Объем цилиндра. Понятие объема

Содержание

В уроке о цилиндре вы изучили его элементы и осевое сечение. Сегодня разберем, что такое объем тела и какими свойствами он обладает, найдем объемы параллелепипеда и прямой призмы и выведем формулу объема цилиндра. Все формулы урока получатся из одной идеи: тело — это стопка одинаковых слоев.

Объем — это сколько места занимает тело

Возьмем цилиндрическую банку: диаметр дна 10 см, высота 12 см. Поместится ли в нее литр сока? На глаз ответить трудно: банка узкая, но высокая. Чтобы ответить точно, нужно измерить, сколько места занимает тело. Вернемся к банке в конце урока.

Цилиндрическая банка диаметром 10 см и высотой 12 см рядом с кубом с ребром 1 дм (1 литр): что больше? — Чтобы сравнить банку с литром, нужно измерить ее объем

Площадь фигуры мы измеряли единичными квадратами. Объем измеряют единичными кубами — кубами с ребром 1 см, 1 дм или 1 м. Возьмем куб с ребром 3 см и заполним его кубиками с ребром 1 см. На дно ляжет слой $3\cdot 3=9$ кубиков, а таких слоев по высоте три. Всего $9\cdot 3=27$ кубиков, то есть объем куба равен $27\ \text{см}^3$.

Куб 3×3×3 из единичных кубиков разложен на 3 слоя по 9 кубиков: 9 · 3 = 27 — Объем = кубики в одном слое × число слоев: 9 · 3 = 27

Определение

Объем тела — это положительная величина, измеряющая, сколько места занимает тело. За единицу принимают объем куба с единичным ребром. Объем может быть и долей этой единицы: куб с ребром 0,5 см занимает $\frac18\ \text{см}^3$. Сначала посчитаем тела, в которые кубики помещаются целиком. Объем обладает свойствами:

равные тела имеют равные объемы;
если тело составлено из нескольких тел, не имеющих общих внутренних точек, то его объем равен сумме их объемов;
объем куба с ребром, равным единице длины, равен единице;
если тело содержится в другом теле, его объем не больше объема второго тела.

Второе свойство объясняет, почему можно резать тело на слои: объем всего тела равен сумме объемов слоев. Если разрезать тело и сложить из частей другое, объем не изменится, хотя форма станет иной.

{"questions":[{"content":"Сколько кубиков с ребром 1 см поместится в куб с ребром 4 см? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"64"}},"hints":["В нижний слой ложится $4\\cdot4=16$ кубиков.","Таких слоев 4, по одному на каждый сантиметр высоты.","$16\\cdot4=64$."],"step":1},{"content":"Кубик объемом $1\\ \\text{см}^3$ разрезали на две части и сложили из них новое тело, не оставляя пустот. Чему равен объем нового тела?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$0{,}5\\ \\text{см}^3$","$2\\ \\text{см}^3$","Больше $1\\ \\text{см}^3$, если тело вышло длиннее","$1\\ \\text{см}^3$"],"explanations":["Это объем одной части, если резали пополам; тело составлено из обеих","Число частей не складывается в объем: складываются объемы самих частей","Форма изменилась, но объем — сумма объемов частей, а части те же",""],"answer":[3]}},"hints":["Тело составлено из двух частей без общих внутренних точек — объем равен сумме объемов частей.","Сумма объемов частей та же, что была у кубика: $1\\ \\text{см}^3$."],"step":1}],"mix":1}

Прямоугольный параллелепипед — стопка одинаковых слоев

С кубиками считать долго. Заметим, что в каждом слое одинаковое число кубиков, поэтому достаточно сосчитать один слой и умножить на число слоев. Так работает формула объема прямоугольного параллелепипеда, знакомая с 5 класса.

Параллелепипед 2×3×4 из кубиков: нижний слой 6 кубиков, 4 слоя, всего 6 · 4 = 24 — Слой 2 × 3 = 6 кубиков, слоев 4: объем 6 · 4 = 24

Пример 1

Задача. Прямоугольный параллелепипед имеет измерения 2, 3 и 4. Найдите его объем.

Решение. Положим параллелепипед на грань $2\times 3$. В нижнем слое $2\cdot 3=6$ единичных кубов — это площадь основания. Слоев 4 — это высота. Объем $V=6\cdot 4=24$.

Ответ: 24.

