Цилиндр: элементы, площадь боковой и полной поверхности

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Радиус основания цилиндра равен 4, высота равна 7. Чему равна образующая цилиндра?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["28","11","4","7"],"explanations":["Произведение радиуса и высоты — не длина; образующая цилиндра равна высоте","Радиус и высоту не складывают","Это радиус основания, он перпендикулярен оси",""],"answer":[3]}},"hints":["Образующая цилиндра параллельна оси и соединяет две точки окружностей оснований.","Поэтому образующая равна высоте цилиндра."],"step":1},{"id":"1","content":"Радиус основания цилиндра равен 5, высота равна 9. Чему равна образующая цилиндра?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["5","45","9","14"],"explanations":["Это радиус основания, он перпендикулярен оси","Произведение радиуса и высоты — не длина; образующая цилиндра равна высоте","","Радиус и высоту не складывают"],"answer":[2]}},"hints":["Образующая цилиндра параллельна оси и соединяет две точки окружностей оснований.","Поэтому образующая равна высоте цилиндра."],"step":1},{"id":"2","content":"Диаметр основания цилиндра $d = 7$, высота $h = 4$. Тогда $S_{\\text{бок}} = [[fill_choice-1]]\\pi$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["49","14","28","56"],"answer":2}},"hints":["Радиус вдвое меньше диаметра: $2r = d$.","$S_{\\text{бок}} = 2\\pi rh = \\pi dh = \\pi \\cdot 7 \\cdot 4$.","Получаем $28\\pi$."],"step":1},{"id":"2","content":"Диаметр основания цилиндра $d = 9$, высота $h = 3$. Тогда $S_{\\text{бок}} = [[fill_choice-2]]\\pi$.","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["27","81","13,5","54"],"answer":0}},"hints":["Радиус вдвое меньше диаметра: $2r = d$.","$S_{\\text{бок}} = 2\\pi rh = \\pi dh = \\pi \\cdot 9 \\cdot 3$.","Получаем $27\\pi$."],"step":1},{"id":"3","content":"Сопоставьте цилиндры и значения $S_{\\text{бок}} : \\pi$.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$d = 4$, $h = 3$","$d = 6$, $h = 5$","$d = 10$, $h = 2$"],"items":["12","30","20","24"]}},"hints":["Радиус вдвое меньше диаметра: $r = d : 2$.","$S_{\\text{бок}} : \\pi = 2rh = dh$.","Посчитайте для каждого цилиндра: 4·3 = 12, 6·5 = 30, 10·2 = 20."],"step":1},{"id":"3","content":"Сопоставьте цилиндры и значения $S_{\\text{бок}} : \\pi$.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$d = 8$, $h = 3$","$d = 2$, $h = 9$","$d = 12$, $h = 4$"],"items":["24","18","48","36"]}},"hints":["Радиус вдвое меньше диаметра: $r = d : 2$.","$S_{\\text{бок}} : \\pi = 2rh = dh$.","Посчитайте для каждого цилиндра: 8·3 = 24, 2·9 = 18, 12·4 = 48."],"step":1},{"id":"4","content":"Радиус основания цилиндра равен 5, высота равна 4. Найдите площадь осевого сечения. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"40"}},"hints":["Осевое сечение — прямоугольник $2r \\times h$.","$S = 2 \\cdot 5 \\cdot 4 = 40$.","Ответ: 40."],"step":1},{"id":"4","content":"Радиус основания цилиндра равен 4, высота равна 9. Найдите площадь осевого сечения. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"72"}},"hints":["Осевое сечение — прямоугольник $2r \\times h$.","$S = 2 \\cdot 4 \\cdot 9 = 72$.","Ответ: 72."],"step":1},{"id":"5","content":"Площадь боковой поверхности цилиндра равна $112\\pi$, высота равна 8. Найдите радиус основания. