],"items":[["Конус","Конус с радиусом 3 и высотой 4"],["Усеченный конус","Ведро в форме усеченного конуса"]]}},"hints":["У какого из тел есть вершина, а у какого нет? Вспомните, как выглядит его осевое сечение.","У конуса осевое сечение — треугольник, у усеченного конуса — трапеция."],"step":1},{"id":"4","content":"Распределите осевые сечения тел по фигуре.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Треугольник","Трапеция"],"items":[["Коническая воронка до острия","Конус с образующей 10"],["Абажур в форме усеченного конуса","Усеченный конус с радиусами 2 и 5"]]}},"hints":["У полного конуса вершина есть, у усеченного ее нет."]},{"id":"5","content":"Диаметры оснований усеченного конуса равны 6 и 14, образующая равна 5. Найдите площадь боковой поверхности, деленную на $\\pi$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"50"}},"hints":["Радиусы: $3$ и $7$.","$S_{\\text{бок}} = \\pi \\cdot 5 \\cdot (3+7) = 50\\pi$.","Ответ: 50."],"step":1},{"id":"5","content":"Диаметры оснований усеченного конуса равны 8 и 12, образующая равна 7. Найдите площадь боковой поверхности, деленную на $\\pi$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"70"}},"hints":["Радиусы: $4$ и $6$.","$S_{\\text{бок}} = \\pi \\cdot 7 \\cdot (4+6) = 70\\pi$.","Ответ: 70."],"step":1},{"id":"6","content":"У конуса радиус основания равен 9, высота равна 12. Плоскость параллельна основанию и проходит на расстоянии 8 от вершины. Найдите радиус сечения. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["Коэффициент подобия: $8:12$.","$r = 9 \\cdot \\frac{8}{12} = 6$.","Ответ: 6."],"step":1},{"id":"6","content":"У конуса радиус основания равен 14, высота равна 21. Плоскость параллельна основанию и проходит на расстоянии 6 от вершины. Найдите радиус сечения. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["Коэффициент подобия: $6:21$.","$r = 14 \\cdot \\frac{6}{21} = 4$.","Ответ: 4."],"step":1},{"id":"7","content":"Решавр искал площадь боковой поверхности усеченного конуса с $r_1 = 2$, $r_2 = 6$, $l = 5$ и записал: $S_{\\text{бок}} = \\pi \\cdot 5 \\cdot (6-2) = 20\\pi$. Найдите ошибку и верный ответ.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Нужен множитель 2; верно $80\\pi$","Ошибки нет, ответ $20\\pi$","Учтем только больший радиус: $30\\pi$","В формуле нужна сумма радиусов, а не разность; верно $40\\pi$"],"explanations":["Множитель 2 у конуса не нужен","Ошибка есть: разность радиусов нужна для образующей, а не для площади","Формула $\\pi r_2 l$ относится к конусу с вершиной; у усеченного конуса в формулу входит и меньший радиус",""],"answer":[3]}},"hints":["Достройте два конуса и запишите площади каждой боковой поверхности отдельно.","Боковая поверхность усеченного конуса — разность поверхностей двух конусов: $\\pi r_2 (l+x)-\\pi r_1 x = \\pi l(r_1+r_2)$.","$S_{\\text{бок}} = \\pi \\cdot 5 \\cdot (2+6) = 40\\pi$."],"step":1},{"id":"7","content":"Решавр искал площадь боковой поверхности усеченного конуса с $r_1 = 3$, $r_2 = 9$, $l = 10$ и записал: $S_{\\text{бок}} = \\pi \\cdot 10 \\cdot (9-3) = 60\\pi$. Найдите ошибку и верный ответ.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Ошибки нет, ответ $60\\pi$","В формуле нужна сумма радиусов, а не разность; верно $120\\pi$","Нужен множитель 2; верно $240\\pi$","Учтем только больший радиус: $90\\pi$"],"explanations":["Ошибка есть: разность радиусов нужна для образующей, а не для площади","","Множитель 2 у конуса не нужен","Формула $\\pi r_2 l$ относится к конусу с вершиной; у усеченного конуса в формулу входит и меньший радиус"],"answer":[1]}},"hints":["Достройте два конуса и запишите площади каждой боковой поверхности отдельно.","Боковая поверхность усеченного конуса — разность поверхностей двух конусов: $\\pi r_2 (l+x)-\\pi r_1 x = \\pi l(r_1+r_2)$.","$S_{\\text{бок}} = \\pi \\cdot 10 \\cdot (3+9) = 120\\pi$."],"step":1},{"id":"8","content":"Решавр вычислял площадь боковой поверхности усеченного конуса с $r_1 = 2$, $r_2 = 5$, $h = 4$. Он записал: $l = r_2-r_1 = 3$, $S_{\\text{бок}} = \\pi \\cdot 3 \\cdot (2+5) = 21\\pi$. Найдите ошибку и верный ответ.