Правило

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений, то есть площади основания на высоту:

$$V=abc=S_{\text{осн}}\cdot h$$

{"questions":[{"content":"Прямоугольный параллелепипед с основанием $4\\times5$ и высотой 6 сложен из единичных кубиков. В нижнем слое [[fill_choice-1]] кубиков, а слоев — 6.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["24","20","15","30"],"answer":1}},"hints":["Нижний слой — прямоугольник $4\\times5$.","В нем $4\\cdot5=20$ кубиков; всего $20\\cdot6=120$."],"step":1},{"content":"Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 3, 4 и 5. Найдите его объем. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"60"}},"hints":["Объем параллелепипеда равен произведению трех измерений: $V=abc$.","$V=3\\cdot4\\cdot5=60$."],"step":1}],"mix":1}

Слой может быть любой формы

В записи $V=S_{\text{осн}}h$ не сказано, что основание — прямоугольник. Важно другое: все слои одинаковы и лежат друг на друге без сдвига. Так устроена любая прямая призма: каждое сечение, параллельное основанию, равно основанию. Начнем с примера. Параллелепипед $3\times4\times10$ имеет объем $120$. Плоскость, проходящая через ребро длиной 10 и диагональ основания, разрезает его на две равные прямые призмы, основание каждой — прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Значит, объем каждой равен $60$, и это совпадает с $S_{\text{осн}}h=\frac12\cdot3\cdot4\cdot10=60$. Докажем то же для любой призмы тремя шагами.

Шаг 1. Прямоугольный треугольник. Прямая призма с таким основанием (катеты $a$ и $b$) вместе с равной ей призмой достраивается до параллелепипеда $a\times b\times h$, поэтому ее объем равен $\frac{abh}{2}=S_{\text{осн}}h$.

Шаг 2. Любой треугольник. Проведем высоту к самой длинной стороне: углы при этой стороне острые, поэтому основание высоты лежит внутри стороны, и треугольник разбивается на два прямоугольных. Призма разбивается на две призмы с прямоугольными треугольниками в основании; их объемы складываются по свойству 2, и снова получается $S_{\text{осн}}h$.

Шаг 3. Любой многоугольник. Он разбивается на треугольники, а объемы призм над ними складываются по свойству 2. Значит, $V=S_{\text{осн}}h$ для любой прямой призмы.

Прямая треугольная призма, разрезанная на тонкие слои: каждый слой равен основанию — Треугольная призма — стопка одинаковых треугольных слоев: V = S осн · h

Теорема

Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту:

$$V=S_{\text{осн}}\cdot h$$

Пример 2

Задача. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 5 и 8, высота призмы 9. Найдите объем.

Решение. Слой — прямоугольный треугольник: $S_{\text{осн}}=\frac12\cdot 5\cdot 8=20$. Слоев «на высоту» 9, поэтому $V=20\cdot 9=180$.

Проверка смысла. Две такие призмы складываются в параллелепипед $5\times 8\times 9$ объемом 360, а $360:2=180$.

Ответ: 180.

{"questions":[{"content":"Площадь основания прямой призмы равна 12, а высота — 5. Найдите объем призмы. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"60"}},"hints":["Столбик из одинаковых слоев: объем равен площади слоя на число слоев — $V=S_{\\text{осн}}h$.","$V=12\\cdot5=60$."],"step":1},{"content":"Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетами 6 и 4, высота призмы равна 7. Найдите объем призмы. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"84"}},"hints":["Слой призмы — треугольник: $S_{\\text{осн}}=\\frac12\\cdot6\\cdot4=12$.","$V=S_{\\text{осн}}h=12\\cdot7=84$."],"step":1}],"mix":1}

Цилиндр — стопка монет

Стопка одинаковых монет похожа на цилиндр: каждый слой — круг радиуса $r$, все слои одинаковы и лежат друг на друге. Значит, объем должен считаться так же: площадь слоя на высоту. Площадь круга $\pi r^2$.

Формулу $S_{\text{осн}}h$ мы доказали для призм, а круг — не многоугольник. Впишем в основание цилиндра правильный многоугольник и построим на нем прямую призму той же высоты. При радиусе 1 площадь вписанного шестиугольника примерно 2,598, двенадцатиугольника — 3,000, 24-угольника — 3,106, 96-угольника — 3,139. Площади приближаются к $\pi\approx 3{,}1416$, а призмы — к цилиндру. Объем каждой призмы равен $S_{\text{осн}}h$, поэтому и объем цилиндра равен $\pi r^2\cdot h$.

