Шар, цилиндр и конус друг в друге

Содержание

Вы уже совмещали цилиндр и конус с многогранниками. В этом уроке соединим тела вращения между собой: шар в цилиндре и цилиндр в шаре, шар в конусе и конус в шаре, цилиндр в конусе. Все пять случаев решаются одним приемом — осевым сечением.

Шар в цилиндре: круг в квадрате

Теннисные мячи часто продают по три в цилиндрической банке: мячи касаются стенок, а крайние — еще дна и крышки. Какая доля банки занята мячами? Ответим в конце урока, а начнем с одного мяча в банке.

Цилиндр с вписанным шаром: шар касается оснований и боковой поверхности по окружности большого круга — Шар касается обоих оснований и боковой поверхности цилиндра по окружности большого круга

Представьте, что тело лежит в коробке, а мы разрезаем обе фигуры плоскостью через общую ось. Шар даст круг радиуса $R$, цилиндр — прямоугольник с шириной $2r$ и высотой $h$. Шар касается обоих оснований — значит, круг касается верхней и нижней сторон прямоугольника, и $h=2R$. Шар касается боковой поверхности — круг касается боковых сторон, и $2r=2R$.

Осевое сечение: шар вписан в цилиндр, круг вписан в прямоугольник — В осевом сечении круг вписан в квадрат: r = R, h = 2R

Шар, вписанный в цилиндр

Осевое сечение цилиндра — квадрат, в который вписан большой круг шара. Поэтому

$$r=R,\qquad h=2R$$

Пример 1. Объемы шара и цилиндра

Шар радиуса 4 вписан в цилиндр. Найдите объемы цилиндра и шара.

Решение. Сечение — квадрат со стороной 8, поэтому $r=4$, $h=8$. Объем цилиндра $V_{\text{ц}}=\pi\cdot4^2\cdot8=128\pi$. Объем шара $V_{\text{ш}}=\frac43\pi\cdot4^3=\frac{256}{3}\pi$.

Ответ: $128\pi$ и $\frac{256}{3}\pi$.

Алгоритм: тело в теле

Проведите осевое сечение — плоскость через общую ось тел.
Назовите фигуры сечения: шар — круг, цилиндр — прямоугольник, конус — равнобедренный треугольник.
Запишите, что чего касается или где лежат вершины: «вписан» или «описан».
Составьте уравнение для $R$, $r$, $h$ по планиметрии.
Найдите нужный объем или площадь.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Шар радиуса 3 вписан в цилиндр. Найдите объем цилиндра, деленный на $\\pi$. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/glktqiqnu52i.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"54"}},"hints":["Шар касается оснований и боковой поверхности: $r = R = 3$, высота равна диаметру $h = 6$.","$V = \\pi \\cdot 9 \\cdot 6 = 54\\pi$.","Ответ: 54."],"step":1},{"content":"Полная поверхность цилиндра, описанного около шара, равна $54\\pi$. Площадь поверхности шара равна [[fill_choice-1]]","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$81\\pi$","$9\\pi$","$36\\pi$","$54\\pi$"],"answer":2}},"instruction":"Заполните пропуск","hints":["$r = R$, $h = 2R$: $S_{\\text{полн}} = 2\\pi R \\cdot 2R + 2\\pi R^2 = 6\\pi R^2$.","$6R^2 = 54$, $R^2 = 9$, $R = 3$.","$S_{\\text{сф}} = 4\\pi R^2 = 36\\pi$."],"step":1}],"mix":1}

Цилиндр в шаре: диагональ сечения равна диаметру

Поменяем тела местами. Цилиндр вписан в шар — окружности его оснований лежат на сфере. В осевом сечении четыре вершины прямоугольника лежат на окружности радиуса $R$. Прямой угол прямоугольника — вписанный угол, он опирается на диаметр; значит, диагональ — диаметр, она равна $2R$.

Осевое сечение: цилиндр вписан в шар, прямоугольник вписан в круг; диагональ — диаметр — Прямоугольник вписан в круг: его диагональ — диаметр шара

Цилиндр, вписанный в шар

Центр шара — середина оси цилиндра. Из прямоугольного треугольника «радиус основания — половина высоты — радиус шара»:

$$R^2=r^2+\left(\frac h2\right)^2$$

Пример 2. Радиус шара

Цилиндр с радиусом основания 9 и высотой 24 вписан в шар. Найдите радиус шара.

