Карточки
Тесты
Зави
Цилиндр, конус и многогранники
Цилиндр, конус и многогранники
В прошлом уроке вы разобрали шар, вписанный в многогранник и описанный около него. Теперь вместо шара — цилиндр и конус: научимся видеть их внутри призмы и пирамиды и снаружи. Каждую такую задачу сведем к одному плоскому чертежу — виду сверху, где окружность основания тела и многоугольник основания многогранника. Из него найдем радиус, а затем объем или площадь поверхности.
Цилиндр снаружи: вершины призмы лежат на окружности
Начнем с вопроса, к которому вернемся в конце урока. Из деревянного бруса, у которого основание — квадрат, вытачивают самый большой цилиндр. Какая часть древесины уйдет в стружку? Чтобы ответить, нужно понять, как цилиндр сидит внутри бруса и как брус сидит внутри цилиндра.
Представьте тело в коробке. Если смотреть на коробку сверху, все сводится к одной плоской фигуре — основанию. В нем лежат многоугольник (основание призмы) и круг (основание цилиндра). Высоту сверху не видно, но у обоих тел она одна и та же. Поэтому все пространственное устройство помещается в один плоский чертеж — вид сверху.
Посмотрим на чертеж. Боковые ребра призмы лежат на боковой поверхности цилиндра, значит, все вершины квадрата $ABCD$ лежат на окружности основания. Это окружность, описанная около квадрата. Ее центр $O$ — точка пересечения диагоналей, а радиус — половина диагонали: $r = \frac{a\sqrt2}{2}$.
Определение
Цилиндр, описанный около призмы, — цилиндр, основания которого — круги, описанные около оснований призмы. Призма при этом называется вписанной в цилиндр, ее боковые ребра — образующие цилиндра.
Правило
Если цилиндр описан около призмы, радиус его основания равен радиусу окружности, описанной около основания призмы, а высоты тел равны:
$$r = R_{\text{оп}},\quad h_{\text{ц}} = h_{\text{пр}},\quad V = \pi R_{\text{оп}}^2 h$$
Пример 1
Цилиндр описан около правильной четырехугольной призмы со стороной основания 6 и высотой 4. Найдите объем цилиндра.
Решение. Вид сверху: квадрат со стороной 6 вписан в окружность. Диагональ квадрата $6\sqrt2$, радиус $r = 6\sqrt2 : 2 = 3\sqrt2$, $r^2 = 18$. Высота цилиндра равна высоте призмы: $h = 4$. Объем: $V = \pi \cdot 18 \cdot 4 = 72\pi$.
Ответ: $72\pi$.
Цилиндр внутри: окружность касается сторон основания
Теперь та же призма со стороной основания 6 и высотой 4 — снаружи, а цилиндр — внутри. Самый большой цилиндр касается всех четырех боковых граней. На виде сверху его окружность касается всех сторон квадрата в их серединах, и радиус равен половине стороны: $r = 6 : 2 = 3$.
Определение
Цилиндр, вписанный в призму, — цилиндр, основания которого — круги, вписанные в основания призмы. Боковые грани призмы касаются боковой поверхности цилиндра, высоты тел равны.
Правило
Если цилиндр вписан в призму, радиус его основания равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы:
$$r = r_{\text{вп}},\quad V = \pi r_{\text{вп}}^2 h$$
Для призмы из примера 1 вписанный цилиндр имеет объем $V = \pi \cdot 3^2 \cdot 4 = 36\pi$ — ровно вдвое меньше описанного. Разница только в радиусе, и именно здесь ошибаются чаще всего.
Ошибка
Как ошибаются. Для цилиндра, вписанного в призму со стороной основания 6 и высотой 4, берут радиус описанной окружности $r = 3\sqrt2$ и получают $V = 72\pi$.
Проверка на числах. Цилиндр лежит внутри призмы, поэтому его объем меньше объема призмы: $6 \cdot 6 \cdot 4 = 144$. А $72\pi \approx 226$ — больше коробки, в которой тело лежит. Верный ответ $36\pi \approx 113$ меньше 144.
Где сломалось. Окружность радиуса $3\sqrt2$ проходит через вершины квадрата и выходит за его стороны: такой цилиндр не помещается в призму. На виде сверху сразу видно, какая окружность нужна: вписанная касается сторон, описанная проходит через вершины.
