Перпендикуляр и наклонные

Тренажер отрабатывает связь между перпендикуляром, наклонной и ее проекцией. Если из точки A, не лежащей в плоскости, провести к плоскости перпендикуляр AH и наклонную AB, то отрезок HB — проекция наклонной. Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой в ней, поэтому треугольник AHB прямоугольный с прямым углом H, и длины связаны теоремой Пифагора: AB² = AH² + HB².

Тренажер предназначен для учеников 10 класса, которые изучают перпендикуляр и наклонные к плоскости, и для повторения в 11 классе. Нужно знать теорему Пифагора и определение прямой, перпендикулярной плоскости.

В каждом задании на рисунке плоскость α, точка A над ней, перпендикуляр AH и наклонная AB с проекцией HB. Иногда из точки A проведены две наклонные, AB и AC: тогда сначала нужно найти треугольник, в котором лежат данные отрезки. Даны длины двух отрезков из трех, нужно найти третий и ввести число. Чертеж можно поворачивать и посмотреть на него с разных сторон.

Например, если AH = 12 см и AB = 13 см, то HB = √(13² − 12²) = √25 = 5 см. Полезно помнить: наклонная всегда длиннее и перпендикуляра, и своей проекции, а из двух наклонных, проведенных из одной точки, длиннее та, у которой длиннее проекция.

На этом же чертеже основана теорема о трех перпендикулярах: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно ее проекции, перпендикулярна и самой наклонной. Ее применяют, чтобы находить расстояние от точки до прямой и строить линейный угол двугранного угла, а длины в таких задачах находят как раз из треугольника «перпендикуляр — наклонная — проекция».

После проверки прямоугольный треугольник, в котором лежат данные отрезки, закрашивается, на месте знака вопроса появляется длина, и чертеж поворачивается так, чтобы треугольник был виден без искажений. Если задание вызывает затруднение, можно открыть решение по шагам: в нем указан прямоугольный треугольник и записана теорема Пифагора с числами задания. Все длины — целые числа, все задания одинаковой сложности.

В результате вы научитесь видеть на пространственном чертеже прямоугольный треугольник из перпендикуляра, наклонной и проекции и быстро находить его стороны. Это основа задач на расстояния, угол между прямой и плоскостью и теорему о трех перпендикулярах.