Решение. Сечение — прямоугольник $18\times24$, его диагональ — диаметр. От центра до вершины прямоугольника: по горизонтали $r=9$, по вертикали $\frac h2=12$. Тогда $R^2=81+144=225$, $R=15$.

Проверка. Диагональ $\sqrt{18^2+24^2}=30=2R$.

Ответ: 15.

Ошибка

Как ошибаются. Переносят формулы первого раздела на цилиндр в шаре: «высота равна диаметру, $h=2R$, и радиус основания равен $R$».

Проверка на числах. Цилиндр с $r=4$ вписан в шар радиуса 5. По «правилу» $h=10$. Но тогда прямоугольник сечения $8\times10$ имеет диагональ $\sqrt{64+100}\approx12{,}8>10$: его вершины вышли бы за шар. Верно: $\left(\frac h2\right)^2=25-16=9$, $h=6$. А если взять и $h=2R$, и $r=R$, диагональ станет $10\sqrt2$.

Где ломается рассуждение. «Шар в цилиндре» — круг касается сторон квадрата. «Цилиндр в шаре» — вершины прямоугольника лежат на окружности. Это разные условия. Перед формулой нарисуйте сечение и проверьте, что чего касается.

Осевое сечение шара радиуса 5: прямоугольник 8 на 10 с вершинами вне круга (неверно) и прямоугольник 8 на 6 с вершинами на окружности (верно) — Слева «правило» h = 2R: вершины прямоугольника 8×10 вышли за круг радиуса 5. Справа верно: вершины на окружности, h = 6

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Решавр искал радиус шара, описанного около цилиндра с радиусом основания 5 и высотой 24: <br>1) осевое сечение — прямоугольник $10 \\times 24$, вписанный в круг; <br>2) диагональ — диаметр: $R^2 = 5^2 + 24^2 = 601$; <br>3) $R = \\sqrt{601}$.<br>Где ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/yfumpl91asog.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["В шаге 1: сечение — не прямоугольник","В шаге 2: взята вся высота вместо половины","Ошибок нет","В шаге 3: корень извлечен неверно"],"explanations":["Осевое сечение цилиндра — прямоугольник, и это верно","","Ответ $\\sqrt{601} \\approx 24{,}5$ больше высоты цилиндра, а центр шара лежит посередине высоты","Извлечение корня тут ни при чем: числа под корнем взяты неверно"],"answer":[1]}},"hints":["От центра шара до вершины прямоугольника по вертикали — половина высоты, $h/2 = 12$, а не $h$.","$R^2 = r^2 + (h/2)^2 = 25 + 144 = 169$.","Верный ответ: $R = 13$."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Что в осевом сечении происходит с прямоугольником и кругом? Распределите утверждения.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Круг касается сторон прямоугольника","Вершины прямоугольника лежат на окружности"],"items":[["Шар вписан в цилиндр","Цилиндр описан около шара"],["Цилиндр вписан в шар","Шар описан около цилиндра"]]}},"instruction":"Распределите","hints":["Шар вписан в цилиндр: круг касается сторон прямоугольника (квадрата).","Цилиндр вписан в шар: вершины прямоугольника лежат на окружности."],"step":1},{"content":"[[image-2]]В шар вписан цилиндр с радиусом основания 8 и высотой 30. Найдите радиус шара. [[input-1]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/yfumpl91asog.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"17"}},"hints":["Диагональ осевого сечения (прямоугольника $16 \\times 30$) — диаметр шара.","$R^2 = r^2 + (h/2)^2 = 64 + 225 = 289$.","Ответ: 17."],"step":1}],"mix":1}

Шар в конусе: окружность, вписанная в треугольник

Шар вписан в конус — касается основания и боковой поверхности. Осевое сечение конуса — равнобедренный треугольник $SAB$ с основанием $2r$, высотой $SH=h$ и боковыми сторонами $l$. Большой круг шара — окружность, вписанная в этот треугольник. Ее центр $I$ лежит на высоте $SH$ — оси конуса.

