Конус: элементы, образующая, площадь поверхности

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"У конуса $P$ — вершина, $Q$ — центр основания, точки $C$ и $D$ лежат на окружности основания, $CD$ проходит через $Q$. Сопоставьте отрезок и его название.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$PC$","$PQ$","$QD$","$CD$"],"items":["Образующая","Высота","Радиус основания","Диаметр основания"]}},"hints":["Для каждого отрезка определите, где лежат его концы: вершина, центр или окружность.","Образующая соединяет вершину с точкой окружности, высота — вершину с центром основания, радиус — центр с окружностью, диаметр — две точки окружности через центр.","$PC$ — образующая, $PQ$ — высота; $QD$ соединяет центр $Q$ с точкой $D$ окружности — это радиус; $CD$ — диаметр."],"step":1},{"id":"1","content":"У конуса $T$ — вершина, $H$ — центр основания, точки $E$ и $F$ лежат на окружности основания, $EF$ проходит через $H$. Сопоставьте отрезок и его название.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["$TH$","$HE$","$TF$","$EF$"],"items":["Высота","Радиус основания","Образующая","Диаметр основания"]}},"hints":["Для каждого отрезка определите, где лежат его концы: вершина, центр или окружность.","Образующая соединяет вершину с точкой окружности, высота — вершину с центром основания, радиус — центр с окружностью, диаметр — две точки окружности через центр.","$TF$ — образующая, $TH$ — высота; $HE$ — радиус, $EF$ — диаметр."],"step":1},{"id":"2","content":"Радиус основания конуса равен 6, высота равна 8. Найдите образующую конуса. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["$l = \\sqrt{6^2+8^2} = \\sqrt{100}$.","Ответ: 10."],"step":1},{"id":"2","content":"Радиус основания конуса равен 5, высота равна 12. Найдите образующую конуса. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"13"}},"hints":["$l = \\sqrt{5^2+12^2} = \\sqrt{169}$.","Ответ: 13."],"step":1},{"id":"3","content":"Боковая поверхность конуса равна $44\\pi$, радиус основания равен 4. Тогда $S_{\\text{полн}} = 44\\pi + [[fill_choice-1]]$.","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$8\\pi$","$16\\pi$","$4\\pi$","$32\\pi$"],"answer":1}},"hints":["Какие части поверхности нужно сложить?","К боковой поверхности добавляется одно основание — круг радиуса 4: $\\pi r^2 = 16\\pi$."],"step":1},{"id":"3","content":"Боковая поверхность конуса равна $27\\pi$, радиус основания равен 3. Тогда $S_{\\text{полн}} = 27\\pi + [[fill_choice-2]]$.","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$3\\pi$","$18\\pi$","$6\\pi$","$9\\pi$"],"answer":3}},"hints":["Какие части поверхности нужно сложить?","К боковой поверхности добавляется одно основание — круг радиуса 3: $\\pi r^2 = 9\\pi$."],"step":1},{"id":"4","content":"Радиус основания конуса равен 4, образующая равна 7. Найдите площадь боковой поверхности, деленную на $\\pi$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"28"}},"hints":["$S_{\\text{бок}} = \\pi r l$.","$S_{\\text{бок}} = \\pi \\cdot 4 \\cdot 7 = 28\\pi$.","Ответ: 28."],"step":1},{"id":"4","content":"Радиус основания конуса равен 5, образующая равна 9. Найдите площадь боковой поверхности, деленную на $\\pi$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"45"}},"hints":["$S_{\\text{бок}} = \\pi r l$.","$S_{\\text{бок}} = \\pi \\cdot 5 \\cdot 9 = 45\\pi$.","Ответ: 45."],"step":1},{"id":"5","content":"Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите площадь осевого сечения. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Основание треугольника $2r = 6$, высота 4.","$S = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 4 = 12$.","Ответ: 12."],"step":1},{"id":"5","content":"Радиус основания конуса равен 5, высота равна 12. Найдите площадь осевого сечения. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"60"}},"hints":["Основание треугольника $2r = 10$, высота 12.","$S = \\frac{1}{2} \\cdot 10 \\cdot 12 = 60$.","Ответ: 60."],"step":1},{"id":"6","content":"Решавр искал площадь полной поверхности конуса с $r = 3$ и $l = 5$ и записал: $S_{\\text{полн}} = \\pi \\cdot 3 \\cdot 5 + 2\\pi \\cdot 3^2 = 33\\pi$. Найдите ошибку и верный ответ.[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Не хватает множителя 2 в боковой поверхности; верно $39\\pi$","Ошибки нет, ответ $33\\pi$","Основание не нужно совсем; верно $15\\pi$","Прибавлено два основания, а у конуса оно одно; верно $24\\pi$"],"explanations":["Площадь сектора равна половине произведения радиуса $l$ на длину дуги $2\\pi r$: $\\frac{1}{2} \\cdot l \\cdot 2\\pi r = \\pi r l$","Ошибка есть: основание конуса одно","Полная поверхность включает основание, без него это боковая",""],"answer":[3]}},"hints":["У конуса одно основание (круг), вершина основанием не является.","$S_{\\text{полн}} = \\pi r l + \\pi r^2 = \\pi r(r+l) = \\pi \\cdot 3 \\cdot (3+5) = 24\\pi$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"Решавр искал площадь полной поверхности конуса с $r = 4$ и $l = 9$ и записал: $S_{\\text{полн}} = \\pi \\cdot 4 \\cdot 9 + 2\\pi \\cdot 4^2 = 68\\pi$. Найдите ошибку и верный ответ.