Три конуса и цилиндр

Три конуса с общим основанием и высотой цилиндра заполняют цилиндр

Объем конуса

$V=\frac13\pi r^2h$, где $h$ — высота, а не образующая

Высота через образующую

$h=\sqrt{l^2-r^2}$ — из прямоугольного треугольника в осевом сечении

Объем усеченного конуса

$V=\frac{\pi h}{3}(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)$

Проверка формулы усеченного конуса

При $r_1=r_2$ получается цилиндр, при $r_1=0$ — конус

Подобные тела

Если все размеры тела умножить на $k$, объем умножится на $k^3$ (при $k=\frac12$ — станет в 8 раз меньше)

Слои конуса и точная треть

На расстоянии $x$ от вершины конуса высоты $h$ радиус слоя равен $rx/h$, площадь — $\pi r^2(x/h)^2$: она меняется как квадрат расстояния. Для $n$ равных по толщине слоев внешняя стопка занимает долю $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$ объема цилиндра, внутренняя — $\frac{(n-1)n(2n-1)}{6n^3}$. Используется сумма $1^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}6$. Разность долей равна $1/n$, обе стремятся к $1/3$. Для конуса и пирамиды $V=\frac13S_{\text{осн}}h$.

Обратный расчет и диаметр основания

Если известны объем конуса и радиус, то $h=\frac{3V}{\pi r^2}$: тройка находится в числителе. Если дан диаметр $d$, сначала найдите $r=d/2$. Подстановка диаметра вместо радиуса завысит объем в $4$ раза. При неизменной высоте увеличение радиуса в $k$ раз увеличивает объем в $k^2$ раз.

Особые осевые сечения

Если образующая наклонена к основанию под углом $45^\circ$, половина осевого сечения — прямоугольный равнобедренный треугольник: $h=r$, $l=r\sqrt2$. Если все стороны осевого сечения равны, то $l=2r$, $h=r\sqrt3$. Во всех этих случаях для прямого конуса $l^2=r^2+h^2$, образующая — гипотенуза, высота — катет.

Достройка усеченного конуса

Усеченный конус заключен между основанием полного конуса и плоскостью, параллельной основанию; его высота $h$ — расстояние между основаниями. При $0<r_1<r_2$ высота малого конуса $x$ удовлетворяет $\frac{x}{x+h}=\frac{r_1}{r_2}$, поэтому $x=\frac{hr_1}{r_2-r_1}$, $x+h=\frac{hr_2}{r_2-r_1}$. Объем усеченного конуса $V=V_{\text{большого}}-V_{\text{малого}}=\frac{\pi h}{3}\frac{r_2^3-r_1^3}{r_2-r_1}$. Разность кубов: $r_2^3-r_1^3=(r_2-r_1)(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)$.

Проверка вместимости и численного ответа

$1$ см³ равен $1$ миллилитру; $1$ л $=1$ дм³ $=1000$ см³. Если $V=a\pi$, то $V/\pi=a$ без округления. В коническом сосуде вершиной вниз жидкость до доли $k$ высоты занимает долю $k^3$ объема, ее поверхность — долю $k^2$ площади основания; долить нужно $(1-k^3)V_{\text{сосуда}}$. При $k=1/2$ налито $1/8$, пусто $7/8$. Замена усеченного конуса цилиндром радиуса $(r_1+r_2)/2$ занижает объем на $\frac{\pi h(r_2-r_1)^2}{12}$ при разных радиусах.

Высота наклонного конуса

В формуле $V=\frac13S_{\text{осн}}h$ величина $h$ — длина перпендикуляра из вершины к плоскости основания. Для наклонного конуса он не обязан проходить через центр основания. Сдвиг параллельных слоев вбок не меняет их площади и объем тела, поэтому множитель $1/3$ сохраняется.