Осевое сечение: шар вписан в конус, круг вписан в равнобедренный треугольник SAB — Радиус шара — радиус окружности, вписанной в осевое сечение конуса

Шар, вписанный в конус

Радиус $\rho$ вписанной окружности равен площади треугольника, деленной на полупериметр. Для сечения $S=rh$, $p=r+l$:

$$\rho=\frac{rh}{r+l},\qquad l=\sqrt{r^2+h^2}$$

Откуда формула радиуса: два вывода

Скрыть

Площадь треугольника $SAB$ — половина основания $2r$, умноженная на высоту $h$, то есть $rh$. Полупериметр $\frac{2l+2r}{2}=l+r$. Тот же ответ дает подобие. Пусть $K$ — точка касания окружности со стороной $SB$. Прямоугольные треугольники $SKI$ и $SHB$ имеют общий угол при вершине $S$, поэтому $\frac{IK}{SI}=\frac{HB}{SB}$, то есть $\frac{\rho}{h-\rho}=\frac rl$. Отсюда $\rho l=rh-r\rho$ и $\rho=\frac{rh}{r+l}$.

Пример 3. Шар в конусе

В конус с радиусом основания 8 и высотой 15 вписан шар. Найдите его радиус.

Решение. Образующая $l=\sqrt{64+225}=17$. Сечение — треугольник со сторонами 17, 17, 16. Площадь $S=\frac12\cdot16\cdot15=120$, полупериметр $p=\frac{17+17+16}{2}=25$. Тогда $\rho=\frac{120}{25}=4{,}8$.

Проверка. По формуле $\frac{8\cdot15}{8+17}=4{,}8$.

Ответ: $4{,}8$.

Ошибка

Как ошибаются. Считают центр шара серединой высоты: $\rho=\frac h2$.

Проверка на числах. В примере 3 получилось бы $7{,}5$, а верно $4{,}8$. При $\rho=7{,}5$ шар вылез бы за боковую поверхность.

Где ломается рассуждение. Центр вписанной окружности равноудален от всех трех сторон и лежит на биссектрисах углов. Боковые стороны сходятся к вершине, поэтому центр ближе к основанию. По той же причине точка касания на образующей удалена от точки $B$ на $r$ (отрезки касательных из $B$ равны), а не лежит в середине образующей, как часто рисуют.

Как радиус шара зависит от формы конуса? Сделайте прогноз для трех конусов с разным углом при вершине, а затем найдите угол, при котором $\rho=\frac r2$.

m4-shar-v-konuse-ugol

{"questions":[{"content":"[[image-1]]В конус с радиусом основания 6 и высотой 8 вписан шар. Найдите радиус шара. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/te8v7bwdbjit.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Осевое сечение — треугольник со сторонами $l = 10$, $10$, $12$, шар даст вписанную окружность.","$r_{\\text{ш}} = \\dfrac{S}{p}$, $S = \\tfrac12 \\cdot 12 \\cdot 8 = 48$, $p = 16$.","Ответ: 3."],"step":1},{"content":"[[image-2]]Образующая конуса равна диаметру его основания 6 (осевое сечение — правильный треугольник). В конус вписан шар радиуса $\\rho$. Найдите $\\rho^2$. [[input-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/te8v7bwdbjit.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Высота $h = 3\\sqrt3$. Центр вписанной окружности правильного треугольника делит высоту в отношении $2 : 1$.","$\\rho = h : 3 = \\sqrt3$.","$\\rho^2 = 3$. Ответ: 3."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Конус в шаре: треугольник, вписанный в окружность

Конус вписан в шар — его вершина $S$ и окружность основания лежат на сфере. В осевом сечении треугольник $SAB$ вписан в окружность радиуса $R$. Центр $O$ лежит на прямой $SH$, и $OS=OB=R$.

Осевое сечение: конус вписан в шар, треугольник вписан в круг; вершина S и точки A, B на окружности — Вершина и концы диаметра основания лежат на окружности: OS = OB = R

Конус, вписанный в шар

Продлим высоту $SH$ до диаметра $SD$. Угол $SBD$ опирается на диаметр, он прямой, поэтому $HB^2=SH\cdot HD$, то есть $r^2=h(2R-h)$:

$$R=\frac{r^2+h^2}{2h}=\frac{l^2}{2h}$$

Пример 4. Шар около конуса

Конус с радиусом основания 6 и высотой 18 вписан в шар. Найдите радиус шара.

Решение. $R=\frac{36+324}{2\cdot18}=\frac{360}{36}=10$.

Проверка. Центр на высоте, $OH=18-10=8$, и $OB^2=8^2+6^2=100$, $OB=10=R$.

Ответ: 10.

Если конус «приземистый» ($h<r$), то $R>h$, и центр шара лежит ниже основания. Формула работает и тогда: она получена из прямого угла $SBD$, а не из положения центра.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]Конус с радиусом основания 3 и высотой 9 вписан в шар. Найдите радиус шара. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/e6owdhjfccca.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"5"}},"hints":["Осевое сечение — треугольник, вписанный в круг радиуса $R$. Центр на высоте, $OS = OB = R$, $OH = 9-R$.","$R^2 = (9-R)^2 + 9$, $18R = 90$.","Ответ: 5."],"step":1},{"content":"[[image-2]]Конус с радиусом основания 4 и высотой 2 вписан в шар. Где лежит центр шара?[[choice-1]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/e6owdhjfccca.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["На продолжении высоты за вершиной конуса","На высоте конуса, в ее середине","На продолжении высоты за основанием конуса","В центре основания конуса"],"explanations":["Любая точка над вершиной ближе к вершине, чем к окружности основания: расстояния не равны","Середина высоты удалена от вершины на 1, а от точек окружности основания — на $\\sqrt{17}$: расстояния не равны","","Центр основания удален от вершины на 2, а от окружности основания — на 4: расстояния не равны"],"answer":[2]}},"hints":["$R = \\dfrac{r^2 + h^2}{2h} = \\dfrac{16 + 4}{4} = 5$.","Расстояние от вершины до центра $R = 5$ больше высоты $h = 2$, значит центр лежит на продолжении высоты за основанием, на расстоянии $5-2 = 3$ от него."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Каждый конус вписан в шар. Сопоставьте конус и радиус шара.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["Конус с $r = 4$, $h = 8$","Конус с $r = 6$, $h = 6$","Конус с $r = 6$, $h = 3$"],"items":["$5$","$6$","$7{,}5$","$9$"]}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["$R = \\dfrac{r^2+h^2}{2h}$: при $r = 4$, $h = 8$ получается $\\dfrac{80}{16} = 5$.","При $r = 6$, $h = 6$: $\\dfrac{72}{12} = 6$ — центр шара в центре основания.","При $r = 6$, $h = 3$: $\\dfrac{45}{6} = 7{,}5$ — центр шара ниже основания."],"step":1}],"mix":1}

Цилиндр в конусе и отношения объемов

Этот раздел повышенной сложности. Цилиндр вписан в конус: нижнее основание лежит на основании конуса, окружность верхнего — на боковой поверхности. В сечении прямоугольник вписан в треугольник: верхние вершины лежат на боковых сторонах.

Осевое сечение: цилиндр вписан в конус, прямоугольник вписан в треугольник; верхние вершины лежат на сторонах — Верхнее основание цилиндра отсекает малый конус, подобный данному

Цилиндр, вписанный в конус

Пусть $r_1$ и $x$ — радиус и высота цилиндра. Над цилиндром остается малый конус высоты $h-x$ и радиуса $r_1$, подобный данному:

$$\frac{h-x}{h}=\frac{r_1}{r}$$

Пример 5. Цилиндр в конусе

В конус с радиусом основания 5 и высотой 10 вписан цилиндр радиуса 2. Найдите объем цилиндра.

Решение. $\frac{10-x}{10}=\frac25$, откуда $10-x=4$, $x=6$. Объем $V=\pi\cdot2^2\cdot6=24\pi$.

Проверка. Объем конуса $\frac13\pi\cdot25\cdot10=\frac{250}{3}\pi\approx83{,}3\pi$ больше $24\pi$.

Ответ: $24\pi$.

Вернемся к теннисной банке. Три мяча радиуса $R$ стоят друг на друге, поэтому сечение банки — прямоугольник $2R\times6R$ с тремя кругами. Объем банки $\pi R^2\cdot6R=6\pi R^3$, объем мячей $3\cdot\frac43\pi R^3=4\pi R^3$. Мячи занимают $\frac23$ банки — столько же, сколько один шар в своем цилиндре: банка состоит из трех таких цилиндров.

