Конус

Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг катета

Образующая конуса

Отрезок от вершины до точки окружности основания; $l^2=r^2+h^2$

Площадь боковой поверхности конуса

$S_{\text{бок}} = \pi r l$ — площадь сектора развертки

Площадь полной поверхности конуса

$S_{\text{полн}} = \pi r(r+l)$ — боковая поверхность и одно основание

Осевое сечение конуса

Равнобедренный треугольник: основание $2r$, боковые стороны $l$, высота $h$

Угол сектора развертки

$\varphi = 360^\circ \cdot \dfrac{r}{l}$

Главная ловушка

В формуле боковой поверхности стоит образующая $l$, а не высота $h$

Элементы конуса и высота

$S$ — вершина, круг с центром $O$ — основание; $SO=h$ — перпендикуляр к плоскости основания, лежащий на оси. Для точки $A$ окружности основания $OA=r$, $SA=l$; все образующие равны. При вращении катеты дают высоту и радиус, гипотенуза — образующую. $l=\sqrt{r^2+h^2}$, $h=\sqrt{l^2-r^2}$; при $r,h>0$ имеем $l>h$ и $l>r$.

Площадь осевого сечения

Основание треугольника равно диаметру основания конуса: $2r$; его высота равна $h$. Поэтому $S_{\text{сеч}}=\frac12\cdot2r\cdot h=rh$.

Углы в осевом сечении

Пусть $S$ — вершина, $O$ — центр основания, $AB$ — диаметр. Угол при вершине — $\angle ASB$; высота $SO$ делит его пополам. Угол образующей $SA$ с основанием — $\angle SAO$, поскольку $OA$ — ее проекция. $\sin\angle ASO=\frac{r}{l}$, $\sin\angle SAO=\frac{h}{l}$; при $\angle SAO=30^\circ$ получаем $h=l/2$.

Развертка боковой поверхности

Это сектор радиуса $l$, равного образующей, с дугой $2\pi r$. Доля круга $\frac{r}{l}=\frac{\varphi}{360^\circ}$, поэтому $S_{\text{бок}}=\pi l^2\frac{r}{l}=\frac12 l\cdot2\pi r=\pi rl$. Для конуса $0<\varphi<360^\circ$, а $r=l\frac{\varphi}{360^\circ}$. Полная развертка содержит еще один круг площади $\pi r^2$: $S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+\pi r^2$. Если $S=k\pi$, то $S/\pi=k$.

Конус из полукруга

При $\varphi=180^\circ$ имеем $r/l=1/2$, то есть $l=2r$. Осевое сечение — правильный треугольник, а угол при вершине конуса равен $60^\circ$.

Конус: элементы, образующая, площадь поверхности

11 класс Геометрия

Флеш-карточки к уроку «Конус: элементы, образующая, площадь поверхности»

Освоение темы

Занимайтесь в одном из четырех режимов, чтобы повышать уровень освоения.

Интервальное повторение

Сегодня

Через неделю

Через 2 недели

Через 3 недели

Позанимайтесь сегодня и возвращайтесь через неделю.

Термины

Все

Ускорьте прогресс с полным доступом

Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.

Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.

Подробнее

Добро пожаловать!

Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:

Сохраняйте любимые карточки
Создавайте свои карточки и тесты
Получайте персональные подборки полезных материалов

Создать аккаунт Что такое Образавр?

Освоение темы

Освоение терминов

Освоение темы

Освоение терминов

Очистите экран

Ваши ответы

Готовы увидеть результат?

Конус

Образующая конуса

Площадь боковой поверхности конуса

Площадь полной поверхности конуса

Осевое сечение конуса

Угол сектора развертки

Главная ловушка

Элементы конуса и высота

Площадь осевого сечения

Углы в осевом сечении

Развертка боковой поверхности

Конус из полукруга

Конус: элементы, образующая, площадь поверхности

Освоение темы

Интервальное повторение

Термины

Предложить улучшение

Освоение темы

Освоение терминов

Настройки заучивания

Типы вопросов

Освоение темы

Освоение терминов

Настройки режима «По следам»

Направления

Очистите экран

Настройки подбора

Ваши ответы

Готовы увидеть результат?

Настройки теста

Формат вопросов

Типы вопросов

Конус

Образующая конуса

Площадь боковой поверхности конуса

Площадь полной поверхности конуса

Осевое сечение конуса

Угол сектора развертки

Главная ловушка

Элементы конуса и высота

Площадь осевого сечения

Углы в осевом сечении

Развертка боковой поверхности

Конус из полукруга

Конус: элементы, образующая, площадь поверхности

Освоение темы

Интервальное повторение

Термины

Настройки