В задачах встречаются не только квадраты. Радиусы окружностей правильных многоугольников вы знаете из планиметрии; соберем их в одну таблицу. У правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен стороне: шестиугольник состоит из шести правильных треугольников с общей вершиной $O$.
Радиусы для правильного многоугольника со стороной $a$
| Основание | Вписанная окружность $r_{\text{вп}}$ | Описанная окружность $R_{\text{оп}}$ |
|---|---|---|
| Правильный треугольник | $\frac{a\sqrt3}{6}$ | $\frac{a\sqrt3}{3}$ |
| Квадрат | $\frac a2$ | $\frac{a\sqrt2}{2}$ |
| Правильный шестиугольник | $\frac{a\sqrt3}{2}$ | $a$ |
Конус снаружи: общая вершина и окружность через вершины основания
С конусом и пирамидой рассуждение то же, добавляется одно условие: у тел общая вершина $S$. Возьмем правильную треугольную пирамиду $SABC$ со стороной основания 6 и высотой 4. Конус описан около нее, если вершины $A$, $B$, $C$ лежат на окружности основания конуса. Высота $SO$ общая: в правильной пирамиде вершина проектируется в центр основания, а он и есть центр описанной окружности.
Определение
Конус, описанный около пирамиды, — конус с той же вершиной, что у пирамиды, основание которого — круг, описанный около основания пирамиды. Боковые ребра пирамиды — образующие конуса.
Правило
Если конус описан около пирамиды, радиус его основания равен радиусу окружности, описанной около основания пирамиды, а высоты равны:
$$r = R_{\text{оп}},\quad V = \frac13\pi R_{\text{оп}}^2 h$$
Пример 2
Конус описан около правильной треугольной пирамиды со стороной основания 6 и высотой 4. Найдите объем конуса.
Решение. Вид сверху: правильный треугольник вписан в окружность. По таблице $R_{\text{оп}} = \frac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$, $r^2 = 12$. Высота общая: $h = 4$. Объем: $V = \frac13\pi \cdot 12 \cdot 4 = 16\pi$.
Ответ: $16\pi$.
Конус внутри: образующая совпадает с апофемой
Пусть теперь конус вписан в правильную четырехугольную пирамиду $SABCD$ со стороной основания 12 и высотой 8. Вершина снова общая, а окружность основания конуса вписана в квадрат и касается стороны $AB$ в ее середине $K$. Значит, радиус конуса $r = OK = 12 : 2 = 6$.
Определение
Конус, вписанный в пирамиду, — конус с той же вершиной, что у пирамиды, основание которого — круг, вписанный в основание пирамиды. Боковые грани пирамиды касаются боковой поверхности конуса.
Вид сверху дает радиус, но для площади боковой поверхности нужна образующая, а сверху она не видна. Возьмем второе сечение — плоскостью через высоту $SO$ и точку касания $K$. Отрезок $SK$ лежит и на боковой грани $SAB$, и на поверхности конуса: это одновременно апофема пирамиды и образующая конуса. В прямоугольном треугольнике $SOK$ катеты $OK = r$ и $SO = h$, гипотенуза $SK = l$.
Правило
Если конус вписан в правильную пирамиду, его радиус — радиус вписанной окружности основания, высота общая, а образующая равна апофеме пирамиды:
$$r = r_{\text{вп}},\quad l = \sqrt{r^2 + h^2},\quad S_{\text{бок}} = \pi r l$$
Пример 3
Конус вписан в правильную четырехугольную пирамиду со стороной основания 12 и высотой 8. Найдите площадь боковой поверхности и объем конуса.
Решение. Окружность основания вписана в квадрат: $r = 12 : 2 = 6$. Образующая — апофема пирамиды: $l = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10$. Площадь боковой поверхности: $S_{\text{бок}} = \pi \cdot 6 \cdot 10 = 60\pi$. Объем: $V = \frac13\pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\pi$.
Ответ: $S_{\text{бок}} = 60\pi$, $V = 96\pi$.
