Составное тело

Объем равен сумме объемов частей, если части не перекрываются

Тело с выемкой

$V=V_{\text{целого}}-V_{\text{выемки}}$: пустоту вычитают

Капсула

$V=\pi r^2h+\frac43\pi r^3$: цилиндр и два полушария

Тело вращения

Отрезки, перпендикулярные оси, заметают слои; радиус слоя — расстояние до оси

Подобные тела

При коэффициенте $k$ объемы относятся как $k^3$

Проверка ответа

Объем составного тела не больше объема охватывающего тела

Прямоугольник вокруг стороны

Получается цилиндр: сторона на оси дает высоту $h$, другая сторона — радиус $r$. Площадь слоя $S_{\text{осн}}=\pi r^2$, объем $V=S_{\text{осн}}h=\pi r^2h$. Если при неизменном радиусе увеличить только высоту в $k$ раз, объем увеличится в $k$ раз; это не подобие.

Треугольник вокруг катета

Получается конус: катет на оси — высота $h$, другой катет — радиус $r$. Объем $V=\frac13\pi r^2h$. Если известна образующая $l$, сначала находят высоту $h=\sqrt{l^2-r^2}$.

Полукруг вокруг диаметра

Получается шар радиуса $R$ с объемом $V=\frac43\pi R^3$. Полушарие имеет высоту $R$ и объем $\frac23\pi R^3$. На цилиндре учитывают только выступающее полушарие, чтобы не посчитать перекрывающиеся части дважды.

Прямоугольная трапеция при вращении

При вращении вокруг боковой стороны, перпендикулярной основаниям, получается усеченный конус. Его радиусы $r_1<r_2$ равны основаниям трапеции, высота $h$ — стороне на оси. Объем $V=\frac{\pi h}{3}(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)$. Проверка другим способом: достроить до полного конуса и вычесть малый; высоты малого и полного конусов относятся как $r_1:r_2$, а разность высот равна $h$.

Вращение вокруг гипотенузы

Прямоугольный треугольник с катетами $a,b$ и гипотенузой $c$ образует два конуса с общим основанием. Радиус основания — высота к гипотенузе: $r=\frac{ab}{c}$. Высоты конусов удовлетворяют $h_1+h_2=c$, поэтому $V=\frac13\pi r^2h_1+\frac13\pi r^2h_2=\frac13\pi r^2c$. Выбор оси меняет тело и его объем; без указанной оси задача не определена.

План вычисления объема

Выделите знакомые части и пустоты, выберите сложение частей без перекрытий или вычитание пустоты. Найдите размеры в одинаковых единицах: радиус $r=d/2$; при полной высоте $H$ цилиндр под полушарием имеет высоту $H-r$, цилиндрическая часть капсулы — $H-2r$. Для трубы с наружным радиусом $R$ и толщиной стенки $t$ радиус канала $r=R-t$, площадь кольца $\pi(R^2-r^2)$, объем материала $\pi(R^2-r^2)h$, а не $\pi(R-r)^2h$. Рассчитайте объемы частей и выполните выбранное действие. Ответ для непустого тела положителен и не больше объема охватывающего тела; другой способ расчета служит проверкой. $1\ \text{л}=1\ \text{дм}^3=1000\ \text{см}^3$, $1\ \text{мл}=1000\ \text{мм}^3$. Если $V=A\pi$, ответ, деленный на $\pi$, равен $A$: приближать $\pi$ не нужно.