Вписанные 6-, 12- и 24-угольник в круг радиуса 1: площади 2,598, 3,000 и 3,106 приближаются к π — Чем больше сторон у основания призмы, тем ближе ее объем к объему цилиндра

Теорема

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту:

где $r$ — радиус основания, $h$ — высота цилиндра.

$$V=S_{\text{осн}}\cdot h=\pi r^2h$$

Почему это доказательство, а не догадка

Скрыть

Цилиндр содержит вписанную призму и сам содержится в описанной призме той же высоты (ее основание — правильный многоугольник, описанный около круга). Значит, объем цилиндра больше $S_1h$ и меньше $S_2h$, где $S_1$ и $S_2$ — площади вписанного и описанного многоугольников. С ростом числа сторон обе площади сколь угодно близко подходят к $\pi r^2$. Значит, объемы обеих призм, $S_1h$ и $S_2h$, сколь угодно близко подходят к $\pi r^2h$, а объем цилиндра зажат между ними. Поэтому $V=\pi r^2h$.

Пример 3

Задача. Радиус основания цилиндра 2 см, высота 7 см. Найдите объем.

Решение. Слой — круг: $S_{\text{осн}}=\pi\cdot 2^2=4\pi\ \text{см}^2$. Объем $V=4\pi\cdot 7=28\pi\ \text{см}^3\approx 88\ \text{см}^3$.

Ответ: $28\pi\ \text{см}^3$.

Ошибка

Как ошибаются. Пишут $V=\pi rh$, забыв квадрат, или подставляют диаметр вместо радиуса: $V=\pi d^2h$. Часто путают с площадью боковой поверхности $S_{\text{бок}}=2\pi rh$ из урока о цилиндре.

Проверка на числах. Возьмем цилиндр с $r=2$ и $h=6$: верно $\pi r^2h=24\pi$, а ошибки дают $\pi rh=12\pi$ и $\pi d^2h=\pi\cdot 16\cdot 6=96\pi$. Первое ошибочное число в 2 раза меньше правильного, второе — в 4 раза больше. А что получится для нашей банки, узнаем в конце урока.

Где ломается рассуждение. Объем — это слой, умноженный на высоту, а слой — круг площадью $\pi r^2$. В $\pi rh$ нет площади слоя: единицы $\text{см}\cdot\text{см}=\text{см}^2$, это площадь, а не объем. Объем всегда измеряется в кубах единицы длины: три множителя-длины. При диаметре вместо радиуса слой выходит радиуса $2r$, а его площадь в $2^2=4$ раза больше.

Ошибка: диаметр вместо радиуса даёт слой в 4 раза больше; π r h — площадь, а не объём — Слой с диаметром вместо радиуса в 4 раза больше настоящего, а πrh — плоская площадь, не объем

Проверьте формулу сами. Напомним: литр — это объем куба с ребром 1 дм $=10$ см, то есть $10\cdot10\cdot10=1000\ \text{см}^3$ (подробнее — в разделе 6). Сначала оставьте высоту и предскажите: как изменится площадь круглого слоя (вид сверху), если радиус удвоить? Затем проверьте. После этого добейтесь, чтобы объем был примерно равен 1 л.

w2-g11-3-1-318-stopka

Сравните: высота вдвое — слоев вдвое больше, объем вдвое; радиус вдвое — площадь круглого слоя вчетверо, поэтому и объем вчетверо.

