Объем цилиндра. Понятие объема

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Радиус основания цилиндра равен 4, высота — 7. Найдите объем цилиндра, деленный на $\\pi$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"112"}},"hints":["Площадь основания $S_{\\text{осн}}=\\pi r^2$.","$V=\\pi\\cdot4^2\\cdot7=112\\pi$.","Ответ: 112."],"step":1},{"id":"1","content":"Радиус основания цилиндра равен 6, высота — 5. Найдите объем цилиндра, деленный на $\\pi$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"180"}},"hints":["Площадь основания $S_{\\text{осн}}=\\pi r^2$.","$V=\\pi\\cdot6^2\\cdot5=180\\pi$.","Ответ: 180."],"step":1},{"id":"2","content":"Объем цилиндра равен $72\\pi$, радиус основания — 3. Высота цилиндра $h=\\dfrac{72\\pi}{\\pi r^2}=$ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["216","8","24","12"],"answer":1}},"hints":["$h=\\dfrac{V}{\\pi r^2}$.","$h=\\dfrac{72\\pi}{\\pi\\cdot9}=8$."],"step":1},{"id":"2","content":"Объем цилиндра равен $150\\pi$, радиус основания — 5. Высота цилиндра $h=\\dfrac{150\\pi}{\\pi r^2}=$ [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["15","30","6","750"],"answer":2}},"hints":["$h=\\dfrac{V}{\\pi r^2}$.","$h=\\dfrac{150\\pi}{\\pi\\cdot25}=6$."],"step":1},{"id":"3","content":"Боковая поверхность цилиндра, развернутая на плоскость, — квадрат со стороной 6. Найдите $\\pi V$, где $V$ — объем цилиндра. $\\pi V=$ [[fill_choice-3]].","widgets":{"fill_choice-3":{"type":"fill_choice","options":["36","108","216","54"],"answer":3}},"hints":["Высота равна 6, длина окружности основания $2\\pi r=6$, значит, $r=\\dfrac{6}{2\\pi}$.","$V=\\pi r^2h=\\pi\\cdot\\dfrac{36}{4\\pi^2}\\cdot6=\\dfrac{216}{4\\pi}$, поэтому $\\pi V=\\dfrac{216}{4}=54$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"3","content":"Боковая поверхность цилиндра, развернутая на плоскость, — квадрат со стороной 10. Найдите $\\pi V$, где $V$ — объем цилиндра. $\\pi V=$ [[fill_choice-4]].","widgets":{"fill_choice-4":{"type":"fill_choice","options":["1000","500","250","100"],"answer":2}},"hints":["Высота равна 10, длина окружности основания $2\\pi r=10$, значит, $r=\\dfrac{10}{2\\pi}$.","$V=\\pi r^2h=\\pi\\cdot\\dfrac{100}{4\\pi^2}\\cdot10=\\dfrac{1000}{4\\pi}$, поэтому $\\pi V=\\dfrac{1000}{4}=250$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Сопоставьте данное об основании цилиндра и радиус $r$.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Диаметр равен $12$","Длина окружности равна $10\\pi$","Площадь основания равна $49\\pi$"],"items":["$r=6$","$r=5$","$r=7$","$r=12$"]}},"hints":["Диаметр вдвое больше радиуса: $r=d:2$.","Из $2\\pi r=C$ получаем $r=C:(2\\pi)$.","Из $\\pi r^2=S$ получаем $r=\\sqrt{S/\\pi}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"Сопоставьте данное об основании цилиндра и радиус $r$.[[matcher-2]]","widgets":{"matcher-2":{"type":"matcher","labels":["Диаметр равен $16$","Длина окружности равна $14\\pi$","Площадь основания равна $36\\pi$"],"items":["$r=8$","$r=7$","$r=6$","$r=16$"]}},"hints":["Диаметр вдвое больше радиуса: $r=d:2$.","Из $2\\pi r=C$ получаем $r=C:(2\\pi)$.","Из $\\pi r^2=S$ получаем $r=\\sqrt{S/\\pi}$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Решавр искал объем цилиндра с радиусом 3 и высотой 4 и записал: «$V=\\pi\\cdot3\\cdot4=12\\pi$». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Нужно разделить на 3: $V=\\frac13\\pi rh$","Радиус нужно возвести в квадрат: $V=\\pi r^2h$","Нужно умножить еще на 2: $V=2\\pi rh$","Ошибки нет"],"explanations":["Деление на 3 не восстанавливает площадь основания: нужен множитель $r^2$, а в $\\pi rh$ остаются квадратные единицы","","Это формула боковой поверхности $2\\pi rh$ (площади), а не объема","Размерность подсказывает ошибку: $\\pi rh$ — это длина в квадрате, а объем — длина в кубе"],"answer":[1]}},"hints":["Основание цилиндра — круг. Найдите площадь этого круга, затем умножьте на высоту.","В формуле радиус должен быть во второй степени."