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["$2\\pi rh = 112\\pi$, то есть $2 \\cdot r \\cdot 8 = 112$.","$r = 112 : 16$.","Ответ: 7."],"step":1},{"id":"5","content":"Площадь боковой поверхности цилиндра равна $72\\pi$, высота равна 9. Найдите радиус основания. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["$2\\pi rh = 72\\pi$, то есть $2 \\cdot r \\cdot 9 = 72$.","$r = 72 : 18$.","Ответ: 4."],"step":1},{"id":"6","content":"Диаметр основания цилиндра равен 6, высота равна 5. Решавр нашел площадь боковой поверхности: $S = 2\\pi \\cdot 6 \\cdot 5 = 60\\pi$. Найдите ошибку и верный ответ.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Нужно взять $\\pi dh$ и ничего не менять; верно $S = 60\\pi$","Ошибки нет, $S = 60\\pi$","Диаметр подставлен вместо радиуса; верно $S = 30\\pi$","Не хватает площади оснований; верно $S = 48\\pi$"],"explanations":["Формула $\\pi dh$ верна, но Решавр умножил еще на 2: он смешал две записи формулы","Ошибка есть: в $2\\pi rh$ нужен радиус, вдвое меньше диаметра","","Спрашивали про боковую поверхность, основания в нее не входят"],"answer":[2]}},"hints":["В формуле $S_{\\text{бок}} = 2\\pi rh$ стоит радиус, а в условии дан диаметр.","$r = 6 : 2 = 3$.","$S = 2\\pi \\cdot 3 \\cdot 5 = 30\\pi$."],"step":1},{"id":"6","content":"Диаметр основания цилиндра равен 10, высота равна 4. Решавр нашел площадь боковой поверхности: $S = 2\\pi \\cdot 10 \\cdot 4 = 80\\pi$. Найдите ошибку и верный ответ.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Нужно взять $\\pi dh$ и ничего не менять; верно $S = 80\\pi$","Ошибки нет, $S = 80\\pi$","Диаметр подставлен вместо радиуса; верно $S = 40\\pi$","Не хватает площади оснований; верно $S = 90\\pi$"],"explanations":["Формула $\\pi dh$ верна, но Решавр умножил еще на 2: он смешал две записи формулы","Ошибка есть: в $2\\pi rh$ нужен радиус, вдвое меньше диаметра","","Спрашивали про боковую поверхность, основания в нее не входят"],"answer":[2]}},"hints":["В формуле $S_{\\text{бок}} = 2\\pi rh$ стоит радиус, а в условии дан диаметр.","$r = 10 : 2 = 5$.","$S = 2\\pi \\cdot 5 \\cdot 4 = 40\\pi$."],"step":1},{"id":"7","content":"Решавр искал площадь полной поверхности цилиндра с $r = 3$ и $h = 4$ и записал: $S = 2\\pi \\cdot 3 \\cdot 4 + \\pi \\cdot 3^2 = 33\\pi$. Найдите ошибку и правильный ответ.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Учтено одно основание вместо двух; верно $S = 42\\pi$","Неверна формула боковой поверхности; верно $S = 42\\pi$","Радиус надо заменить диаметром; верно $S = 120\\pi$","Ошибки нет, $S = 33\\pi$"],"explanations":["","Боковая поверхность $2\\pi rh$ найдена верно, ошибка в основаниях","Радиус задан в условии, диаметр не нужен","Ошибка есть: у цилиндра два основания"],"answer":[0]}},"hints":["Поверхность цилиндра состоит из боковой поверхности и двух оснований.","Решавр прибавил площадь одного основания, а нужно два: $\\pi r^2 \\cdot 2 = 18\\pi$.","$S = 24\\pi + 18\\pi = 42\\pi$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр искал площадь полной поверхности цилиндра с $r = 5$ и $h = 2$ и записал: $S = 2\\pi \\cdot 5 \\cdot 2 + \\pi \\cdot 5^2 = 45\\pi$. Найдите ошибку и правильный ответ.