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Нужен множитель 2; верно $70\\pi$","Нужно вычесть, а не сложить радиусы; верно $15\\pi$","Образующая найдена как разность радиусов; верно $35\\pi$","Ошибки нет, ответ $21\\pi$"],"explanations":["Множитель 2 не нужен: площадь сектора равна половине произведения длины дуги на радиус, ½·2πr·l = πrl","Сумма радиусов в формуле верна: боковая поверхность — разность двух конусов","","Ошибка есть: разность радиусов — это катет, а не образующая"],"answer":[2]}},"hints":["Проверьте, чему равна образующая: разность радиусов — это целая образующая или катет?","Разность радиусов 3 — это не образующая, а катет прямоугольного треугольника в трапеции.","Второй катет — высота 4: $l = \\sqrt{3^2+4^2} = 5$.","$S_{\\text{бок}} = \\pi \\cdot 5 \\cdot 7 = 35\\pi$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Решавр вычислял площадь боковой поверхности усеченного конуса с $r_1 = 4$, $r_2 = 10$, $h = 8$. Он записал: $l = r_2-r_1 = 6$, $S_{\\text{бок}} = \\pi \\cdot 6 \\cdot (4+10) = 84\\pi$. Найдите ошибку и верный ответ.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Ошибки нет, ответ $84\\pi$","Нужен множитель 2; верно $280\\pi$","Образующая найдена как разность радиусов; верно $140\\pi$","Нужно вычесть, а не сложить радиусы; верно $60\\pi$"],"explanations":["Ошибка есть: разность радиусов — это катет, а не образующая","Множитель 2 не нужен: площадь сектора равна половине произведения длины дуги на радиус, ½·2πr·l = πrl","","Сумма радиусов в формуле верна: боковая поверхность — разность двух конусов"],"answer":[2]}},"hints":["Проверьте, чему равна образующая: разность радиусов — это целая образующая или катет?","Разность радиусов 6 — это не образующая, а катет прямоугольного треугольника в трапеции.","Второй катет — высота 8: $l = \\sqrt{6^2+8^2} = 10$.","$S_{\\text{бок}} = \\pi \\cdot 10 \\cdot 14 = 140\\pi$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Диаметры оснований усеченного конуса равны 4 и 12, высота равна 3. Найдите образующую полного конуса, которому принадлежит этот усеченный. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":["7,5","7.5"]}},"hints":["Радиусы: $2$ и $6$. Образующая усеченного конуса: $l = \\sqrt{3^2+(6-2)^2} = 5$.","Затем достройка: $\\frac{x}{x+5} = \\frac{2}{6}$, откуда $6x = 2x + 10$ и $x = 2{,}5$.","Образующая полного конуса $L = x + l = 7{,}5$. Ответ: 7,5."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Диаметры оснований усеченного конуса равны 6 и 18, высота равна 8. Найдите образующую полного конуса, которому принадлежит этот усеченный. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"15"}},"hints":["Радиусы: $3$ и $9$. Образующая усеченного конуса: $l = \\sqrt{8^2+(9-3)^2} = 10$.","Затем достройка: $\\frac{x}{x+10} = \\frac{3}{9}$, откуда $9x = 3x + 30$ и $x = 5$.","Образующая полного конуса $L = x + l = 15$. Ответ: 15."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Радиус основания конуса равен 15, высота равна 12. Плоскость проходит через вершину; расстояние от центра основания до хорды, по которой она пересекает основание, равно 9. Найдите площадь сечения. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"180"}},"hints":["Половина хорды: $\\sqrt{15^2-9^2} = 12$, вся хорда равна 24.","Высота треугольника сечения: $\\sqrt{12^2+9^2} = 15$.","$S = \\frac{1}{2} \\cdot 24 \\cdot 15 = 180$.","Ответ: 180."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Радиус основания конуса равен 20, высота равна 5. Плоскость проходит через вершину; расстояние от центра основания до хорды, по которой она пересекает основание, равно 12. Найдите площадь сечения. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"208"}},"hints":["Половина хорды: $\\sqrt{20^2-12^2} = 16$, вся хорда равна 32.","Высота треугольника сечения: $\\sqrt{5^2+12^2} = 13$.","$S = \\frac{1}{2} \\cdot 32 \\cdot 13 = 208$.","Ответ: 208."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>