КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
16. Финансовая математика: #195389
Строительство нового завода стоит $78$ млн рублей. Годовые затраты на производство $x$ тыс. единиц продукции составляют $0.5x^2 + 2x + 6$ млн рублей. При продаже продукции по цене $p$ тыс. рублей за единицу годовая прибыль равна $px -(0.5x^2 + 2x + 6) $ млн рублей. Найдите минимальную цену $p ,$ при которой строительство завода окупится не более чем за $3$ года.
Условие окупаемости:
- Общая прибыль за $3$ года должна покрыть $78$ млн рублей:
$$3\cdot ( px -(0.5x^2 + 2x + 6)) \geq 78$$
$$px -(0.5x^2 + 2x + 6) \geq 26$$
Оптимизация прибыли:
- Прибыль за год:
$$P(x) = px -0.5x^2 -2x -6 \geq 26$$
$$0.5x^2 + 2x + 32 \leq px$$
$$p \geq \frac{0.5x^2 + 2x + 32}{x} = 0.5x + \frac{32}{x} + 2$$
Минимизация цены $p$:
- Находим минимум функции: $$f(x) = 0.5x + \frac{32}{x} + 2 $$
- Производная:$$f'(x) = 0.5 -\frac{32}{x^2} $$
- Критическая точка: $$ 0.5 = \frac{32}{x^2} \Rightarrow x = 8 $$
- Подставляем $ x = 8 $:
$$p \geq 0.5 \cdot 8 + \frac{32}{8} + 2 = 4 + 4 + 2 = 10$$
Проверка:
- При $p = 10 $ и $ x = 8 $:
$$10 \cdot 8 -(0.5 \cdot 64 + 16 + 6) = 80 -54 = 26 \text{ млн руб.}$$ - За $3$ года: $3 \cdot 26 = 78 $ млн руб. (полная окупаемость)
Ответ: $10.$
20
