Цилиндр

Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг его стороны

Образующая цилиндра

Отрезок, параллельный оси, с концами на окружностях оснований; его длина равна высоте $h$

Площадь боковой поверхности цилиндра

$S_{\text{бок}} = 2\pi r\cdot h$ — площадь прямоугольника развертки

Площадь полной поверхности цилиндра

$S_{\text{полн}} = 2\pi r(r+h)$ — боковая поверхность и два основания

Осевое сечение цилиндра

Прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$

Главная ловушка

Радиус — половина диаметра

Ось, радиус и высота

Ось цилиндра — прямая вращения, проходящая через центры оснований; она перпендикулярна плоскостям оснований. Высота $h$ — расстояние между этими плоскостями, радиус $r$ — расстояние от центра основания до его окружности. При вращении прямоугольника $ABCD$ вокруг $AB$: $h=AB=CD$, $r=BC=AD$.

Основания цилиндра

Основания — два равных круга радиуса $r$, лежащих в параллельных плоскостях. Площадь одного основания $S_{\text{осн}}=\pi r^2$, двух — $2\pi r^2$.

Развертка боковой поверхности

После разреза вдоль образующей получается прямоугольник со сторонами $h$ и $2\pi r=\pi d$, где $d=2r$. Поэтому $S_{\text{бок}}=2\pi rh=\pi dh$. Обратные формулы: $h=\frac{S_{\text{бок}}}{2\pi r}$, $r=\frac{S_{\text{бок}}}{2\pi h}$. Если требуется площадь, деленная на $\pi$, в ответ записывают коэффициент при $\pi$.

Сколько кругов учитывать

Сначала определите состав поверхности: у закрытой банки два основания, у сосуда без крышки — одно, у трубы без дна и крышки — ни одного. Без учета толщины стенок: $S_{\text{полн}}=2\pi rh+2\pi r^2$, $S_{\text{без крышки}}=2\pi rh+\pi r^2$, $S_{\text{трубы}}=2\pi rh$.

Площадь и диагональ осевого сечения

Плоскость осевого сечения проходит через ось цилиндра. Получается прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$: $S_{\text{сеч}}=2rh$, $S_{\text{бок}}=\pi S_{\text{сеч}}$. Если его диагональ равна $a$, то по теореме Пифагора $a^2=(2r)^2+h^2$, а диаметр $d=2r=\sqrt{a^2-h^2}$. Если сечение — квадрат, то $h=2r$.

Как меняются площади

При умножении только $r$ на $k$ боковая поверхность умножается на $k$, площадь каждого основания — на $k^2$; при умножении только $h$ на $k$ боковая поверхность умножается на $k$, основания не меняются. Если и $r$, и $h$ умножить на $k$, все площади умножаются на $k^2$. В остальных случаях полную поверхность пересчитывают: $S_{\text{полн}}=2\pi r(r+h)$, коэффициент изменения равен отношению новой площади к прежней.