Подобие треугольников

{"questions":[{"content":"Треугольники $ABC$ и $PMK$ подобны. У них соответственные стороны: $AB \\leftrightarrow PM$, $BC \\leftrightarrow MK$, $AC \\leftrightarrow PK$. Если $AB = 12$, $BC = 8$, $PM = 9$, то чему равно $MK$?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/2-01-22.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$12$","$6$","$4$","$16$"],"explanations":["","",",",""],"answer":[1]}},"hints":["В подобных треугольниках соответствующие стороны пропорциональны: $\\dfrac{PM}{AB} = \\dfrac{MK}{BC}$.","$\\dfrac{PM}{AB} = \\dfrac{9}{12} = \\dfrac{3}{4}$, значит, $MK = BC \\cdot \\dfrac{3}{4} = 8 \\cdot \\dfrac{3}{4} = 6$."]},{"content":"Треугольники подобны с коэффициентом $k = 4$. Периметр меньшего треугольника равен $18$. Чему равен периметр большего?[[choice-35]]","widgets":{"choice-35":{"type":"choice","options":["$36$","$4,5$","$72$","$9$"],"answer":[2]}},"hints":["Периметры подобных треугольников относятся так же, как соответствующие стороны.","Если коэффициент подобия $k = 4$, то $P_2 = P_1 \\cdot k = 18 \\cdot 4 = 72$."]},{"content":"Треугольники подобны с коэффициентом $k = 3$. Площадь меньшего треугольника равна $5\\ \\text{см}^2$. Чему равна площадь большего?[[choice-74]]","widgets":{"choice-74":{"type":"choice","options":["$10\\ \\text{см}^2$","$15\\ \\text{см}^2$","$25\\ \\text{см}^2$","$45\\ \\text{см}^2$"],"answer":[3]}},"hints":["Площади подобных фигур относятся как $k^2$.","$S_2 = S_1 \\cdot k^2 = 5 \\cdot 3^2 = 5 \\cdot 9 = 45\\ \\text{см}^2$."]},{"content":"Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны. Высота меньшего треугольника $h_1 = 15$, а коэффициент подобия $k = \\dfrac{5}{3}$. Чему равна соответствующая высота $h$ большего треугольника?[[image-114]][[choice-130]]","widgets":{"image-114":{"type":"image","url":""},"choice-130":{"type":"choice","options":["$25$","$9$","$10$","$15$"],"answer":[0]}},"hints":["Все линейные размеры (стороны, высоты, медианы) в подобных треугольниках увеличиваются или уменьшаются в $k$ раз соответственно.","$h = 15 \\cdot \\dfrac{5}{3} = 25$."]},{"content":"Треугольники $ABC$ и $PMK$ подобны. У них соответственные стороны: $AB \\leftrightarrow PM$, $BC \\leftrightarrow MK$, $AC \\leftrightarrow PK$. Если $AB = 18$, $BC = 10$, $PM = 12$, то чему равно $MK$?[[image-2]][[choice-7]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/2-01-22.svg"},"choice-7":{"type":"choice","options":["$\\frac{20}{3}$","$\\frac{25}{3}$","$\\frac{40}{3}$","$\\frac{15}{2}$"],"answer":[1]}},"hints":["Используйте пропорцию соответствующих сторон: $\\dfrac{PM}{AB} = \\dfrac{MK}{BC}$.","$\\dfrac{PM}{AB}=\\dfrac{12}{18}=\\dfrac{2}{3}$, значит, $MK=10\\cdot\\dfrac{2}{3}=\\dfrac{20}{3}$."]},{"content":"Треугольники $ABC$ и $PMK$ подобны. У них соответственные стороны: $AB \\leftrightarrow PM$, $BC \\leftrightarrow MK$, $AC \\leftrightarrow PK$. Если $AB = 14$, $BC = 21$, $PM = 8$, то чему равно $MK$?[[image-3]][[choice-8]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/2-01-22.svg"},"choice-8":{"type":"choice","options":["$12$","$\\frac{3}{2}$","$\\frac{2}{3}$","$\\frac{7}{2}$"],"answer":[0]}},"hints":["Составьте отношение коэффициента подобия по паре соответствующих сторон: $\\dfrac{PM}{AB}$.","$\\dfrac{PM}{AB}=\\dfrac{8}{14}=\\dfrac{4}{7}$, значит, $MK=BC\\cdot\\dfrac{4}{7}=21\\cdot\\dfrac{4}{7}=12$."]},{"content":"Треугольники подобны с коэффициентом $k = 2$. Периметр меньшего треугольника равен $23$. Чему равен периметр большего?[[choice-36]]","widgets":{"choice-36":{"type":"choice","options":["$46$","$11,5$","$25$","$92$"],"answer":[0]}},"hints":["Периметр меняется в $k$ раз так же, как и стороны.","$P_2 = P_1\\cdot k = 23\\cdot 2 = 46$."]