Объем конуса и усеченного конуса

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту. Объем цилиндра равен 36. Объем конуса равен [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["18","24","108","12"],"answer":3}},"hints":["Цилиндр заполняют три таких конуса.","$36:3=12$."],"step":1},{"id":"1","content":"Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту. Объем цилиндра равен 51. Объем конуса равен [[fill_choice-2]]","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["17","153","25,5","34"],"answer":0}},"hints":["Цилиндр заполняют три таких конуса.","$51:3=17$."],"step":1},{"id":"2","content":"Радиус основания конуса равен 6, высота — 5. Найдите объем конуса, деленный на $\\pi$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"60"}},"hints":["$V=\\frac13\\pi r^2h$.","$V=\\frac13\\pi\\cdot36\\cdot5=60\\pi$. Ответ: 60."],"step":1},{"id":"2","content":"Радиус основания конуса равен 9, высота — 4. Найдите объем конуса, деленный на $\\pi$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"108"}},"hints":["$V=\\frac13\\pi r^2h$.","$V=\\frac13\\pi\\cdot81\\cdot4=108\\pi$. Ответ: 108."],"step":1},{"id":"3","content":"Радиус основания конуса увеличили в 2 раза, высоту не меняли. Как изменился объем?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Увеличился в 8 раз","Увеличился в 2 раза","Не изменился","Увеличился в 4 раза"],"explanations":["Куб получается, когда растут все три размера, а высота здесь не менялась","Радиус стоит в формуле в квадрате, поэтому объем растет быстрее радиуса","Высота прежняя, но площадь основания выросла в $2^2=4$ раза, а объем зависит от площади основания",""],"answer":[3]}},"hints":["Радиус входит в формулу объема во второй степени: $V=\\frac13\\pi r^2h$.","Объем увеличился в $2^2=4$ раза."],"step":1},{"id":"3","content":"Радиус основания конуса увеличили в 3 раза, высоту не меняли. Как изменился объем?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Увеличился в 3 раза","Не изменился","Увеличился в 9 раз","Увеличился в 27 раз"],"explanations":["Радиус стоит в формуле в квадрате, поэтому объем растет быстрее радиуса","Высота прежняя, но площадь основания выросла в $3^2=9$ раз, а объем зависит от площади основания","","Куб получается, когда растут все три размера, а высота здесь не менялась"],"answer":[2]}},"hints":["Радиус входит в формулу объема во второй степени: $V=\\frac13\\pi r^2h$.","Объем увеличился в $3^2=9$ раз."],"step":1},{"id":"4","content":"Диаметр основания конуса равен 10, высота — 9. Решавр записал: «$V=\\pi\\cdot5^2\\cdot9=225\\pi$». Что неверно?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Диаметр надо подставлять вместо радиуса; объем $300\\pi$","Пропущен множитель $\\frac13$; верный объем $75\\pi$","Ошибки нет","Надо делить на 2; объем $112,5\\pi$"],"explanations":["Радиус — половина диаметра, Решавр взял его верно","","Записан объем цилиндра с тем же основанием и высотой","Цилиндр составляют три конуса, не два"],"answer":[1]}},"hints":["Радиус $10:2=5$ найден верно.","Но $\\pi r^2h$ — объем цилиндра; у конуса есть множитель $\\frac13$.","$V=\\frac13\\pi\\cdot25\\cdot9=75\\pi$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Диаметр основания конуса равен 12, высота — 5. Решавр записал: «$V=\\pi\\cdot6^2\\cdot5=180\\pi$». Что неверно?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Пропущен множитель $\\frac13$; верный объем $60\\pi$","Надо делить на 2; объем $90\\pi$","Диаметр надо подставлять вместо радиуса; объем $240\\pi$","Ошибки нет"],"explanations":["","Цилиндр составляют три конуса, не два","Радиус — половина диаметра, Решавр взял его верно","Записан объем цилиндра с тем же основанием и высотой"],"answer":[0]}},"hints":["Радиус $12:2=6$ найден верно.","Но $\\pi r^2h$ — объем цилиндра; у конуса есть множитель $\\frac13$.","$V=\\frac13\\pi\\cdot36\\cdot5=60\\pi$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Сопоставьте данные конуса и его высоту $h$. Один вариант ответа лишний.