ЕГЭ, Математика (профильный уровень): 6. Математическая статистика: все задания

Величина «выигрыш на один билет» — дискретная случайная величина $X$, принимающая значения $0$, $100$, $1000$, $5000$, $10,000$, $50,000$. Вероятность каждого значения равна доле соответствующих билетов среди всех $10,000$, например, $P(X=100)=\frac{500}{10,000}=0{,}05$. Невыигрышных билетов $10,000-661=9339$, их вклад в математическое ожидание равен $0$. Поэтому математическое ожидание равно общей сумме выигрышей, деленной на число всех билетов. $$E(X)=\frac{100 \cdot 500+1000 \cdot 100+5000 \cdot 50+10,000 \cdot 10+50,000 \cdot 1}{10,000}=\frac{550,000}{10,000}=55.$$

$$E(X)=\frac{50 \cdot 1000+500 \cdot 200+2000 \cdot 40+10,000 \cdot 6+100,000 \cdot 1}{20,000}=\frac{390,000}{20,000}=19{,}5.$$

Ожидаемый выигрыш: $$E(X)=\frac{500 \cdot 40+2000 \cdot 10+10,000 \cdot 2}{1000}=\frac{60,000}{1000}=60.$$ Чистый выигрыш $Y=X-100$, поэтому: $$E(Y)=E(X)-100=60-100=-40.$$

Сумма вероятностей равна $1$: $$p=1-(0{,}1+0{,}3+0{,}4)=0{,}2.$$ $$E(X)=1 \cdot 0{,}1+2 \cdot 0{,}3+3 \cdot 0{,}4+4 \cdot 0{,}2=0{,}1+0{,}6+1{,}2+0{,}8=2{,}7.$$

$$\frac{100 \cdot 200+500 \cdot x+2000 \cdot 10}{2000}=25$$ $$20,000+500x+20,000=50,000$$ $$500x=10,000$$ $$x=20.$$

$$E(X)=\frac{200 \cdot 250+1000 \cdot 50+5000 \cdot 10+20,000 \cdot 2}{5000}=\frac{190,000}{5000}=38.$$

Математическое ожидание равно общей сумме выигрышей, деленной на число всех билетов $N$. Найдем сумму выигрышей и выразим $N$. $$100 \cdot 300+1000 \cdot 40+10,000 \cdot 3=30,000+40,000+30,000=100,000.$$ $$\frac{100,000}{N}=20$$ $$N=\frac{100,000}{20}=5000.$$

Вероятности уже даны, поэтому сразу умножаем каждый выигрыш на его вероятность. Проигрышные билеты дают вклад $0$. $$E(X)=1000 \cdot 0{,}01+100 \cdot 0{,}05+10 \cdot 0{,}2=10+5+2=17.$$

Всего $4$ равновозможных исхода: ОО, ОР, РО, РР. Значение $X=0$ имеет вероятность $\frac{1}{4}$, $X=1$ — вероятность $\frac{2}{4}$, $X=2$ — вероятность $\frac{1}{4}$. $$E(X)=0 \cdot \frac{1}{4}+1 \cdot \frac{2}{4}+2 \cdot \frac{1}{4}=0+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.$$

Общая сумма выигрышей равна произведению математического ожидания на число билетов. Составим уравнение и найдем неизвестный выигрыш. $$12 \cdot 5000=60,000$$ $$100 \cdot 300+20a+5000 \cdot 2=60,000$$ $$30,000+20a+10,000=60,000$$ $$20a=20,000$$ $$a=1000.$$

Сумма всех вероятностей в таблице распределения равна $1$, отсюда находим $p$. Затем считаем математическое ожидание по определению. $$p=1-(0{,}3+0{,}2+0{,}1)=0{,}4$$ $$E(X)=0 \cdot 0{,}3+1 \cdot 0{,}4+2 \cdot 0{,}2+3 \cdot 0{,}1=0+0{,}4+0{,}4+0{,}3=1{,}1.$$

Сначала найдем ожидаемый выигрыш на один билет. Стоимость билета платится всегда, поэтому ее нужно вычесть из математического ожидания. $$E(X)=\frac{200 \cdot 100+1000 \cdot 20+5000 \cdot 4}{2000}=\frac{60,000}{2000}=30$$ $$E(Y)=E(X)-50=30-50=-20.$$

Каждая грань выпадает с вероятностью $\frac{1}{6}$, а выигрыш $0$ не влияет на сумму. Складываем произведения выигрышей на их вероятности. $$E(X)=60 \cdot \frac{1}{6}+30 \cdot \frac{1}{6}+0 \cdot \frac{4}{6}=10+5+0=15.$$

Математическое ожидание равно сумме произведений каждого значения на его вероятность. Отрицательные значения входят в сумму со знаком минус. $$E(X)=-2 \cdot 0{,}2+0 \cdot 0{,}1+1 \cdot 0{,}4+3 \cdot 0{,}3=-0{,}4+0+0{,}4+0{,}9=0{,}9.$$

Математическое ожидание равно общей сумме всех выигрышей, деленной на число всех выпущенных билетов. Невыигрышные билеты дают вклад $0$, но учитываются в знаменателе. $$E(X)=\frac{100 \cdot 400+500 \cdot 80+2000 \cdot 20+10,000 \cdot 4}{4000}=\frac{160,000}{4000}=40.$$

Найдем общую сумму выигрышей и разделим ее на количество всех билетов. $$E(X)=\frac{50 \cdot 800+200 \cdot 300+1000 \cdot 50+5000 \cdot 6+20,000 \cdot 1}{8000}=\frac{200,000}{8000}=25.$$

Лотерея справедлива, когда цена билета равна математическому ожиданию выигрыша на один билет. Найдем это математическое ожидание. $$E(X)=\frac{100 \cdot 400+1000 \cdot 40+20,000 \cdot 1}{4000}=\frac{40,000+40,000+20,000}{4000}=\frac{100,000}{4000}=25.$$

Вероятности уже даны, поэтому сразу умножаем каждый выигрыш на его вероятность. Проигрышные билеты дают вклад $0$. $$E(X)=5000 \cdot 0{,}002+500 \cdot 0{,}03+50 \cdot 0{,}1=10+15+5=30.$$

Общая сумма выигрышей равна произведению математического ожидания на число билетов. Составим уравнение и найдем неизвестное количество билетов. $$30 \cdot 3000=90,000$$ $$200k+1000 \cdot 30+10,000 \cdot 2=90,000$$ $$200k+30,000+20,000=90,000$$ $$200k=40,000$$ $$k=200.$$

Сначала найдем $E(X)$. По свойству математического ожидания $E(aX+b)=aE(X)+b$. $$E(X)=0 \cdot 0{,}5+1 \cdot 0{,}3+2 \cdot 0{,}2=0+0{,}3+0{,}4=0{,}7$$ $$E(Y)=2 \cdot 0{,}7+3=1{,}4+3=4{,}4.$$