{"questions":[{"content":"У цилиндра радиус 2 и высота 9. Ученик получил $V=18\\pi$. Какой множитель он потерял?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Пропущен второй множитель $r$ (радиус в квадрате); верно $36\\\\pi$","Пропущен множитель $3$ (нужно умножить на 3); верно $36\\\\pi$","Пропущен множитель $\\\\pi$ (нужно ввести его); верно $36\\\\pi$","Пропущен множитель $h$ (нужно умножить на высоту); верно $36\\\\pi$"],"explanations":["","Умножение на 3 дало бы $54\\pi$, а верно $36\\pi$","$\\pi$ в ответе ученика есть: $18\\pi$","Высота учтена: число 9 входит в $18\\pi$"],"answer":[0]}},"hints":["Верная формула $V=\\pi r^2h$; подставьте $r=2$, $h=9$.","$V=\\pi\\cdot2^2\\cdot9=36\\pi$, а ученик получил $\\pi\\cdot2\\cdot9=18\\pi$."],"step":1},{"content":"Диаметр основания цилиндра равен 10, высота — 3. Ученик записал: «$V=\\pi\\cdot10^2\\cdot3=300\\pi$». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Радиус не нужно возводить в квадрат; верно $15\\pi$","Ошибки нет; верно $300\\pi$","Подставлен диаметр вместо радиуса; верно $75\\pi$","Нужно разделить на 3; верно $100\\pi$"],"explanations":["Без квадрата получается $\\pi rh$ — это площадь, а не объем: единицы квадратные","Слой с радиусом 10 в 4 раза больше настоящего: радиус равен половине диаметра","","Деление ошибочного результата на 3 ничего не исправляет: радиус по-прежнему взят равным диаметру; надо взять $r=d/2$ и вычислить заново"],"answer":[2]}},"hints":["Какая величина входит в формулу $V=\\pi r^2h$ и совпадает ли она с той, что взята в решении ученика?","$r=10:2=5$, $V=\\pi\\cdot5^2\\cdot3=75\\pi$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Сопоставьте величину цилиндра с радиусом $r$ и высотой $h$ и ее формулу.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Объем","Площадь основания","Площадь боковой поверхности"],"items":["$\\pi r^2h$","$\\pi r^2$","$2\\pi rh$","$\\pi rh$"]}},"hints":["Объем — это площадь слоя-круга, умноженная на высоту.","Площадь основания — площадь круга, боковая поверхность — прямоугольник $2\\pi r\\times h$.","Объем — $\\pi r^2h$, основание — $\\pi r^2$, боковая поверхность — $2\\pi rh$."],"step":1}],"mix":1}

Радиус и высоту можно найти по осевому сечению

В задачах цилиндр часто задан не радиусом и высотой, а осевым сечением. Вспомним: осевое сечение — прямоугольник, одна сторона которого — диаметр основания $2r$, а другая — высота $h$. Из него получаем оба числа для формулы. Если осевое сечение — квадрат, то $2r=h$. Боковая поверхность цилиндра развертывается в прямоугольник, одна сторона которого — длина окружности основания $2\pi r$, а другая — высота $h$.

Цилиндр с осевым сечением: радиус r, высота h — Ширина осевого сечения — диаметр 2r, высота сечения — высота цилиндра h

Пример 4

Задача. Осевое сечение цилиндра — прямоугольник $8\times 10$, причем сторона 8 лежит в основании. Найдите объем цилиндра.

Решение. Сторона в основании — диаметр: $2r=8$, $r=4$. Другая сторона — высота: $h=10$. $V=\pi\cdot 4^2\cdot 10=160\pi$.

Проверка. Если ошибочно взять $r=8$, получится $640\pi$ — в 4 раза больше, ровно как в рубрике «Ошибка».

Ответ: $160\pi$.

Обратите внимание

Формула работает и «назад»: если известны объем и радиус, высота $h=\dfrac{V}{\pi r^2}$. Делите на всю площадь слоя $\pi r^2$, а не на $\pi r$.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Осевое сечение цилиндра — квадрат со стороной 6. Найдите объем цилиндра, деленный на $\\pi$. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ddnxhbwdldtf.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"54"}},"hints":["Сторона квадрата — это и высота цилиндра, и диаметр основания: $h=6$, $r=3$.","$V=\\pi\\cdot3^2\\cdot6=54\\pi$.","Ответ: 54."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Диаметр основания цилиндра равен 8, высота — 3. Найдите объем цилиндра, деленный на $\\pi$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"48"}},"hints":["В формулу входит радиус: $r=8:2=4$.","$V=\\pi\\cdot4^2\\cdot3=48\\pi$.","Ответ: 48."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Объем цилиндра равен $50\\pi$, радиус основания равен 5. Найдите высоту цилиндра. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["$V=\\pi r^2h$, поэтому $h=\\dfrac{V}{\\pi r^2}$.","$h=\\dfrac{50\\pi}{\\pi\\cdot25}=2$."],"step":1}],"mix":1}

Литр — это куб с ребром 1 дециметр

Емкость сосудов указывают в литрах. Литр — это объем куба с ребром 1 дм. Разделим такой куб на кубики с ребром 1 см: в слое $10\cdot 10=100$ кубиков, слоев 10, всего $1000$. Значит, $1\ \text{л}=1\ \text{дм}^3=1000\ \text{см}^3$, а $1\ \text{м}^3=1000\ \text{л}$.