},{"content":"Треугольники подобны с коэффициентом $k = \\dfrac{3}{2}$. Периметр меньшего треугольника равен $28$. Чему равен периметр большего?[[choice-37]]","widgets":{"choice-37":{"type":"choice","options":["$42$","$18\\frac{2}{3}$","$56$","$21$"],"answer":[0]}},"hints":["Периметры подобных треугольников относятся как коэффициент подобия $k$.","$P_2 = 28\\cdot\\dfrac{3}{2} = 42$."]},{"content":"Треугольники подобны с коэффициентом $k = 2$. Площадь меньшего треугольника равна $12\\ \\text{см}^2$. Чему равна площадь большего?[[choice-75]]","widgets":{"choice-75":{"type":"choice","options":["$24\\ \\text{см}^2$","$36\\ \\text{см}^2$","$48\\ \\text{см}^2$","$72\\ \\text{см}^2$"],"answer":[2]}},"hints":["Площади подобных фигур относятся как $k^2$.","$S_2 = 12\\cdot 2^2 = 12\\cdot 4 = 48\\ \\text{см}^2$."]},{"content":"Треугольники подобны с коэффициентом $k = \\dfrac{1}{2}$. Площадь большего треугольника равна $32\\ \\text{см}^2$. Чему равна площадь меньшего?[[choice-76]]","widgets":{"choice-76":{"type":"choice","options":["$16\\ \\text{см}^2$","$8\\ \\text{см}^2$","$4\\ \\text{см}^2$","$2\\ \\text{см}^2$"],"answer":[1]}},"hints":["Если линейный коэффициент подобия $k$, то площади относятся как $k^2$.","$S_{\\text{меньш}} = 32\\cdot\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^2 = 32\\cdot\\dfrac{1}{4}=8\\ \\text{см}^2$."]},{"content":"Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны. Медиана меньшего треугольника $m_1 = 12$, а коэффициент подобия $k = \\dfrac{7}{4}$. Чему равна соответствующая медиана $m$ большего треугольника?[[image-115]][[choice-131]]","widgets":{"image-115":{"type":"image","url":""},"choice-131":{"type":"choice","options":["$21$","$\\frac{48}{7}$","$16$","$\\frac{28}{3}$"],"answer":[0]}},"hints":["Медианы относятся так же, как соответствующие стороны: в $k$ раз.","$m = 12\\cdot\\dfrac{7}{4} = 21$."]},{"content":"Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны. Биссектриса меньшего треугольника $l_1 = 9$, а коэффициент подобия $k = \\dfrac{4}{3}$. Чему равна соответствующая биссектриса $l$ большего треугольника?[[image-116]][[choice-132]]","widgets":{"image-116":{"type":"image","url":""},"choice-132":{"type":"choice","options":["$12$","$6,75$","$10$","$15$"],"answer":[0]}},"hints":["Все линейные элементы (в том числе биссектрисы) масштабируются в $k$ раз.","$l = 9\\cdot\\dfrac{4}{3} = 12$."]}]}

{"questions":[{"content":"Треугольники $ABC$ и $PMK$ подобны. Соответствие сторон: $AB \\leftrightarrow PM$, $BC \\leftrightarrow MK$, $AC \\leftrightarrow PK$. Если $AB = 15$, $BC = 12$, $PM = 10$, то чему равно $MK$?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/2-01-22.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$6$","$8$","$9$","$18$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["В подобных треугольниках отношения соответствующих сторон равны: $\\dfrac{PM}{AB} = \\dfrac{MK}{BC}$.","$\\dfrac{PM}{AB} = \\dfrac{10}{15} = \\dfrac{2}{3}$, значит, $MK = 12 \\cdot \\dfrac{2}{3} = 8$."]},{"content":"Треугольники подобны с коэффициентом подобия $k = 5$. Периметр меньшего треугольника равен $16$. Чему равен периметр большего?[[choice-35]]","widgets":{"choice-35":{"type":"choice","options":["$80$","$21$","$3,2$","$64$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Периметры подобных треугольников относятся так же, как соответствующие стороны.","Если $k=5$, то $P_2 = P_1 \\cdot k = 16 \\cdot 5 = 80$."]},{"content":"Треугольники подобны с коэффициентом $k = 2$. Площадь меньшего треугольника равна $7\\ \\text{см}^2$. Чему равна площадь большего?[[choice-74]]","widgets":{"choice-74":{"type":"choice","options":["$14\\ \\text{см}^2$","$21\\ \\text{см}^2$","$28\\ \\text{см}^2$","$35\\ \\text{см}^2$"],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Площади подобных фигур относятся как $k^2$.","$S_2 = 7 \\cdot 2^2 = 7 \\cdot 4 = 28\\ \\text{см}^2$."]