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Учтено одно основание вместо двух; верно $S = 70\\pi$","Радиус надо заменить диаметром; верно $S = 240\\pi$","Ошибки нет, $S = 45\\pi$","Неверна формула боковой поверхности; верно $S = 70\\pi$"],"explanations":["","Радиус задан в условии, диаметр не нужен","Ошибка есть: у цилиндра два основания","Боковая поверхность $2\\pi rh$ найдена верно, ошибка в основаниях"],"answer":[0]}},"hints":["Поверхность цилиндра состоит из боковой поверхности и двух оснований.","Решавр прибавил площадь одного основания, а нужно два: $\\pi r^2 \\cdot 2 = 50\\pi$.","$S = 20\\pi + 50\\pi = 70\\pi$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Цилиндрический бак без крышки имеет радиус дна 1 и высоту 3. Найдите площадь его поверхности (дно и стенки), деленную на $\\pi$. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"7"}},"hints":["У сосуда без крышки одно основание — дно.","$S = 2\\pi rh + \\pi r^2 = 2\\pi \\cdot 1 \\cdot 3 + \\pi \\cdot 1 = 6\\pi + 1\\pi$.","Ответ: 7."],"step":1},{"id":"8","content":"Цилиндрическое ведро без крышки имеет радиус дна 2 и высоту 5. Найдите площадь его поверхности (дно и стенки), деленную на $\\pi$. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"24"}},"hints":["У сосуда без крышки одно основание — дно.","$S = 2\\pi rh + \\pi r^2 = 2\\pi \\cdot 2 \\cdot 5 + \\pi \\cdot 4 = 20\\pi + 4\\pi$.","Ответ: 24."],"step":1},{"id":"9","content":"Высота цилиндра равна диаметру его основания. Площадь боковой поверхности равна $36\\pi$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, деленную на $\\pi$. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"54"}},"hints":["Нарисуйте осевое сечение: это квадрат, его стороны — диаметр $2r$ и высота $h$, так что $h = 2r$.","$S_{\\text{бок}} = 2\\pi r \\cdot 2r = 4\\pi r^2 = 36\\pi$, откуда $r^2 = 9$, $r = 3$ и $h = 6$.","$S_{\\text{полн}} = 2\\pi r(r+h) = 2\\pi \\cdot 3 \\cdot 9 = 54\\pi$.","Ответ: 54."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Высота цилиндра равна диаметру его основания. Площадь боковой поверхности равна $100\\pi$. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, деленную на $\\pi$. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"150"}},"hints":["Нарисуйте осевое сечение: это квадрат, его стороны — диаметр $2r$ и высота $h$, так что $h = 2r$.","$S_{\\text{бок}} = 2\\pi r \\cdot 2r = 4\\pi r^2 = 100\\pi$, откуда $r^2 = 25$, $r = 5$ и $h = 10$.","$S_{\\text{полн}} = 2\\pi r(r+h) = 2\\pi \\cdot 5 \\cdot 15 = 150\\pi$.","Ответ: 150."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 6. Радиус увеличили в 2 раза, а высоту уменьшили в 2 раза. Во сколько раз изменилась площадь полной поверхности? [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":["1,75","1.75"]}},"hints":["До: $S_1 = 2\\pi \\cdot 2 \\cdot (2+6) = 32\\pi$.","После: $r = 4$, $h = 3$, $S_2 = 2\\pi \\cdot 4 \\cdot (4+3) = 56\\pi$.","$S_2 : S_1 = 56 : 32$.","Ответ: 1,75."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Радиус основания цилиндра равен 3, высота равна 6. Радиус увеличили в 2 раза, а высоту уменьшили в 2 раза. Во сколько раз изменилась площадь полной поверхности? [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["До: $S_1 = 2\\pi \\cdot 3 \\cdot (3+6) = 54\\pi$.","После: $r = 6$, $h = 3$, $S_2 = 2\\pi \\cdot 6 \\cdot (6+3) = 108\\pi$.","$S_2 : S_1 = 108 : 54$.","Ответ: 2."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>