Расстояние от точки до плоскости в кубе

Тренажер учит находить расстояние от точки до плоскости в кубе. Расстояние — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. В кубе такие плоскости часто проходят наискосок, и основание перпендикуляра не видно сразу, поэтому куб можно поворачивать и рассматривать плоскость с разных сторон.

Тренажер предназначен для учеников 10 класса, которые изучают перпендикулярность и расстояния в пространстве, и для повторения в 11 классе. Нужно знать признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорему Пифагора и уметь упрощать выражения с корнями.

В каждом задании дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁, длина его ребра задана числом. Закрашена плоскость: треугольник через три вершины, например A₁BD, диагональное сечение, например AA₁C₁C, или плоскость, которая отсекает угол куба и проходит через вершины и середины ребер, отмеченные буквами M, N и K. Нужно найти расстояние от выделенной точки — вершины или середины ребра — до этой плоскости и выбрать ответ из четырех точных значений, например 2√3, 3√2 или 4√6/3.

Несколько полезных фактов для куба с ребром a. Диагональ AC₁ перпендикулярна плоскости A₁BD, поэтому расстояние от A до A₁BD равно a√3/3, а от C₁ — 2a√3/3. Расстояние от вершины B до диагонального сечения AA₁C₁C равно половине диагонали грани, то есть a√2/2. Если один конец ребра лежит в плоскости, а другой находится от нее на расстоянии d, то середина ребра находится на расстоянии d/2. Если плоскость отсекает на трех ребрах, выходящих из одной вершины, отрезки x, y и z, то расстояние h от этой вершины до плоскости находится из равенства 1/h² = 1/x² + 1/y² + 1/z².

После ответа на чертеже появляются основание перпендикуляра H и сам перпендикуляр, а куб поворачивается так, чтобы плоскость была видна ребром: тогда перпендикуляр виден в настоящую длину. Ошибочно выбранный ответ окрашивается красным, верный — зеленым. Если задание вызывает затруднение, можно открыть решение по шагам: в нем объяснено, почему построенный отрезок перпендикулярен плоскости, и его длина найдена из прямоугольного треугольника. Все задания одинаковой сложности.

В результате вы научитесь находить основание перпендикуляра к плоскости в кубе, вычислять расстояние и запомните типичные расстояния в кубе, которые часто встречаются в задачах по стереометрии.