[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Не хватает множителя 2 в боковой поверхности; верно $88\\pi$","Основание не нужно совсем; верно $36\\pi$","Прибавлено два основания, а у конуса оно одно; верно $52\\pi$","Ошибки нет, ответ $68\\pi$"],"explanations":["Площадь сектора равна половине произведения радиуса $l$ на длину дуги $2\\pi r$: $\\frac{1}{2} \\cdot l \\cdot 2\\pi r = \\pi r l$","Полная поверхность включает основание, без него это боковая","","Ошибка есть: основание конуса одно"],"answer":[2]}},"hints":["У конуса одно основание (круг), вершина основанием не является.","$S_{\\text{полн}} = \\pi r l + \\pi r^2 = \\pi r(r+l) = \\pi \\cdot 4 \\cdot (4+9) = 52\\pi$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Осевое сечение конуса — правильный треугольник со стороной 4. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на $\\pi$. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["Сторона треугольника равна образующей и диаметру: $l = 4$, $r = 2$.","$S_{\\text{полн}} = \\pi r(r+l) = \\pi \\cdot 2 \\cdot (2+4) = 12\\pi$.","Ответ: 12."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Осевое сечение конуса — правильный треугольник со стороной 6. Найдите площадь полной поверхности конуса, деленную на $\\pi$. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"27"}},"hints":["Сторона треугольника равна образующей и диаметру: $l = 6$, $r = 3$.","$S_{\\text{полн}} = \\pi r(r+l) = \\pi \\cdot 3 \\cdot (3+6) = 27\\pi$.","Ответ: 27."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Решавр искал площадь полной поверхности конуса с $r = 6$ и $h = 8$ и записал: $S_{\\text{полн}} = \\pi r(r+h) = 84\\pi$. Найдите ошибку и верный ответ.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Результат надо удвоить; верно $168\\pi$","Ошибки нет, ответ $84\\pi$","Надо добавить второе основание; верно $120\\pi$","Вместо образующей $l$ взята высота $h$; верно $96\\pi$"],"explanations":["Множитель 2 здесь не нужен: неверна сама подстановка $h$","Ошибка есть: высота не равна образующей","Основание у конуса одно, и оно в формуле уже учтено",""],"answer":[3]}},"hints":["В формуле $S_{\\text{полн}} = \\pi r(r+l)$ стоит образующая. Найдем ее: $l = \\sqrt{6^2+8^2} = 10$.","$S_{\\text{полн}} = \\pi \\cdot 6 \\cdot (6+10) = 96\\pi$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Решавр искал площадь полной поверхности конуса с $r = 5$ и $h = 12$ и записал: $S_{\\text{полн}} = \\pi r(r+h) = 85\\pi$. Найдите ошибку и верный ответ.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Вместо образующей $l$ взята высота $h$; верно $90\\pi$","Надо добавить второе основание; верно $110\\pi$","Ошибки нет, ответ $85\\pi$","Результат надо удвоить; верно $170\\pi$"],"explanations":["","Основание у конуса одно, и оно в формуле уже учтено","Ошибка есть: высота не равна образующей","Множитель 2 здесь не нужен: неверна сама подстановка $h$"],"answer":[0]}},"hints":["В формуле $S_{\\text{полн}} = \\pi r(r+l)$ стоит образующая. Найдем ее: $l = \\sqrt{5^2+12^2} = 13$.","$S_{\\text{полн}} = \\pi \\cdot 5 \\cdot (5+13) = 90\\pi$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Радиус основания конуса равен 3, высота равна 4. Найдите угол сектора развертки боковой поверхности.[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$216^\\circ$","$288^\\circ$","$600^\\circ$","$270^\\circ$"],"explanations":["","В доле взят катет $h$ вместо радиуса","Доля перевернута: $l$ делят на $r$","В доле взята высота вместо образующей"],"answer":[0]}},"hints":["Образующая: $l = \\sqrt{3^2+4^2} = 5$.","$\\varphi = 360^\\circ \\cdot \\frac{3}{5} = 216^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Радиус основания конуса равен 4, высота равна 3. Найдите угол сектора развертки боковой поверхности.[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$288^\\circ$","$480^\\circ$","$450^\\circ$","$216^\\circ$"],"explanations":["","В доле взята высота вместо образующей","Доля перевернута: $l$ делят на $r$","В доле взят катет $h$ вместо радиуса"],"answer":[0]}},"hints":["Образующая: $l = \\sqrt{4^2+3^2} = 5$.","$\\varphi = 360^\\circ \\cdot \\frac{4}{5} = 288^\\circ$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Конус с радиусом основания 3 имеет полную поверхность площади $24\\pi$. Чему равна его высота? [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":"4"}},"hints":["$\\pi r(r+l) = 24\\pi$, то есть $3(3+l) = 24$, откуда $r+l = 8$.","$l = 8-3 = 5$.","$h = \\sqrt{5^2-3^2} = 4$.","Ответ: 4."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Конус с радиусом основания 5 имеет полную поверхность площади $90\\pi$. Чему равна его высота? [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":"12"}},"hints":["$\\pi r(r+l) = 90\\pi$, то есть $5(5+l) = 90$, откуда $r+l = 18$.","$l = 18-5 = 13$.","$h = \\sqrt{13^2-5^2} = 12$.","Ответ: 12."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>