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"Решавр искал объем цилиндра с радиусом 5 и высотой 2 и записал: «$V=\\pi\\cdot5\\cdot2=10\\pi$». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Нужно разделить на 3: $V=\\frac13\\pi rh$","Нужно умножить еще на 2: $V=2\\pi rh$","Радиус нужно возвести в квадрат: $V=\\pi r^2h$","Ошибки нет"],"explanations":["Деление на 3 не восстанавливает площадь основания: нужен множитель $r^2$, а в $\\pi rh$ остаются квадратные единицы","Это формула боковой поверхности $2\\pi rh$ (площади), а не объема","","Размерность подсказывает ошибку: $\\pi rh$ — это длина в квадрате, а объем — длина в кубе"],"answer":[2]}},"hints":["Основание цилиндра — круг. Найдите площадь этого круга, затем умножьте на высоту.","В формуле радиус должен быть во второй степени."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"В чужом решении задачи «диаметр основания цилиндра равен 12, высота 5» написано: «Пусть $r=12$. Тогда $V=\\pi r^2h=\\pi\\cdot12^2\\cdot5=720\\pi$». Найдите ошибку и верный объем.[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Радиус не возведен в квадрат; верно $30\\pi$","Нужно разделить на 3; верно $240\\pi$","Диаметр принят за радиус; верно $180\\pi$","Ошибки нет: $720\\pi$"],"explanations":["Квадрат в решении есть; ошибка в самом значении $r$","Деление ошибочного результата на 3 ничего не исправляет: радиус по-прежнему взят равным диаметру; надо взять $r=d/2$ и вычислить заново","","Слой с диаметром вместо радиуса в 4 раза больше настоящего"],"answer":[2]}},"hints":["Какая величина входит в формулу $V=\\pi r^2h$ и совпадает ли она с той, что дана в условии?","Радиус $r=12:2=6$.","$V=\\pi\\cdot6^2\\cdot5=180\\pi$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"В чужом решении задачи «диаметр основания цилиндра равен 18, высота 2» написано: «Пусть $r=18$. Тогда $V=\\pi r^2h=\\pi\\cdot18^2\\cdot2=648\\pi$». Найдите ошибку и верный объем.[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Нужно разделить на 3; верно $216\\pi$","Радиус не возведен в квадрат; верно $18\\pi$","Диаметр принят за радиус; верно $162\\pi$","Ошибки нет: $648\\pi$"],"explanations":["Деление ошибочного результата на 3 ничего не исправляет: радиус по-прежнему взят равным диаметру; надо взять $r=d/2$ и вычислить заново","Квадрат в решении есть; ошибка в самом значении $r$","","Слой с диаметром вместо радиуса в 4 раза больше настоящего"],"answer":[2]}},"hints":["Какая величина входит в формулу $V=\\pi r^2h$ и совпадает ли она с той, что дана в условии?","Радиус $r=18:2=9$.","$V=\\pi\\cdot9^2\\cdot2=162\\pi$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Радиус основания бочки равен 3 дм, высота — 50 см. Решавр записал: «$V=\\pi\\cdot3^2\\cdot50=450\\pi$ л». В чем ошибка и каков верный объем?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Радиус нужно взять без квадрата; верно $15\\pi$ л","Ошибки нет: $450\\pi$ л","Нужно разделить на 1000; верно $0{,}45\\pi$ л","Высота не переведена в дм; верно $45\\pi$ л"],"explanations":["Радиус в формуле объема именно во второй степени","В исходном произведении единицы $\\text{дм}^2\\cdot\\text{см}$, а не $\\text{дм}^3$: число нельзя подписать литрами; переведите высоту в дм и вычислите заново","1000 нужно при переходе от $\\text{см}^3$, а здесь мы сразу работаем в дм",""],"answer":[3]}},"hints":["Радиус в дециметрах, высота в сантиметрах — длины надо привести к одним единицам.","$50$ см $=5$ дм, $V=\\pi\\cdot3^2\\cdot5=45\\pi\\ \\text{дм}^3$.","$1\\ \\text{дм}^3=1$ л."