},{"content":"Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны. Высота меньшего треугольника равна $h_1 = 12$, коэффициент подобия $k = \\dfrac{7}{3}$. Найдите соответствующую высоту $h$ большего треугольника.[[image-114]][[choice-130]]","widgets":{"image-114":{"type":"image","url":""},"choice-130":{"type":"choice","options":["$20$","$24$","$28$","$36$"],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Все линейные элементы (высоты, медианы, стороны) в подобных треугольниках изменяются в $k$ раз.","$h = 12 \\cdot \\dfrac{7}{3} = 28$."]},{"content":"Треугольники $ABC$ и $PMK$ подобны. Соответствие сторон: $AB \\leftrightarrow PM$, $BC \\leftrightarrow MK$, $AC \\leftrightarrow PK$. Если $AB = 20$, $BC = 18$, $PM = 12$, то чему равно $MK$?[[image-2]][[choice-7]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/2-01-22.svg"},"choice-7":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{27}{5}$","$\\dfrac{54}{5}$","$\\dfrac{45}{4}$","$\\dfrac{36}{5}$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Используйте пропорцию соответствующих сторон: $\\dfrac{PM}{AB} = \\dfrac{MK}{BC}$.","$\\dfrac{PM}{AB}=\\dfrac{12}{20}=\\dfrac{3}{5}$, значит, $MK=18\\cdot\\dfrac{3}{5}=\\dfrac{54}{5}$."]},{"content":"Треугольники $ABC$ и $PMK$ подобны. Соответствие сторон: $AB \\leftrightarrow PM$, $BC \\leftrightarrow MK$, $AC \\leftrightarrow PK$. Если $AB = 16$, $BC = 24$, $PM = 10$, то чему равно $MK$?[[image-3]][[choice-8]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/2-01-22.svg"},"choice-8":{"type":"choice","options":["$12$","$15$","$\\dfrac{25}{3}$","$\\dfrac{40}{3}$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Найдите коэффициент подобия по соответствующим сторонам: $\\dfrac{PM}{AB}$.","$\\dfrac{PM}{AB}=\\dfrac{10}{16}=\\dfrac{5}{8}$, значит, $MK=24\\cdot\\dfrac{5}{8}=15$."]},{"content":"Треугольники подобны с коэффициентом $k = 3$. Периметр меньшего треугольника равен $19$. Чему равен периметр большего?[[choice-36]]","widgets":{"choice-36":{"type":"choice","options":["$57$","$38$","$63$","$6,33$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Периметр меняется в $k$ раз так же, как и стороны.","$P_2 = P_1\\cdot k = 19\\cdot 3 = 57$."]},{"content":"Треугольники подобны с коэффициентом $k = \\dfrac{5}{2}$. Периметр меньшего треугольника равен $24$. Чему равен периметр большего?[[choice-37]]","widgets":{"choice-37":{"type":"choice","options":["$60$","$48$","$30$","$9,6$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Периметры подобных треугольников относятся как коэффициент подобия $k$.","$P_2 = 24\\cdot\\dfrac{5}{2} = 60$."]},{"content":"Треугольники подобны с коэффициентом $k = 3$. Площадь меньшего треугольника равна $6\\ \\text{см}^2$. Чему равна площадь большего?[[choice-75]]","widgets":{"choice-75":{"type":"choice","options":["$18\\ \\text{см}^2$","$36\\ \\text{см}^2$","$54\\ \\text{см}^2$","$72\\ \\text{см}^2$"],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Площади подобных фигур относятся как $k^2$.","$S_2 = 6\\cdot 3^2 = 6\\cdot 9 = 54\\ \\text{см}^2$."]},{"content":"Треугольники подобны с коэффициентом $k = \\dfrac{2}{3}$. Площадь большего треугольника равна $45\\ \\text{см}^2$. Чему равна площадь меньшего?[[choice-76]]","widgets":{"choice-76":{"type":"choice","options":["$20\\ \\text{см}^2$","$15\\ \\text{см}^2$","$30\\ \\text{см}^2$","$10\\ \\text{см}^2$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Если линейный коэффициент подобия $k$, то площади относятся как $k^2$.","$S_{\\text{меньш}} = 45\\cdot\\left(\\dfrac{2}{3}\\right)^2 = 45\\cdot\\dfrac{4}{9}=20\\ \\text{см}^2$."]