16. Финансовая математика: #195467

Основные данные:

• Сумма кредита: $A$ млн руб.
• Срок кредита: $n = 48$ месяцев.
• Ежемесячное уменьшение долга: $d = \frac{A}{48}$ млн руб.
• Процентная ставка: $p = 1\%$ в месяц.

График погашения кредита:

• Остаток долга на начало $k$-го месяца:
  $$D_k = A — d \cdot (k — 1) = A — \frac{A}{48} \cdot (k — 1) = A \left(1 — \frac{k — 1}{48}\right)$$
• Проценты за $k$-й месяц:
  $$I_k = D_k \cdot 0.01 = 0.01A \left(1 — \frac{k — 1}{48}\right)$$

Платежи в $2030$ году (месяцы $37-48$):

• Основной платёж (погашение долга) за каждый месяц:
  $$d = \frac{A}{48}$$
• Проценты за $k$-й месяц ($k = 37, \ldots, 48$):
  $$I_k = 0.01A \left(1 — \frac{k — 1}{48}\right)$$
• Общая сумма платежей за $2030$ год:
  $$\sum_{k=37}^{48} \left(\frac{A}{48} + 0.01A \left(1 — \frac{k — 1}{48}\right)\right) = 6.39 \text{ млн руб.}$$

Вычисление суммы:

• Сумма основного долга:
  $$12 \cdot \frac{A}{48} = \frac{A}{4}$$
• Сумма процентов:
  $$0.01A \sum_{k=37}^{48} \left(1 — \frac{k — 1}{48}\right) = 0.01A \cdot \frac{12 + 11 + \ldots + 1}{48} = 0.01A \cdot \frac{78}{48} = 0.01625A$$
• Общая сумма:
  $$\frac{A}{4} + 0.01625A = 0.26625A = 6.39$$
• Находим $A$:
  $$A = \frac{6.39}{0.26625} = 24$$

Ответ: $24$