Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
13. Финансовая математика: #195468
$15$ декабря $2026$ года планируется взять кредит в банке на $9$ млн руб. на $36$ месяцев. Условия его возврата таковы:
- $1$-го числа каждого месяца долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со $2$-го по $14$-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- $15$-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца;
- $15$ декабря $2029$ года долг должен быть полностью погашен.
Чему равно $r$, если общая сумма платежей в $2027$ году составит $4\ 830$ тыс. руб.?
Основные данные:
- Сумма кредита: $S = 9$ млн руб.
- Срок кредита: $n = 36$ месяцев.
- Ежемесячное уменьшение долга: $d = \frac{S}{n} = \frac{9}{36} = 0.25$ млн руб.
- Коэффициент начисления процентов: $k = 1 + \frac{r}{100}$.
График погашения кредита:
- Остаток долга на начало $m$-го месяца:
$$D_m = S — d \cdot (m — 1) = 9 — 0.25 \cdot (m — 1)$$ - Платеж за $m$-й месяц:
$$P_m = D_m \cdot (k — 1) + d = (9 — 0.25 \cdot (m — 1)) \cdot \frac{r}{100} + 0.25$$
Платежи в $2027$ году (месяцы $1-12$):
- Первый платеж (январь $2027$):
$$P_1 = 9k — 8.75$$ - Последний платеж (декабрь $ 2027$):
$$P_{12} = (9 — 0.25 \cdot 11) \cdot k — (9 — 0.25 \cdot 12) = 6.25k — 6$$ - Общая сумма платежей за $2027$ год:
$$\sum_{m=1}^{12} P_m = \frac{P_1 + P_{12}}{2} \cdot 12 = \frac{9k — 8.75 + 6.25k — 6}{2} \cdot 12$$
Решение уравнения:
По условию сумма платежей равна $4.83$ млн руб.:
$$\frac{15.25k — 14.75}{2} \cdot 12 = 4.83$$
$$15.25k — 14.75 = 0.805$$
$$15.25k = 15.555$$
$$k = 1.02$$
Нахождение $r$:
$$1 + \frac{r}{100} = 1.02 \Rightarrow \frac{r}{100} = 0.02 \Rightarrow r = 2$$
Ответ: $2$
20