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$r=9$, $l=41$","$r=20$, $l=29$","$r=11$, $l=61$"],"items":["$h=40$","$h=21$","$h=60$","$h=41$"]}},"hints":["Высоту ищут из прямоугольного треугольника в осевом сечении: $h=\\sqrt{l^2-r^2}$.","$\\sqrt{1681-81}=40$.","$\\sqrt{841-400}=21$.","$\\sqrt{3721-121}=60$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Сопоставьте данные конуса и его высоту $h$. Один вариант ответа лишний.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$r=3$, $l=5$","$r=12$, $l=20$","$r=7$, $l=25$"],"items":["$h=4$","$h=16$","$h=24$","$h=25$"]}},"hints":["Высоту ищут из прямоугольного треугольника в осевом сечении: $h=\\sqrt{l^2-r^2}$.","$\\sqrt{25-9}=4$.","$\\sqrt{400-144}=16$.","$\\sqrt{625-49}=24$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"[[image-1]]Радиус основания конуса равен 9, образующая — 15. Решавр записал: «$V=\\frac13\\pi\\cdot9^2\\cdot15$, ответ $1215\\pi/3$». Где ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/l0nehtchtrw4.svg"},"choice-5":{"type":"choice","options":["Радиус не надо возводить в квадрат; верный объем $45\\pi$","Взята образующая вместо высоты; верный объем $324\\pi$","Ошибки нет, ответ $1215\\pi/3$ верный","Нет множителя $\\frac13$; верный объем $972\\pi$"],"explanations":["Площадь основания — $\\pi r^2$, квадрат нужен","","Образующая длиннее высоты 12, поэтому объем завышен","Множитель $\\frac13$ в записи есть"],"answer":[1]}},"hints":["В формулу объема входит высота — перпендикуляр к основанию.","Из осевого сечения $h=\\sqrt{225-81}=12$.","Верно: $V=\\frac13\\pi\\cdot81\\cdot12=324\\pi$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"[[image-2]]Радиус основания конуса равен 12, образующая — 13. Решавр записал: «$V=\\frac13\\pi\\cdot12^2\\cdot13$, ответ $1872\\pi/3$». Где ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/l0nehtchtrw4.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["Ошибки нет, ответ $1872\\pi/3$ верный","Радиус не надо возводить в квадрат; верный объем $52\\pi$","Взята образующая вместо высоты; верный объем $240\\pi$","Нет множителя $\\frac13$; верный объем $720\\pi$"],"explanations":["Образующая длиннее высоты 5, поэтому объем завышен","Площадь основания — $\\pi r^2$, квадрат нужен","","Множитель $\\frac13$ в записи есть"],"answer":[2]}},"hints":["В формулу объема входит высота — перпендикуляр к основанию.","Из осевого сечения $h=\\sqrt{169-144}=5$.","Верно: $V=\\frac13\\pi\\cdot144\\cdot5=240\\pi$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"[[image-3]]Плоскость, параллельная основанию, отсекает от конуса малый конус с коэффициентом подобия $\\frac13$. Объем всего конуса равен 135. Решавр поделил на $3^2$ и получил 15. Где ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/bvbhxywl3xzf.svg"},"choice-7":{"type":"choice","options":["Надо делить на $3^3=27$; верный ответ 5","Надо умножать на $3^3$; верный ответ 3645","Ошибки нет, ответ 15 верный","Надо делить на $3$; верный ответ 45"],"explanations":["","Малый конус — часть большого, его объем меньше","Квадрат коэффициента дает отношение площадей, а не объемов","Так меняется длина, а объем зависит от трех размеров"],"answer":[0]}},"hints":["Сколько измерений тела входит в объем: сколько раз при подобии умножается каждое из них?","Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия: $3^3=27$, значит, объем малого конуса $135:27=5$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"[[image-4]]Плоскость, параллельная основанию, отсекает от конуса малый конус с коэффициентом подобия $\\frac14$. Объем всего конуса равен 192. Решавр поделил на $4^2$ и получил 12. Где ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/bvbhxywl3xzf.svg"},"choice-8":{"type":"choice","options":["Надо умножать на $4^3$; верный ответ 12288","Ошибки нет, ответ 12 верный","Надо делить на $4$; верный ответ 48","Надо делить на $4^3=64$; верный ответ 3"],"explanations":["Малый конус — часть большого, его объем меньше","Квадрат коэффициента дает отношение площадей, а не объемов","Так меняется длина, а объем зависит от трех размеров",""],"answer":[3]}},"hints":["Сколько измерений тела входит в объем: сколько раз при подобии умножается каждое из них?","Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия: $4^3=64$, значит, объем малого конуса $192:64=3$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник с гипотенузой 12. Найдите объем конуса, деленный на $\\pi$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"72"}},"hints":["Гипотенуза сечения — диаметр основания, поэтому $r=12:2=6$.","Треугольник равнобедренный, высота, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы: $h=r=6$.","$V=\\frac13\\pi\\cdot36\\cdot6=72\\pi$. Ответ: 72."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Осевое сечение конуса — прямоугольный треугольник с гипотенузой 18. Найдите объем конуса, деленный на $\\pi$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"243"}},"hints":["Гипотенуза сечения — диаметр основания, поэтому $r=18:2=9$.","Треугольник равнобедренный, высота, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы: $h=r=9$.","$V=\\frac13\\pi\\cdot81\\cdot9=243\\pi$. Ответ: 243."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-5]]Конус с радиусом основания 6 и высотой 9 разрезан плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии 3 от вершины. Найдите объем нижней части (усеченного конуса), деленный на $\\pi$. [[input-5]]","widgets":{"image-5":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/bvbhxywl3xzf.svg"},"input-5":{"type":"input","answer":"104"}},"hints":["Весь конус: $V=\\frac13\\pi\\cdot36\\cdot9=108\\pi$.","Верхний конус подобен целому с коэффициентом $\\frac{3}{9}$, объем меньше в $27$ раз: $4\\pi$.","Нижняя часть: $108\\pi-4\\pi=104\\pi$. Ответ: 104."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"[[image-6]]Конус с радиусом основания 9 и высотой 12 разрезан плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии 4 от вершины. Найдите объем нижней части (усеченного конуса), деленный на $\\pi$. [[input-6]]","widgets":{"image-6":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/bvbhxywl3xzf.svg"},"input-6":{"type":"input","answer":"312"}},"hints":["Весь конус: $V=\\frac13\\pi\\cdot81\\cdot12=324\\pi$.","Верхний конус подобен целому с коэффициентом $\\frac{4}{12}$, объем меньше в $27$ раз: $12\\pi$.","Нижняя часть: $324\\pi-12\\pi=312\\pi$. Ответ: 312."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Сосуд имеет форму конуса, обращенного вершиной вниз. Уровень налитой жидкости составляет $\\frac{1}{2}$ высоты сосуда, а ее объем равен 70 мл. Сколько миллилитров нужно долить, чтобы сосуд наполнился доверху? [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"490"}},"hints":["Жидкость заполняет конус, подобный сосуду, с коэффициентом $\\frac{1}{2}$.","Объемы относятся как $1^3:2^3$, значит, сосуд вмещает в $8$ раз больше: $560$ мл.","Долить нужно $560-70=490$ мл."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Сосуд имеет форму конуса, обращенного вершиной вниз. Уровень налитой жидкости составляет $\\frac{1}{3}$ высоты сосуда, а ее объем равен 5 мл. Сколько миллилитров нужно долить, чтобы сосуд наполнился доверху? [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"130"}},"hints":["Жидкость заполняет конус, подобный сосуду, с коэффициентом $\\frac{1}{3}$.","Объемы относятся как $1^3:3^3$, значит, сосуд вмещает в $27$ раз больше: $135$ мл.","Долить нужно $135-5=130$ мл."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>