Отношения в комбинациях

Шар и описанный цилиндр: объемы и полные поверхности относятся как $2:3$.

$$V_{\text{ш}}:V_{\text{ц}}=\frac43\pi R^3:2\pi R^3=2:3,\qquad S_{\text{сф}}:S_{\text{полн}}=4\pi R^2:6\pi R^2=2:3$$

{"questions":[{"content":"[[image-1]]В конус с радиусом основания 6 и высотой 9 вписан цилиндр, радиус основания которого равен 2. Найдите высоту цилиндра. [[input-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/rwmcknkri1tw.svg"},"input-1":{"type":"input","answer":"6"}},"hints":["В осевом сечении верхнее основание цилиндра отсекает малый конус, подобный данному: $\\dfrac{9-x}{9} = \\dfrac{2}{6}$, где $x$ — высота цилиндра.","$9-x = 3$.","Ответ: 6."],"step":1},{"content":"[[image-2]]Объем шара, вписанного в цилиндр, равен 40. Найдите объем цилиндра. [[input-2]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/milsrj7tizne.svg"},"input-2":{"type":"input","answer":"60"}},"hints":["$V_{\\text{шара}} = \\tfrac43\\pi R^3$, $V_{\\text{ц}} = \\pi R^2 \\cdot 2R = 2\\pi R^3$.","$V_{\\text{шара}} : V_{\\text{ц}} = \\tfrac43 : 2 = 2 : 3$.","$V_{\\text{ц}} = 40 \\cdot \\tfrac32 = 60$. Ответ: 60."],"step":1},{"content":"Решаем задачу: в конус с радиусом основания 5 и высотой 10 вписан цилиндр радиуса 2, найти объем цилиндра. Расставьте шаги по порядку.[[sorter-1]]","widgets":{"sorter-1":{"type":"sorter","items":["Осевое сечение — треугольник с вписанным прямоугольником.","Значит, над цилиндром остается малый конус, подобный данному.","Тогда $\\dfrac{10-x}{10} = \\dfrac25$.","Отсюда $x = 6$.","Значит, $V = \\pi \\cdot 2^2 \\cdot 6 = 24\\pi$."]}},"instruction":"Расставьте шаги по порядку","hints":["Осевое сечение — треугольник с вписанным прямоугольником.","Значит, над цилиндром остается малый конус, подобный данному.","Тогда $\\dfrac{10-x}{10} = \\dfrac25$.","Отсюда $x = 6$.","Значит, $V = \\pi \\cdot 2^2 \\cdot 6 = 24\\pi$."],"step":1}],"mix":1}

Вывод

Любая задача «тело в теле» сводится к одному осевому сечению: шар становится кругом, цилиндр — прямоугольником, конус — треугольником. Дальше работают вписанная и описанная окружности и подобие. Такие задачи встречаются в ЕГЭ профильного уровня (задание 3); больше задач — в практике по стереометрии.

Часто задаваемые вопросы

Почему достаточно одного сечения?

Все тела урока — тела вращения с общей осью. Любая плоскость через ось режет их одинаково, поэтому одно сечение содержит все радиусы и высоты. Касание тел в пространстве превращается в касание линий на плоскости.

Как отличить «вписан» от «описан» в условии?

Вписано то тело, которое внутри. «Шар вписан в конус» — шар внутри, круг вписан в треугольник. «Конус вписан в шар» — конус внутри, треугольник вписан в окружность. Нарисуйте сечение до формул.

Всегда ли в цилиндр можно вписать шар?

Нет, только если осевое сечение — квадрат, то есть $h=2r$. В цилиндр с другой высотой шар, касающийся и оснований, и боковой поверхности, не поместится. А описать шар можно около любого цилиндра и любого конуса.

Где лежит центр шара, описанного около конуса?

На оси конуса. Если осевое сечение остроугольное, центр внутри конуса; если прямоугольное — в центре основания; если тупоугольное — ниже основания. Формула $R=\frac{l^2}{2h}$ верна во всех трех случаях.

Награды за урок