},{"content":"Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны. Медиана меньшего треугольника равна $m_1 = 14$, коэффициент подобия $k = \\dfrac{9}{7}$. Найдите соответствующую медиану $m$ большего треугольника.[[image-115]][[choice-131]]","widgets":{"image-115":{"type":"image","url":""},"choice-131":{"type":"choice","options":["$18$","$16$","$\\dfrac{98}{9}$","$21$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Медианы относятся так же, как соответствующие стороны: в $k$ раз.","$m = 14\\cdot\\dfrac{9}{7} = 18$."]},{"content":"Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны. Биссектриса меньшего треугольника равна $l_1 = 12$, коэффициент подобия $k = \\dfrac{11}{6}$. Найдите соответствующую биссектрису $l$ большего треугольника.[[image-116]][[choice-132]]","widgets":{"image-116":{"type":"image","url":""},"choice-132":{"type":"choice","options":["$22$","$18$","$16$","$\\dfrac{66}{11}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Все линейные элементы (в том числе биссектрисы) масштабируются в $k$ раз.","$l = 12\\cdot\\dfrac{11}{6} = 22$."]}]}

{"questions":[{"content":"Треугольники $ABC$ и $PMK$ подобны. Соответствие сторон: $AB \\leftrightarrow PM$, $BC \\leftrightarrow MK$, $AC \\leftrightarrow PK$. Если $AB = 18$, $BC = 14$, $PM = 12$, то чему равно $MK$?[[image-1]][[choice-6]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/2-01-22.svg"},"choice-6":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{28}{3}$","$\\dfrac{56}{9}$","$\\dfrac{28}{9}$","$\\dfrac{20}{3}$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["В подобных треугольниках отношения соответствующих сторон равны: $\\dfrac{PM}{AB} = \\dfrac{MK}{BC}$.","$\\dfrac{PM}{AB} = \\dfrac{12}{18} = \\dfrac{2}{3}$, значит, $MK = 14 \\cdot \\dfrac{2}{3} = \\dfrac{28}{3}$."]},{"content":"Треугольники подобны с коэффициентом подобия $k = 4$. Периметр меньшего треугольника равен $18$. Чему равен периметр большего?[[choice-35]]","widgets":{"choice-35":{"type":"choice","options":["$72$","$22$","$4,5$","$54$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Периметры подобных треугольников относятся так же, как соответствующие стороны.","Если $k=4$, то $P_2 = P_1 \\cdot k = 18 \\cdot 4 = 72$."]},{"content":"Треугольники подобны с коэффициентом $k = 3$. Площадь меньшего треугольника равна $5\\ \\text{см}^2$. Чему равна площадь большего?[[choice-74]]","widgets":{"choice-74":{"type":"choice","options":["$10\\ \\text{см}^2$","$15\\ \\text{см}^2$","$45\\ \\text{см}^2$","$30\\ \\text{см}^2$"],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Площади подобных фигур относятся как $k^2$.","$S_2 = 5 \\cdot 3^2 = 5 \\cdot 9 = 45\\ \\text{см}^2$."]},{"content":"Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны. Высота меньшего треугольника равна $h_1 = 15$, коэффициент подобия $k = \\dfrac{8}{5}$. Найдите соответствующую высоту $h$ большего треугольника.[[image-114]][[choice-130]]","widgets":{"image-114":{"type":"image","url":""},"choice-130":{"type":"choice","options":["$20$","$22$","$24$","$26$"],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Все линейные элементы (высоты, медианы, стороны) в подобных треугольниках изменяются в $k$ раз.","$h = 15 \\cdot \\dfrac{8}{5} = 24$."]},{"content":"Треугольники $ABC$ и $PMK$ подобны. Соответствие сторон: $AB \\leftrightarrow PM$, $BC \\leftrightarrow MK$, $AC \\leftrightarrow PK$. Если $AB = 25$, $BC = 16$, $PM = 15$, то чему равно $MK$?[[image-2]][[choice-7]]","widgets":{"image-2":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/2-01-22.svg"},"choice-7":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{48}{5}$","$\\dfrac{36}{5}$","$\\dfrac{45}{8}$","$\\dfrac{32}{5}$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Используйте пропорцию соответствующих сторон: $\\dfrac{PM}{AB} = \\dfrac{MK}{BC}$.","$\\dfrac{PM}{AB}=\\dfrac{15}{25}=\\dfrac{3}{5}$, значит, $MK=16\\cdot\\dfrac{3}{5}=\\dfrac{48}{5}$."]