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Радиус основания бочки равен 4 дм, высота — 60 см. Решавр записал: «$V=\\pi\\cdot4^2\\cdot60=960\\pi$ л». В чем ошибка и каков верный объем?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Ошибки нет: $960\\pi$ л","Радиус нужно взять без квадрата; верно $24\\pi$ л","Нужно разделить на 1000; верно $0{,}96\\pi$ л","Высота не переведена в дм; верно $96\\pi$ л"],"explanations":["В исходном произведении единицы $\\text{дм}^2\\cdot\\text{см}$, а не $\\text{дм}^3$: число нельзя подписать литрами; переведите высоту в дм и вычислите заново","Радиус в формуле объема именно во второй степени","1000 нужно при переходе от $\\text{см}^3$, а здесь мы сразу работаем в дм",""],"answer":[3]}},"hints":["Радиус в дециметрах, высота в сантиметрах — длины надо привести к одним единицам.","$60$ см $=6$ дм, $V=\\pi\\cdot4^2\\cdot6=96\\pi\\ \\text{дм}^3$.","$1\\ \\text{дм}^3=1$ л."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"[[image-1]]Площадь осевого сечения цилиндра равна 48, радиус основания — 3. Найдите объем цилиндра, деленный на $\\pi$. [[input-3]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ddnxhbwdldtf.svg"},"input-3":{"type":"input","answer":"72"}},"hints":["Осевое сечение — прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$.","$2r\\cdot h=48$, значит, $h=48:6=8$.","$V=\\pi\\cdot3^2\\cdot8=72\\pi$. Ответ: 72."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"[[image-2]]Площадь осевого сечения цилиндра равна 60, радиус основания — 5. Найдите объем цилиндра, деленный на $\\pi$. [[input-4]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/ddnxhbwdldtf.svg"},"input-4":{"type":"input","answer":"150"}},"hints":["Осевое сечение — прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$.","$2r\\cdot h=60$, значит, $h=60:10=6$.","$V=\\pi\\cdot5^2\\cdot6=150\\pi$. Ответ: 150."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Цилиндр вписан в куб с ребром 4: его основания лежат на двух гранях куба и касаются четырех других граней. Найдите объем цилиндра, деленный на $\\pi$. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":"16"}},"hints":["Высота цилиндра равна ребру куба: $h=4$.","Диаметр основания равен ребру: $r=4:2=2$.","$V=\\pi\\cdot4\\cdot4=16\\pi$. Ответ: 16."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Цилиндр вписан в куб с ребром 8: его основания лежат на двух гранях куба и касаются четырех других граней. Найдите объем цилиндра, деленный на $\\pi$. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":"128"}},"hints":["Высота цилиндра равна ребру куба: $h=8$.","Диаметр основания равен ребру: $r=8:2=4$.","$V=\\pi\\cdot16\\cdot8=128\\pi$. Ответ: 128."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"В цилиндрический сосуд налили воду до уровня 18 см. Диаметр основания сосуда — 10 см. Всю воду без потерь перелили в другой цилиндрический сосуд, диаметр основания которого 30 см. Вода поместилась в сосуде. Какого уровня она достигла? Ответ дайте в сантиметрах. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Объем воды остается тем же: $\\pi r_1^2h_1=\\pi r_2^2h_2$.","$h_2=h_1\\cdot\\left(\\dfrac{10}{30}\\right)^2=18\\cdot100:900=2$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"В цилиндрический сосуд налили воду до уровня 40 см. Диаметр основания сосуда — 6 см. Всю воду без потерь перелили в другой цилиндрический сосуд, диаметр основания которого 12 см. Вода поместилась в сосуде. Какого уровня она достигла? Ответ дайте в сантиметрах. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Объем воды остается тем же: $\\pi r_1^2h_1=\\pi r_2^2h_2$.","$h_2=h_1\\cdot\\left(\\dfrac{6}{12}\\right)^2=40\\cdot36:144=10$."],"level":"повышенный","step":1}]}</textarea></pre></div>