Обратите внимание
Боковое ребро $SA$ — не образующая вписанного конуса. Оно идет к вершине квадрата, а вершина лежит вне круга основания. Ребро длиннее апофемы: в примере 3 $SA = \sqrt{(6\sqrt2)^2 + 8^2} = \sqrt{136} \approx 11{,}7$, а $l = 10$. У описанного конуса, наоборот, образующие — боковые ребра.
Один алгоритм на четыре случая и ответ про брус
Все четыре случая решаются одинаково: сначала вид сверху, потом нужная окружность, потом высота, и только в конце — формула.
Алгоритм
- Определите, что во что вписано: вершины многоугольника на окружности — окружность описанная ($r = R_{\text{оп}}$), окружность касается сторон — вписанная ($r = r_{\text{вп}}$).
- Найдите этот радиус для основания многогранника по таблице или из треугольника на виде сверху.
- Запишите высоту: у цилиндра и призмы, у конуса и пирамиды она общая.
- Если нужна образующая конуса, найдите ее из треугольника $SOK$: $l = \sqrt{r^2 + h^2}$.
- Вычислите объем или площадь поверхности по формуле тела вращения.
Пройдите алгоритм сами: на виде сверху найдите центр основания, проведите нужную окружность и проверьте, касается ли она сторон или проходит через вершины. Начните с квадрата, затем — правильный треугольник.
Вернемся к брусу. Пусть сторона квадрата в основании равна $a$, длина бруса $h$. Наибольший цилиндр вписан в брус: $r = \frac a2$. Объем бруса $a^2h$, объем цилиндра $\pi\frac{a^2}{4}h$. Их отношение $\frac{\pi}{4} \approx 0{,}785$ не зависит ни от $a$, ни от $h$. В стружку уходит $1-\frac{\pi}{4} \approx 0{,}215$, то есть около 21,5% древесины.
Правило
Если у цилиндра и призмы (или у конуса и пирамиды) общая высота, их объемы относятся как площади оснований:
$$\frac{V_1}{V_2} = \frac{S_1}{S_2}$$
★ Доля объема для других оснований
Скрыть
Квадрат, вписанный в круг радиуса $R$, имеет диагональ $2R$ и площадь $2R^2$. Поэтому правильная четырехугольная призма занимает $\frac{2R^2}{\pi R^2} = \frac{2}{\pi} \approx 0{,}637$ описанного цилиндра, а пирамида — ту же долю описанного конуса: множитель $\frac13$ сокращается. Правильный шестиугольник ближе к кругу: его площадь $\frac{3\sqrt3}{2}R^2$, доля $\frac{3\sqrt3}{2\pi} \approx 0{,}827$.
Вывод
Задачи о цилиндре и конусе рядом с призмой и пирамидой встречаются в ЕГЭ профильного уровня в задании №3. Почти все ошибки в них — неверная окружность: вписанная вместо описанной или наоборот. Модель «тело в коробке» снимает эту трудность: посмотрите сверху, и станет видно, касается окружность сторон или проходит через вершины.
Проверяйте ответ размером коробки: вписанное тело меньше внешнего. Больше задач — в практике к заданиям ЕГЭ по стереометрии.
Часто задаваемые вопросы
Нет. Нужна прямая призма, в основание которой можно вписать окружность. У правильной призмы это всегда так. А около прямоугольного параллелепипеда с неравными сторонами основания можно описать цилиндр, но вписать нельзя: окружность не коснется всех четырех сторон прямоугольника.
У конуса и пирамиды общая вершина $S$ и общая плоскость основания. Высота — перпендикуляр из $S$ на эту плоскость, поэтому он один на оба тела. У правильной пирамиды он попадает в центр основания — в центр и вписанной, и описанной окружности.
Описанная окружность проходит через вершины, а вписанная лежит внутри многоугольника, поэтому $R_{\text{оп}} > r_{\text{вп}}$. У квадрата отношение $\sqrt2$, у правильного треугольника — 2. Если у вписанного тела объем вышел больше, чем у внешнего, радиусы перепутаны.
Запишите обе формулы через одни и те же $a$ и $h$ и разделите одну на другую. Для правильной четырехугольной призмы и вписанного цилиндра $V_{\text{ц}} = \frac{\pi}{4}V_{\text{пр}}$, поэтому $V_{\text{пр}} = \frac{4V_{\text{ц}}}{\pi}$.
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий