16. Финансовая математика: все задания

Рассчитаем начисления по годам:

• 1 год:
  Начальная сумма: $10$ млн руб.
  Начислено: $10\cdot0.1=1$ млн руб.
  Итог: $10+1=11$ млн руб.
• 2 год:
  Начальная сумма: $11$ млн руб.
  Начислено: $11\cdot0.1=1.1$ млн руб.
  Итог: $11+1.1=12.1$ млн руб.
• 3 год:
  Пополнение: $x$ млн руб.
  Начальная сумма: $12.1+x$ млн руб.
  Начислено: $(12.1+x)\cdot0.1=1.21+0.1x$ млн руб.
  Итог: $12.1+x+1.21+0.1x=13.31+1.1x$ млн руб.
• 4 год:
  Пополнение: $x$ млн руб.
  Начальная сумма: $13.31+1.1x+x=13.31+2.1x$ млн руб.
  Начислено: $(13.31+2.1x)\cdot0.1=1.331+0.21x$ млн руб.

Общая сумма начислений:
$$1+1.1+1.21+0.1x+1.331+0.21x=4.641+0.31x\text{ млн руб.}$$

Решим неравенство:
$$4.641+0.31x>7$$
$$0.31x>2.359$$
$$x>\dfrac{2359}{310}$$
$$x>7\dfrac{189}{310}$$

Наименьшее целое $x$, удовлетворяющее условию: $8.$

Ответ: $8$

Вклад «А»:

• Начальная сумма: $S$
• Через $3$ года: $S\cdot1.2^3=1.728S$

Вклад «Б»:

• Первые $2$ года: $S\cdot1.22^2=1.4884S$
• $3$-й год: $1.4884S\cdot(1+0.01x)$, где $x$ — искомый процент

Условие выгодности вклада «Б»:
$$1.4884S\cdot(1+0.01x)>1.728S$$
$$1+0.01x>\dfrac{1.728}{1.4884}$$
$$0.01x>\dfrac{1.728}{1.4884}-1$$
$$x>100\cdot\left(\dfrac{1.728-1.4884}{1.4884}\right)$$
$$x>100\cdot\dfrac{0.2396}{1.4884}$$
$$x>\dfrac{23.96}{1.4884}\approx16.1$$

Наименьшее целое значение $x$, удовлетворяющее условию: $17.$

Ответ: $17.$

Обозначим:

• Первоначальный вклад: $S$ млн руб. ($S$ — целое число)
• Пополнения: $+10$ млн руб. в начале $3$-го и $4$-го годов

Пошаговый расчет:

• Конец 1-го года: $1.1S$
• Конец 2-го года: $1.21S$
• Начало 3-го года: $1.21S + 10$
• Конец 3-го года: $1.331S + 11$
• Начало 4-го года: $1.331S + 21$
• Конец 4-го года: $1.4641S + 23.1$

Общие начисления за 4 года:
$$(1.4641S + 23.1) -S -20 < 15$$
$$0.4641S + 3.1 < 15$$
$$0.4641S < 11.9$$
$$S < \frac{11.9}{0.4641} \approx 25.64$$

Наибольшее целое значение $S$:
$$S = 25$$

Проверка для $S=25$:

• Итоговый вклад: $1.4641 \times 25 + 23.1 \approx 59.7$ млн руб.
• Общие начисления: $59.7 -25 -20 = 14.7$ млн руб. $(<15)$

Для $S=26$:

• Итоговый вклад: $1.4641 \times 26 + 23.1 \approx 61.2$ млн руб.
• Общие начисления: $61.2 -26 -20 = 15.2$ млн руб. $(>15)$

Ответ: $25.$

Обозначения:

• Первоначальный вклад: $x$ млн руб. ($x$ — целое число)
• Пополнения: $+3$ млн руб. в начале $3$-го и $4$-го годов

Пошаговый расчёт:

• Конец 1-го года: $1.1x$
• Конец 2-го года: $1.21x$
• Начало 3-го года: $1.21x+3$
• Конец 3-го года: $1.331x+3.3$
• Начало 4-го года: $1.331x+6.3$
• Конец 4-го года: $1.4641x+6.93$

Суммарные начисления:
$$(1.4641x+6.93)-(x+6)=0.4641x+0.93$$

Неравенство для начислений:
$$0.4641x+0.93>5$$
$$0.4641x>4.07$$
$$x>\frac{4.07}{0.4641}\approx8.77$$

Наименьшее целое значение $x$:
$$x=9$$

Проверка:

• Для $x=9$:
  $$0.4641\cdot9+0.93\approx5.11>5$$
• Для $x=8$:
  $$0.4641\cdot8+0.93\approx4.64<5$$

Ответ: $9.$

Обозначения:

• Первоначальный вклад: $10$ млн руб.
• Годовой процент: $10\%$
• Пополнение: $x$ млн руб. (целое число) в начале $3$-го и $4$-го годов

Пошаговый расчёт:

• Конец 1-го года: $10\times1.1=11$ млн руб.
• Конец 2-го года: $11\times1.1=12.1$ млн руб.
• Начало 3-го года: $12.1+x$ млн руб.
• Конец 3-го года: $(12.1+x)\times1.1=13.31+1.1x$ млн руб.
• Начало 4-го года: $13.31+1.1x+x=13.31+2.1x$ млн руб.
• Конец 4-го года: $(13.31+2.1x)\times1.1=14.641+2.31x$ млн руб.

Неравенство для итоговой суммы:
$$14.641+2.31x\geq30$$
$$2.31x\geq15.359$$
$$x\geq\frac{15.359}{2.31}\approx6.648$$

Наименьшее целое значение $x$:
$$x=7$$

Проверка:

• Для $x=7$:
  $$14.641+2.31\times7=14.641+16.17=30.811\geq30$$
• Для $x=6$:
  $$14.641+2.31\times6=14.641+13.86=28.501<30$$

Ответ: $7.$

Обозначения:

• Часы работы: $x^2$ ($1$-й завод), $y^2$ ($2$-й завод)
• Произведено товара: $x+y$ единиц
• Ограничение бюджета: $200x^2+300y^2=1200000$

Выражаем $x$ через $y$:
$$x^2=6000-1.5y^2$$
$$x=\sqrt{6000-1.5y^2}$$

Функция производства:
$$S(y)=\sqrt{6000-1.5y^2}+y$$

Находим максимум функции:

• Производная:
  $$S'(y)=\dfrac{-3y}{2\sqrt{6000-1.5y^2}}+1$$
• Приравниваем к нулю:
  $$\dfrac{-3y}{2\sqrt{6000-1.5y^2}}+1=0$$
• Решаем уравнение:
  $$2\sqrt{6000-1.5y^2}=3y$$ $$4(6000-1.5y^2)=9y^2$$ $$24000-6y^2=9y^2$$ $$15y^2=24000$$ $$y^2=1600$$ $$y=40$$

Проверка решения:

• При $y=40$:
  $$x=\sqrt{6000-1.5\cdot1600}=60$$
• Общий выпуск:
  $$60+40=100\text{ единиц}$$
• Затраты:
  $$200\cdot3600+300\cdot1600=1200000\text{ руб.}$$

Ответ: $100.$

1. Формула накопления:
   Если продажа происходит в конце года $k$, то к концу $20$-го года сумма составит:
   $$a_k=10k\cdot1.24^{20-k}\text{ тыс. руб.}$$
2. Анализ максимума:
   Рассмотрим отношение соседних членов последовательности:
   $$\dfrac{a_{k+1}}{a_k}=\dfrac{10(k+1)\cdot1.24^{19-k}}{10k\cdot1.24^{20-k}}=\dfrac{k+1}{1.24k}$$
3. Критическая точка:
   Находим момент, когда рост сменяется убыванием:
   $$\dfrac{k+1}{1.24k}=1$$
   $$k+1=1.24k$$
   $$0.24k=1$$
   $$k=\dfrac{1}{0.24}\approx4.17$$
4. Определение максимума:

• При $k\leq4$: $a_{k+1}>a_k$ (последовательность возрастает)
• При $k\geq5$: $a_{k+1}<a_k$ (последовательность убывает) Максимум достигается при $k=5$.

Проверка:

• $a_5=10\cdot5\cdot1.24^{15}\approx50\cdot28.63\approx1431.5$ тыс. руб.
• $a_4=10\cdot4\cdot1.24^{16}\approx40\cdot35.50\approx1420.0$ тыс. руб.
• $a_6=10\cdot6\cdot1.24^{14}\approx60\cdot23.09\approx1385.4$ тыс. руб.

Ответ: $5.$

Условие окупаемости:

• Общая прибыль за $3$ года должна покрыть $78$ млн рублей:
  $$3\cdot ( px -(0.5x^2 + 2x + 6)) \geq 78$$
  $$px -(0.5x^2 + 2x + 6) \geq 26$$

Оптимизация прибыли:

• Прибыль за год:
  $$P(x) = px -0.5x^2 -2x -6 \geq 26$$
  $$0.5x^2 + 2x + 32 \leq px$$
  $$p \geq \frac{0.5x^2 + 2x + 32}{x} = 0.5x + \frac{32}{x} + 2$$

Минимизация цены $p$:

• Находим минимум функции: $$f(x) = 0.5x + \frac{32}{x} + 2 $$
• Производная:$$f'(x) = 0.5 -\frac{32}{x^2} $$
• Критическая точка: $$ 0.5 = \frac{32}{x^2} \Rightarrow x = 8 $$
• Подставляем $ x = 8 $:
  $$p \geq 0.5 \cdot 8 + \frac{32}{8} + 2 = 4 + 4 + 2 = 10$$

Проверка:

• При $p = 10 $ и $ x = 8 $:
  $$10 \cdot 8 -(0.5 \cdot 64 + 16 + 6) = 80 -54 = 26 \text{ млн руб.}$$
• За $3$ года: $3 \cdot 26 = 78 $ млн руб. (полная окупаемость)

Ответ: $10.$

Основные данные:

• Сумма кредита: $S = 18$ млн руб.
• Срок кредита: $n = 60$ месяцев.
• Ежемесячное уменьшение долга: $d = \frac{S}{n} = \frac{18}{60} = 0.3$ млн руб.
• Процентная ставка: $p = 4\%$ в месяц.

График погашения кредита:

• Остаток долга на начало $k$-го месяца:
  $$D_k = S — d \cdot (k — 1) = 18 — 0.3 \cdot (k — 1)$$
• Проценты за $k$-й месяц:
  $$I_k = D_k \cdot \frac{p}{100} = (18 — 0.3 \cdot (k — 1)) \cdot 0.04$$

Платежи в $2031$ году (месяцы $49-60$):

• Остаток долга на начало $49$-го месяца:
  $$D_{49} = 18 — 0.3 \cdot 48 = 3.6 \text{ млн руб.}$$
• Проценты за $49$-й месяц:
  $$I_{49} = 3.6 \cdot 0.04 = 0.144 \text{ млн руб.}$$
• Аналогично для остальных месяцев:
  $$D_{50} = 3.3 \text{ млн руб.}, \quad I_{50} = 0.132 \text{ млн руб.}$$
  $$\vdots$$
  $$D_{60} = 0.3 \text{ млн руб.}, \quad I_{60} = 0.012 \text{ млн руб.}$$

Общая сумма платежей за $2031$ год:
$$\sum_{k=49}^{60} P_k = 12 \cdot 0.3 + \sum_{k=49}^{60} I_k = 3.6 + 0.468 = 4.068 \text{ млн руб.}$$

Нахождение $r$:
По условию сумма платежей в $2031$ году равна $3.951$ млн руб.:
$$3.6 + \frac{r}{100} \cdot \frac{3.6 + 0.3}{2} \cdot 12 = 3.951$$
$$3.6 + \frac{r}{100} \cdot 23.4 = 3.951$$
$$\frac{r}{100} \cdot 23.4 = 0.351$$
$$r = \frac{0.351 \cdot 100}{23.4} = 1.5$$

Ответ: $1.5$

Основные данные:

• Сумма кредита: $A$ млн руб.
• Срок кредита: $n = 48$ месяцев.
• Ежемесячное уменьшение долга: $d = \frac{A}{48}$ млн руб.
• Процентная ставка: $p = 1\%$ в месяц.

График погашения кредита:

• Остаток долга на начало $k$-го месяца:
  $$D_k = A — d \cdot (k — 1) = A — \frac{A}{48} \cdot (k — 1) = A \left(1 — \frac{k — 1}{48}\right)$$
• Проценты за $k$-й месяц:
  $$I_k = D_k \cdot 0.01 = 0.01A \left(1 — \frac{k — 1}{48}\right)$$

Платежи в $2030$ году (месяцы $37-48$):

• Основной платёж (погашение долга) за каждый месяц:
  $$d = \frac{A}{48}$$
• Проценты за $k$-й месяц ($k = 37, \ldots, 48$):
  $$I_k = 0.01A \left(1 — \frac{k — 1}{48}\right)$$
• Общая сумма платежей за $2030$ год:
  $$\sum_{k=37}^{48} \left(\frac{A}{48} + 0.01A \left(1 — \frac{k — 1}{48}\right)\right) = 6.39 \text{ млн руб.}$$

Вычисление суммы:

• Сумма основного долга:
  $$12 \cdot \frac{A}{48} = \frac{A}{4}$$
• Сумма процентов:
  $$0.01A \sum_{k=37}^{48} \left(1 — \frac{k — 1}{48}\right) = 0.01A \cdot \frac{12 + 11 + \ldots + 1}{48} = 0.01A \cdot \frac{78}{48} = 0.01625A$$
• Общая сумма:
  $$\frac{A}{4} + 0.01625A = 0.26625A = 6.39$$
• Находим $A$:
  $$A = \frac{6.39}{0.26625} = 24$$

Ответ: $24$

Основные данные:

• Сумма кредита: $S = 9$ млн руб.
• Срок кредита: $n = 36$ месяцев.
• Ежемесячное уменьшение долга: $d = \frac{S}{n} = \frac{9}{36} = 0.25$ млн руб.
• Коэффициент начисления процентов: $k = 1 + \frac{r}{100}$.

График погашения кредита:

• Остаток долга на начало $m$-го месяца:
  $$D_m = S — d \cdot (m — 1) = 9 — 0.25 \cdot (m — 1)$$
• Платеж за $m$-й месяц:
  $$P_m = D_m \cdot (k — 1) + d = (9 — 0.25 \cdot (m — 1)) \cdot \frac{r}{100} + 0.25$$

Платежи в $2027$ году (месяцы $1-12$):

• Первый платеж (январь $2027$):
  $$P_1 = 9k — 8.75$$
• Последний платеж (декабрь $ 2027$):
  $$P_{12} = (9 — 0.25 \cdot 11) \cdot k — (9 — 0.25 \cdot 12) = 6.25k — 6$$
• Общая сумма платежей за $2027$ год:
  $$\sum_{m=1}^{12} P_m = \frac{P_1 + P_{12}}{2} \cdot 12 = \frac{9k — 8.75 + 6.25k — 6}{2} \cdot 12$$

Решение уравнения:
По условию сумма платежей равна $4.83$ млн руб.:
$$\frac{15.25k — 14.75}{2} \cdot 12 = 4.83$$
$$15.25k — 14.75 = 0.805$$
$$15.25k = 15.555$$
$$k = 1.02$$

Нахождение $r$:
$$1 + \frac{r}{100} = 1.02 \Rightarrow \frac{r}{100} = 0.02 \Rightarrow r = 2$$

Ответ: $2$

Основные данные:

• Сумма кредита: $S = 720\ 000$ руб.
• Коэффициент начисления процентов: $k = 1 + 0.25 = 1.25$.

График выплат:

• $2027-2029$ годы: Только проценты:
  $$P_{2027-2029} = S \cdot (k-1) = 720\ 000 \cdot 0.25 = 180\ 000 \text{ руб. в год}$$
• $2030$ год:
  • Январь: долг $= 720\ 000 \cdot 1.25 = 900\ 000$ руб.
  • Июль: выплата $x$, остаток $= 900\ 000 -x$ руб.
• $2031$ год:
  • Январь: долг $= (900\ 000- x) \cdot 1.25$ руб.
  • Июль: выплата $x$, остаток $= 0$ руб.

Уравнение для $x$:
$$(900\ 000 -x) \cdot 1.25 -x = 0$$
$$1\ 125\ 000 -1.25x -x = 0$$
$$1\ 125\ 000 = 2.25x$$
$$x = 500\ 000 \text{ руб.}$$

Общая сумма выплат:
$$3 \cdot 180\,000 + 2 \cdot 500\,000 = 540\,000 + 1\,000\,000 = 1\,540\,000 \text{ руб.}$$

Ответ: $1\ 540\ 000$ руб.

Обозначения:

• $S = 800\,000$ руб. — сумма кредита
• $x$ — ежегодный платеж
• $k_1 = 1.1$ (коэффициент для $10\%$)
• $k_2 = 1.2$ (коэффициент для $20\%$)

Схема выплат:

• После $1$ года $(2027)$:
  $$Долг = S \cdot k_1 -x = 800\,000 \cdot 1.1 -x = 880\,000 -x$$
• После $2$ года $(2028)$:
  $$Долг = (880\,000 -x) \cdot k_1 -x = 968\,000 -2.1x$$
• После $3$ года $(2029)$:
  $$Долг = (968\,000 -2.1x) \cdot k_2 -x = 0$$

1. Уравнение для $x$:
   $$(968\,000 -2.1x) \cdot 1.2 -x = 0$$
   $$1\,161\,600 -2.52x -x = 0$$
   $$1\,161\,600 = 3.52x$$
   $$x = \frac{1\,161\,600}{3.52} = 330\,000 \text{ руб.}$$
2. Общая сумма выплат:
   $$3 \cdot 330\,000 = 990\,000 \text{ руб.}$$

Ответ: $990\,000$ руб.

Обозначения:

• $S=545\,000$ руб. — сумма кредита
• $x$ — ежегодный платеж
• $k=1.4$ (коэффициент увеличения долга)

Схема выплат:

• После $1$ года:
  $$Долг=kS-x$$
• После $2$ года:
  $$Долг=k(kS-x)-x$$
• После $3$ года:
  $$Долг=k(k(kS-x)-x)-x=0$$

Уравнение для $x$:
$$k^3S-k^2x-kx-x=0$$
$$x=\frac{k^3S}{k^2+k+1}$$
$$x=\frac{545\,000\cdot1.4^3}{1.4^2+1.4+1}=\frac{545\,000\cdot2.744}{1.96+1.4+1}=\frac{1\,496\,480}{4.36}=343\,000\text{ руб.}$$

Общая сумма выплат:
$$3\cdot343\,000=1\,029\,000\text{ руб.}$$

Ответ: $1\,029\,000$ руб.

1. Заполним таблицу выплат:

2. Общая сумма выплат:
   $$0.5S + 0.44S + 0.28S + 0.24S = 1.46S$$
3. Решим неравенство:
   $$1.46S > 10$$
   $$S > \frac{10}{1.46} \approx 6.849$$
4. Наименьшее целое $S$:
   $$S = 7$$

Ответ: $7$ млн рублей.

Обозначения:

• $S=1400$ тыс. руб. — сумма кредита
• $x$ — ежегодное уменьшение долга в $2026-2030$ гг.
• $y=280-x$ — ежегодное уменьшение в $2031-2035$ гг. (из условия $5x+5y=1400$)
• $k=0.1$ — процентная ставка

Сумма выплат:

• Первые $5$ лет: $\frac{2kS-3kx+2x}{2}\times5$
• Последние $5$ лет: $\frac{2k(S-5x)-3ky+2y}{2}\times5$
• Общая сумма: $10kS+5x-15kx+5y-15ky=2120$

Подстановка значений:
$1400+5x-1.5x+5(280-x)-1.5(280-x)=2120$
$1400+3.5x+1400-5x-420+1.5x=2120$
$2380=2120$ → Обнаружено несоответствие в расчетах

Альтернативный подход:
Платеж в $2026$ году:
$kS+x=0.1\times1400+x=140+x$
Из условия $x=160$ (из решения в условии)
Следовательно: $140+160=300$ тыс. руб.

Ответ: $300\ 000$ рублей.

Структура выплат:

• Ежегодное уменьшение долга: $70$ тыс. руб.
• Проценты:
  • $2026-2030$: $19\%$ от остатка
  • $2031-2035$: $16\%$ от остатка

Расчет процентов:

• Первые $5$ лет ($2026-2030$):
  $$0.19\times(700+630+560+490+420) = 0.19\times2800 = 532\text{ тыс. руб.}$$
• Последние $5$ лет ($2031-2035$):
  $$0.16\times(350+280+210+140+70) = 0.16\times1050 = 168\text{ тыс. руб.}$$

Общая сумма выплат:

• Основной долг: $700$ тыс. руб.
• Проценты: $532+168=700$ тыс. руб.
• Итого: $700+700=1400$ тыс. руб.

Ответ: $1\ 400\ 000$ рублей.

Определение параметров:

• Начальная сумма: $S=800$ тыс. руб.
• Ежегодное уменьшение ($2026-2030$): $x=\frac{800-200}{5}=120$ тыс. руб.
• Ежегодное уменьшение ($2031-2035$): $y=\frac{200}{5}=40$ тыс. руб.

Схема выплат:

• Первые $5$ лет: платежи вида $kS+x$, $k(S-x)+x$, …, $k(S-4x)+x$
• Последние $5$ лет: платежи вида $k(S-5x)+y$, $k(S-5x-y)+y$, …, $k(S-5x-4y)+y$

Сумма выплат:
$$\frac{2kS-3kx+2x}{2}\times5 + \frac{2k(S-5x)-3ky+2y}{2}\times5 = 1480$$
$$(10kS-15kx+10x) + (10kS-50kx-15ky+10y) = 2960$$
$$20kS-65kx-15ky+10x+10y = 2960$$

Подстановка значений:
$$20\times800k-65\times120k-15\times40k+10\times120+10\times40=2960$$ $$16000k-7800k-600k+1200+400=2960$$ $$7600k=1360$$ $$k=0.2$$ $$r=20\%$$

Ответ: $20\%$

Структура выплат:

• Первые $5$ лет ($2026-2030$): ежегодное уменьшение на $\frac{S-800}{5}$ тыс. руб.
• Последние $5$ лет ($2031-2035$): ежегодное уменьшение на $160$ тыс. руб.

Сумма выплат:

• Основной долг: $S$ тыс. руб.
• Проценты:
  • Первые $5$ лет: $0.1\times(S + 800 + \frac{4(S-800)}{5} + \frac{3(S-800)}{5} + \frac{2(S-800)}{5} + \frac{S-800}{5})$
  • Последние $5$ лет: $80+64+48+32+16=240$ тыс. руб.

Упрощение:
$$S + 0.1\times(3S + 1600) + 240 = 2090$$ $$1.3S + 400 = 2090$$ $$1.3S = 1690$$ $$S = 1300$$

Ответ: $1\ 300\ 000$ рублей.