Объемы составных тел и тел, полученных вращением

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Из цилиндра с радиусом 4 и высотой 9 вынут конус с тем же основанием и той же высотой. Ученик записал: «$V=\\pi\\cdot16\\cdot9+\\frac13\\pi\\cdot16\\cdot9=192\\pi$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Надо вычесть из объема конуса объем цилиндра","Ошибки нет, ответ $192\\pi$ верен","Объем выемки прибавили, а его надо вычесть: верно $144\\pi-48\\pi=96\\pi$","Объем конуса считают без $\\frac13$: надо вычесть $144\\pi$"],"explanations":["Цилиндр больше конуса, получится отрицательное число","$192\\pi$ больше объема цилиндра $144\\pi$, а тело в нем помещается","","У конуса множитель $\\frac13$ есть: вычитаемое здесь равно трети объема цилиндра"],"answer":[2]}},"hints":["Набросайте осевое сечение и закрасьте только оставшийся материал. Какой части рисунка соответствует каждое слагаемое записи ученика?","Из цилиндра вынули конус, значит, в этом месте пусто, и его объем не прибавляют.","Верно: $144\\pi-48\\pi=96\\pi$; а $192\\pi$ больше объема самого цилиндра $144\\pi$, так не бывает."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"1","content":"Из цилиндра с радиусом 9 и высотой 5 вынут конус с тем же основанием и той же высотой. Ученик записал: «$V=\\pi\\cdot81\\cdot5+\\frac13\\pi\\cdot81\\cdot5=540\\pi$». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Объем конуса считают без $\\frac13$: надо вычесть $405\\pi$","Ошибки нет, ответ $540\\pi$ верен","Надо вычесть из объема конуса объем цилиндра","Объем выемки прибавили, а его надо вычесть: верно $405\\pi-135\\pi=270\\pi$"],"explanations":["У конуса множитель $\\frac13$ есть: вычитаемое здесь равно трети объема цилиндра","$540\\pi$ больше объема цилиндра $405\\pi$, а тело в нем помещается","Цилиндр больше конуса, получится отрицательное число",""],"answer":[3]}},"hints":["Набросайте осевое сечение и закрасьте только оставшийся материал. Какой части рисунка соответствует каждое слагаемое записи ученика?","Из цилиндра вынули конус, значит, в этом месте пусто, и его объем не прибавляют.","Верно: $405\\pi-135\\pi=270\\pi$; а $540\\pi$ больше объема самого цилиндра $405\\pi$, так не бывает."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"2","content":"Прямоугольная трапеция с основаниями 2 и 4 и высотой 3 вращается вокруг боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Найдите объем полученного тела, деленный на $\\pi$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"28"}},"hints":["Получится усеченный конус с радиусами оснований, равными основаниям трапеции, и высотой, равной стороне-оси.","$V=\\frac{\\pi\\cdot3}{3}(4+8+16)=28\\pi$. Ответ: 28."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"2","content":"Прямоугольная трапеция с основаниями 3 и 6 и высотой 2 вращается вокруг боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Найдите объем полученного тела, деленный на $\\pi$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"42"}},"hints":["Получится усеченный конус с радиусами оснований, равными основаниям трапеции, и высотой, равной стороне-оси.","$V=\\frac{\\pi\\cdot2}{3}(9+18+36)=42\\pi$. Ответ: 42."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"3","content":"В кубе с ребром 10 сделано сквозное отверстие — прямая призма с квадратным основанием со стороной 3; ее боковые ребра параллельны одному из ребер куба, отверстие проходит между противоположными гранями. Ученик записал: «$V=10^3-3^2=991$». В чем ошибка?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Ошибки нет, ответ 991 верен","Объем призмы надо прибавить к объему куба","Вычтена площадь основания призмы, а нужен ее объем: $s^2\\cdot e$","Объем куба надо считать как $3e$"],"explanations":["Вычитаемое имеет размерность площади, а не объема","Отверстие — пустота, ее вычитают","","Объем куба — $e^3$"],"answer":[2]}},"hints":["Сравните единицы двух вычитаемых: чем измеряется объем куба и чем измеряется то, что вычел ученик?","Из объема куба надо вычесть объем призмы, а не площадь ее основания.","Объем призмы $3\\cdot3\\cdot10=90$, ответ $1000-90=910$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"3","content":"В кубе с ребром 9 сделано сквозное отверстие — прямая призма с квадратным основанием со стороной 3; ее боковые ребра параллельны одному из ребер куба, отверстие проходит между противоположными гранями. Ученик записал: «$V=9^3-3^2=720$». В чем ошибка?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Вычтена площадь основания призмы, а нужен ее объем: $s^2\\cdot e$","Объем куба надо считать как $3e$","Объем призмы надо прибавить к объему куба","Ошибки нет, ответ 720 верен"],"explanations":["","Объем куба — $e^3$","Отверстие — пустота, ее вычитают","Вычитаемое имеет размерность площади, а не объема"],"answer":[0]}},"hints":["Сравните единицы двух вычитаемых: чем измеряется объем куба и чем измеряется то, что вычел ученик?","Из объема куба надо вычесть объем призмы, а не площадь ее основания.","Объем призмы $3\\cdot3\\cdot9=81$, ответ $729-81=648$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Капсула — цилиндр с радиусом 3 и высотой 8 и два полушария того же радиуса на его основаниях. Ученик записал: «$V=\\pi\\cdot9\\cdot8+\\frac23\\pi\\cdot27=90\\pi$». В чем ошибка?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Полушарий два, нужно прибавить объем целого шара $\\frac43\\pi r^3$","Нужно вычесть объем полушария, а не прибавлять","Ошибки нет, ответ $90\\pi$ верен","Объем цилиндра надо делить на 3"],"explanations":["","Полушария выступают наружу и добавляют объем","На втором основании тоже есть полушарие, его объем пропущен","Объем цилиндра равен $\\pi r^2h$: делить его на 3 не нужно"],"answer":[0]}},"hints":["Набросайте тело и сопоставьте каждое слагаемое записи ученика с его частью капсулы.","Полушарий два, и вместе они составляют целый шар.","Верно: $V=\\pi\\cdot9\\cdot8+\\frac43\\pi\\cdot27=108\\pi$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Капсула — цилиндр с радиусом 6 и высотой 4 и два полушария того же радиуса на его основаниях. Ученик записал: «$V=\\pi\\cdot36\\cdot4+\\frac23\\pi\\cdot216=288\\pi$». В чем ошибка?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Объем цилиндра надо делить на 3","Ошибки нет, ответ $288\\pi$ верен","Полушарий два, нужно прибавить объем целого шара $\\frac43\\pi r^3$","Нужно вычесть объем полушария, а не прибавлять"],"explanations":["Объем цилиндра равен $\\pi r^2h$: делить его на 3 не нужно","На втором основании тоже есть полушарие, его объем пропущен","","Полушария выступают наружу и добавляют объем"],"answer":[2]}},"hints":["Набросайте тело и сопоставьте каждое слагаемое записи ученика с его частью капсулы.","Полушарий два, и вместе они составляют целый шар.","Верно: $V=\\pi\\cdot36\\cdot4+\\frac43\\pi\\cdot216=432\\pi$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Два сосуда имеют подобную форму: высота первого 10 см, высота второго 30 см. Первый вмещает 2 л. Ученик ответил, что второй вмещает $2\\cdot9=18$ л. В чем ошибка?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Объемы относятся как $k$, надо $2\\cdot3$","Надо делить, а не умножать: второй сосуд меньше","Объемы относятся как $k^3$, а не $k^2$ (так относятся площади)","Ошибки нет: $18$ л верно"],"explanations":["Так относятся длины, а не объемы","Второй сосуд выше, значит, и вместимость больше","","Квадрат коэффициента дает отношение площадей, а не объемов"],"answer":[2]}},"hints":["Как меняются площадь слоя и высота по отдельности, когда все размеры растут в одно и то же число раз?","Коэффициент подобия $k=3$, объемы относятся как $k^3=27$.","Верно: $2\\cdot27=54$ л."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Два сосуда имеют подобную форму: высота первого 6 см, высота второго 24 см. Первый вмещает 3 л. Ученик ответил, что второй вмещает $3\\cdot16=48$ л. В чем ошибка?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: $48$ л верно","Надо делить, а не умножать: второй сосуд меньше","Объемы относятся как $k$, надо $3\\cdot4$","Объемы относятся как $k^3$, а не $k^2$ (так относятся площади)"],"explanations":["Квадрат коэффициента дает отношение площадей, а не объемов","Второй сосуд выше, значит, и вместимость больше","Так относятся длины, а не объемы",""],"answer":[3]}},"hints":["Как меняются площадь слоя и высота по отдельности, когда все размеры растут в одно и то же число раз?","Коэффициент подобия $k=4$, объемы относятся как $k^3=64$.","Верно: $3\\cdot64=192$ л."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 вращают вокруг каждого из катетов. Сопоставьте ось вращения и объем полученного тела, деленный на $\\pi$.