},{"content":"Треугольники $ABC$ и $PMK$ подобны. Соответствие сторон: $AB \\leftrightarrow PM$, $BC \\leftrightarrow MK$, $AC \\leftrightarrow PK$. Если $AB = 21$, $BC = 30$, $PM = 14$, то чему равно $MK$?[[image-3]][[choice-8]]","widgets":{"image-3":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/09/2-01-22.svg"},"choice-8":{"type":"choice","options":["$18$","$20$","$\\dfrac{70}{3}$","$\\dfrac{40}{3}$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Найдите коэффициент подобия по соответствующим сторонам: $\\dfrac{PM}{AB}$.","$\\dfrac{PM}{AB}=\\dfrac{14}{21}=\\dfrac{2}{3}$, значит, $MK=30\\cdot\\dfrac{2}{3}=20$."]},{"content":"Треугольники подобны с коэффициентом $k = 2$. Периметр меньшего треугольника равен $27$. Чему равен периметр большего?[[choice-36]]","widgets":{"choice-36":{"type":"choice","options":["$54$","$29$","$13,5$","$81$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Периметр меняется в $k$ раз так же, как и стороны.","$P_2 = P_1\\cdot k = 27\\cdot 2 = 54$."]},{"content":"Треугольники подобны с коэффициентом $k = \\dfrac{7}{3}$. Периметр меньшего треугольника равен $21$. Чему равен периметр большего?[[choice-37]]","widgets":{"choice-37":{"type":"choice","options":["$49$","$28$","$63$","$10,5$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Периметры подобных треугольников относятся как коэффициент подобия $k$.","$P_2 = 21\\cdot\\dfrac{7}{3} = 49$."]},{"content":"Треугольники подобны с коэффициентом $k = 2$. Площадь меньшего треугольника равна $9\\ \\text{см}^2$. Чему равна площадь большего?[[choice-75]]","widgets":{"choice-75":{"type":"choice","options":["$18\\ \\text{см}^2$","$27\\ \\text{см}^2$","$36\\ \\text{см}^2$","$45\\ \\text{см}^2$"],"answer":[2]}},"step":1,"hints":["Площади подобных фигур относятся как $k^2$.","$S_2 = 9\\cdot 2^2 = 9\\cdot 4 = 36\\ \\text{см}^2$."]},{"content":"Треугольники подобны с коэффициентом $k = \\dfrac{3}{4}$. Площадь большего треугольника равна $64\\ \\text{см}^2$. Чему равна площадь меньшего?[[choice-76]]","widgets":{"choice-76":{"type":"choice","options":["$36\\ \\text{см}^2$","$48\\ \\text{см}^2$","$54\\ \\text{см}^2$","$56\\ \\text{см}^2$"],"answer":[1]}},"step":1,"hints":["Если линейный коэффициент подобия $k$, то площади относятся как $k^2$.","$S_{\\text{меньш}} = 64\\cdot\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^2 = 64\\cdot\\dfrac{9}{16}=36\\ \\text{см}^2$."]},{"content":"Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны. Медиана меньшего треугольника равна $m_1 = 18$, коэффициент подобия $k = \\dfrac{5}{3}$. Найдите соответствующую медиану $m$ большего треугольника.[[image-115]][[choice-131]]","widgets":{"image-115":{"type":"image","url":""},"choice-131":{"type":"choice","options":["$30$","$24$","$\\dfrac{54}{5}$","$27$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Медианы относятся так же, как соответствующие стороны: в $k$ раз.","$m = 18\\cdot\\dfrac{5}{3} = 30$."]},{"content":"Треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ подобны. Биссектриса меньшего треугольника равна $l_1 = 9$, коэффициент подобия $k = \\dfrac{13}{6}$. Найдите соответствующую биссектрису $l$ большего треугольника.[[image-116]][[choice-132]]","widgets":{"image-116":{"type":"image","url":""},"choice-132":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{39}{2}$","$\\dfrac{26}{3}$","$18$","$21$"],"answer":[0]}},"step":1,"hints":["Все линейные элементы (в том числе биссектрисы) масштабируются в $k$ раз.","$l = 9\\cdot\\dfrac{13}{6} = \\dfrac{39}{2}$."]}]}