Куб с ребром 1 дм из кубиков по 1 см: слой 10×10 — 100 кубиков, 10 слоев, всего 1000 см³ = 1 л — 1 л = 1 дм³ = 10 · 10 · 10 = 1000 см³

Обратите внимание

Перед вычислением приведите все длины к одной единице. Если радиус дан в дециметрах, а высота в сантиметрах, переведите высоту в дециметры: тогда объем выйдет в $\text{дм}^3$, то есть сразу в литрах.

Пример 5

Вернемся к банке. Диаметр 10 см, значит, $r=5$ см; высота $h=12$ см.

$V=\pi\cdot 5^2\cdot 12=300\pi\approx 942\ \text{см}^3\approx 0{,}94$ л.

Ответ: литр сока в банку не поместится — не хватит около $58\ \text{см}^3$.

{"questions":[{"content":"В какой записи объем $2{,}5$ л выражен в кубических сантиметрах?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$250\\ \\text{см}^3$","$25000\\ \\text{см}^3$","$25\\ \\text{см}^3$","$2500\\ \\text{см}^3$"],"explanations":["Умножили на 100 — так переводят в квадратные единицы, а объем измеряется кубами: нужен множитель $10^3$","Лишний нуль: $10^3=1000$, а не $10\\,000$","Умножили на 10: в дециметре 10 см, но объем — куб длины",""],"answer":[3]}},"hints":["1 л — это куб с ребром 1 дм, то есть $1\\ \\text{дм}^3$.","$1\\ \\text{дм}=10\\ \\text{см}$, поэтому $1\\ \\text{дм}^3=10\\cdot10\\cdot10=1000\\ \\text{см}^3$.","$2{,}5\\cdot1000=2500\\ \\text{см}^3$."],"step":1},{"content":"Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 50 см, 30 см и 40 см. Сколько литров воды в нем помещается? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"60"}},"hints":["$V=50\\cdot30\\cdot40=60\\,000\\ \\text{см}^3$.","$1\\ \\text{л}=1000\\ \\text{см}^3$, поэтому $60\\,000:1000=60$ л."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Объем показывает, сколько места занимает тело в единицах объема (кубах с единичным ребром и их долях); равные тела имеют равные объемы, а объем составного тела равен сумме объемов частей. Поэтому тело можно резать на слои. Если все слои одинаковы, объем равен площади слоя, умноженной на высоту стопки: $V=S_{\text{осн}}h$. Для цилиндра слой — круг, и $V=\pi r^2h$. Эта же модель пригодится в следующих уроках: у конуса и шара слои уже не одинаковы.

Часто задаваемые вопросы

Почему в формуле объема цилиндра радиус в квадрате, а высота нет?

Радиус задает площадь слоя-круга $\pi r^2$, а площадь — это две длины. Высота показывает, сколько таких слоев положено друг на друга, — это третья длина. Вместе получаются три множителя-длины, как и положено объему.

Чем объем цилиндра отличается от площади его боковой поверхности?

Боковая поверхность $2\pi rh$ — это площадь «этикетки», ее измеряют в квадратных единицах. Объем $\pi r^2h$ — сколько места внутри, его измеряют в кубических единицах. Если в ответе на объем получились $\text{см}^2$, в формуле ошибка.

Что делать, если в задаче дан диаметр?

Сначала найдите радиус: $r=d:2$. Подставлять диаметр в формулу нельзя — объем выйдет в 4 раза больше.

Работает ли формула для наклонного цилиндра?

В школьном курсе рассматривают прямой цилиндр. Для наклонного тоже верно $V=S_{\text{осн}}h$, если $h$ — высота, то есть расстояние между плоскостями оснований, а не длина образующей: сдвинутые монеты занимают столько же места.

Зачем в ЕГЭ просят ответ, деленный на π?

Объем цилиндра почти всегда содержит множитель $\pi$, например $45\pi$. Просят записать коэффициент при $\pi$: если $V=45\pi$, запишите 45. Этот коэффициент не обязательно целый.

Награды за урок