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Ось — катет 6","Ось — катет 8"],"items":["128","96","224"]}},"hints":["Катет на оси — высота конуса, другой катет — радиус.","Вокруг катета 6: $\\frac13\\cdot64\\cdot6=128$. Вокруг катета 8: $\\frac13\\cdot36\\cdot8=96$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Прямоугольный треугольник с катетами 5 и 6 вращают вокруг каждого из катетов. Сопоставьте ось вращения и объем полученного тела, деленный на $\\pi$.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Ось — катет 5","Ось — катет 6"],"items":["60","50","110"]}},"hints":["Катет на оси — высота конуса, другой катет — радиус.","Вокруг катета 5: $\\frac13\\cdot36\\cdot5=60$. Вокруг катета 6: $\\frac13\\cdot25\\cdot6=50$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Тело состоит из цилиндра и полушария, поставленного на его верхнее основание; радиус полушария равен радиусу цилиндра. Диаметр основания цилиндра равен 18, полная высота тела равна 14. Найдите объем тела, деленный на $\\pi$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"891"}},"hints":["Радиус $r=18:2=9$, полушарие имеет высоту 9, значит, высота цилиндра $h=14-9=5$.","Цилиндр: $405\\pi$, полушарие: $\\frac23\\pi\\cdot729=486\\pi$.","Сумма: $891\\pi$. Ответ: 891."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Тело состоит из цилиндра и полушария, поставленного на его верхнее основание; радиус полушария равен радиусу цилиндра. Диаметр основания цилиндра равен 12, полная высота тела равна 11. Найдите объем тела, деленный на $\\pi$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"324"}},"hints":["Радиус $r=12:2=6$, полушарие имеет высоту 6, значит, высота цилиндра $h=11-6=5$.","Цилиндр: $180\\pi$, полушарие: $\\frac23\\pi\\cdot216=144\\pi$.","Сумма: $324\\pi$. Ответ: 324."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Труба — цилиндр с наружным диаметром 14 и сквозным цилиндрическим каналом вдоль оси. Толщина стенки равна 2, длина трубы 5. Найдите объем материала трубы, деленный на $\\pi$. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"120"}},"hints":["Наружный радиус $R=14:2=7$, внутренний $r=7-2=5$.","Объем цилиндра $245\\pi$, объем канала $125\\pi$.","Разность: $120\\pi$. Ответ: 120."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Труба — цилиндр с наружным диаметром 20 и сквозным цилиндрическим каналом вдоль оси. Толщина стенки равна 3, длина трубы 4. Найдите объем материала трубы, деленный на $\\pi$. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"204"}},"hints":["Наружный радиус $R=20:2=10$, внутренний $r=10-3=7$.","Объем цилиндра $400\\pi$, объем канала $196\\pi$.","Разность: $204\\pi$. Ответ: 204."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"На цилиндр с радиусом основания 3 и высотой 5 поставили конус с тем же основанием и образующей 5. Объем тела равен [[fill_choice-1]]$\\pi$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["57","60","33","81"],"answer":0}},"hints":["Высота конуса: $h=\\sqrt{5^2-3^2}=4$.","Цилиндр: $45\\pi$, конус: $\\frac13\\pi\\cdot9\\cdot4=12\\pi$.","Сумма: $57\\pi$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"На цилиндр с радиусом основания 6 и высотой 4 поставили конус с тем же основанием и образующей 10. Объем тела равен [[fill_choice-2]]$\\pi$.","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["240","48","264","432"],"answer":0}},"hints":["Высота конуса: $h=\\sqrt{10^2-6^2}=8$.","Цилиндр: $144\\pi$, конус: $\\frac13\\pi\\cdot36\\cdot8=96\\pi$.","Сумма: $240\\pi$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 и гипотенузой 10 вращается вокруг гипотенузы. Найдите объем полученного тела, деленный на $\\pi$. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":["76,8","76.8"]}},"hints":["Получатся два конуса с общим основанием: радиус — высота $h$ к гипотенузе, а высоты в сумме дают гипотенузу.","$h=6\\cdot8:10=4{,}8$.","$V=\\frac13\\pi h^2\\cdot10=\\frac13\\pi\\cdot23{,}04\\cdot10=76{,}8\\pi$. Ответ: 76,8."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Прямоугольный треугольник с катетами 9 и 12 и гипотенузой 15 вращается вокруг гипотенузы. Найдите объем полученного тела, деленный на $\\pi$. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":["259,2","259.2"]}},"hints":["Получатся два конуса с общим основанием: радиус — высота $h$ к гипотенузе, а высоты в сумме дают гипотенузу.","$h=9\\cdot12:15=7{,}2$.","$V=\\frac13\\pi h^2\\cdot15=\\frac13\\pi\\cdot51{,}84\\cdot15=259{,}2\\pi$. Ответ: 259,2."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>