Усеченная пирамида

Тренажер отрабатывает вычисление элементов правильной усеченной пирамиды. Ее основания — квадраты ABCD и A₁B₁C₁D₁, высота OO₁ соединяет их центры, боковые грани — равные равнобедренные трапеции, а апофема MM₁ — высота боковой грани.

Тренажер предназначен для учеников 10 класса, которые изучают многогранники, и для повторения в 11 классе. Нужно знать теорему Пифагора и свойства равнобедренной трапеции.

В каждом задании даны стороны нижнего и верхнего оснований и одна из длин: высота, апофема или боковое ребро. Нужно найти другую из них и ввести число, ответ всегда целый. Пирамиду можно поворачивать, чтобы рассмотреть, где лежат отрезки.

Все задачи сводятся к прямоугольному треугольнику внутри трапеции. Высота и апофема лежат в сечении, которое проходит через апофемы двух противоположных граней: катеты — высота и разность половин сторон оснований (AB − A₁B₁) : 2, гипотенуза — апофема. Апофема и боковое ребро лежат в боковой грани: катеты — апофема и та же разность (AB − A₁B₁) : 2, гипотенуза — боковое ребро. Высота и боковое ребро лежат в диагональном сечении AA₁C₁C: катеты — высота и разность половин диагоналей оснований (AB − A₁B₁)√2 : 2, гипотенуза — боковое ребро.

Например, если AB = 24 см, A₁B₁ = 8 см, а высота равна 15 см, то (24 − 8) : 2 = 8 см и апофема равна √(15² + 8²) = 17 см.

После проверки нужная трапеция закрашивается, в ней выделяется прямоугольный треугольник и подписывается его катет вдоль основания, на месте знака вопроса появляется ответ, а пирамида поворачивается так, чтобы трапеция была видна прямо. Если задание вызывает затруднение, можно открыть решение по шагам: в нем найден катет вдоль основания и записана теорема Пифагора. Все задания одинаковой сложности.

В результате вы научитесь находить в усеченной пирамиде нужное сечение, сводить пространственную задачу к плоской и уверенно вычислять высоту, апофему и боковое ребро. Это пригодится при нахождении площади поверхности и объема усеченной пирамиды.