ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
16. Финансовая математика: #195466
$15$ декабря $2026$ года планируется взять кредит в банке на сумму $18$ млн рублей на $60$ месяцев. Условия его возврата таковы:
- $1$-го числа каждого месяца долг возрастает на $4\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со $2$-го по $14$-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;
- $15$-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на $15$-е число предыдущего месяца;
- к $15$ декабря $2031$ года кредит должен быть полностью погашен.
Чему равно $r$, если общая сумма платежей в $2031$ году составила $3\ 951$ тыс. рублей?
Основные данные:
- Сумма кредита: $S = 18$ млн руб.
- Срок кредита: $n = 60$ месяцев.
- Ежемесячное уменьшение долга: $d = \frac{S}{n} = \frac{18}{60} = 0.3$ млн руб.
- Процентная ставка: $p = 4\%$ в месяц.
График погашения кредита:
- Остаток долга на начало $k$-го месяца:
$$D_k = S — d \cdot (k — 1) = 18 — 0.3 \cdot (k — 1)$$ - Проценты за $k$-й месяц:
$$I_k = D_k \cdot \frac{p}{100} = (18 — 0.3 \cdot (k — 1)) \cdot 0.04$$
Платежи в $2031$ году (месяцы $49-60$):
- Остаток долга на начало $49$-го месяца:
$$D_{49} = 18 — 0.3 \cdot 48 = 3.6 \text{ млн руб.}$$ - Проценты за $49$-й месяц:
$$I_{49} = 3.6 \cdot 0.04 = 0.144 \text{ млн руб.}$$ - Аналогично для остальных месяцев:
$$D_{50} = 3.3 \text{ млн руб.}, \quad I_{50} = 0.132 \text{ млн руб.}$$
$$\vdots$$
$$D_{60} = 0.3 \text{ млн руб.}, \quad I_{60} = 0.012 \text{ млн руб.}$$
Общая сумма платежей за $2031$ год:
$$\sum_{k=49}^{60} P_k = 12 \cdot 0.3 + \sum_{k=49}^{60} I_k = 3.6 + 0.468 = 4.068 \text{ млн руб.}$$
Нахождение $r$:
По условию сумма платежей в $2031$ году равна $3.951$ млн руб.:
$$3.6 + \frac{r}{100} \cdot \frac{3.6 + 0.3}{2} \cdot 12 = 3.951$$
$$3.6 + \frac{r}{100} \cdot 23.4 = 3.951$$
$$\frac{r}{100} \cdot 23.4 = 0.351$$
$$r = \frac{0.351 \cdot 100}{23.4} = 1.5$$
Ответ: $1.5$
20
