16. Финансовая математика: задачи на оптимальный выбор

Обозначения:

• Часы работы: $x^2$ ($1$-й завод), $y^2$ ($2$-й завод)
• Произведено товара: $x+y$ единиц
• Ограничение бюджета: $200x^2+300y^2=1200000$

Выражаем $x$ через $y$:
$$x^2=6000-1.5y^2$$
$$x=\sqrt{6000-1.5y^2}$$

Функция производства:
$$S(y)=\sqrt{6000-1.5y^2}+y$$

Находим максимум функции:

• Производная:
  $$S'(y)=\dfrac{-3y}{2\sqrt{6000-1.5y^2}}+1$$
• Приравниваем к нулю:
  $$\dfrac{-3y}{2\sqrt{6000-1.5y^2}}+1=0$$
• Решаем уравнение:
  $$2\sqrt{6000-1.5y^2}=3y$$ $$4(6000-1.5y^2)=9y^2$$ $$24000-6y^2=9y^2$$ $$15y^2=24000$$ $$y^2=1600$$ $$y=40$$

Проверка решения:

• При $y=40$:
  $$x=\sqrt{6000-1.5\cdot1600}=60$$
• Общий выпуск:
  $$60+40=100\text{ единиц}$$
• Затраты:
  $$200\cdot3600+300\cdot1600=1200000\text{ руб.}$$

Ответ: $100.$

1. Формула накопления:
   Если продажа происходит в конце года $k$, то к концу $20$-го года сумма составит:
   $$a_k=10k\cdot1.24^{20-k}\text{ тыс. руб.}$$
2. Анализ максимума:
   Рассмотрим отношение соседних членов последовательности:
   $$\dfrac{a_{k+1}}{a_k}=\dfrac{10(k+1)\cdot1.24^{19-k}}{10k\cdot1.24^{20-k}}=\dfrac{k+1}{1.24k}$$
3. Критическая точка:
   Находим момент, когда рост сменяется убыванием:
   $$\dfrac{k+1}{1.24k}=1$$
   $$k+1=1.24k$$
   $$0.24k=1$$
   $$k=\dfrac{1}{0.24}\approx4.17$$
4. Определение максимума:

• При $k\leq4$: $a_{k+1}>a_k$ (последовательность возрастает)
• При $k\geq5$: $a_{k+1}<a_k$ (последовательность убывает) Максимум достигается при $k=5$.

Проверка:

• $a_5=10\cdot5\cdot1.24^{15}\approx50\cdot28.63\approx1431.5$ тыс. руб.
• $a_4=10\cdot4\cdot1.24^{16}\approx40\cdot35.50\approx1420.0$ тыс. руб.
• $a_6=10\cdot6\cdot1.24^{14}\approx60\cdot23.09\approx1385.4$ тыс. руб.

Ответ: $5.$

Условие окупаемости:

• Общая прибыль за $3$ года должна покрыть $78$ млн рублей:
  $$3\cdot ( px -(0.5x^2 + 2x + 6)) \geq 78$$
  $$px -(0.5x^2 + 2x + 6) \geq 26$$

Оптимизация прибыли:

• Прибыль за год:
  $$P(x) = px -0.5x^2 -2x -6 \geq 26$$
  $$0.5x^2 + 2x + 32 \leq px$$
  $$p \geq \frac{0.5x^2 + 2x + 32}{x} = 0.5x + \frac{32}{x} + 2$$

Минимизация цены $p$:

• Находим минимум функции: $$f(x) = 0.5x + \frac{32}{x} + 2 $$
• Производная:$$f'(x) = 0.5 -\frac{32}{x^2} $$
• Критическая точка: $$ 0.5 = \frac{32}{x^2} \Rightarrow x = 8 $$
• Подставляем $ x = 8 $:
  $$p \geq 0.5 \cdot 8 + \frac{32}{8} + 2 = 4 + 4 + 2 = 10$$

Проверка:

• При $p = 10 $ и $ x = 8 $:
  $$10 \cdot 8 -(0.5 \cdot 64 + 16 + 6) = 80 -54 = 26 \text{ млн руб.}$$
• За $3$ года: $3 \cdot 26 = 78 $ млн руб. (полная окупаемость)

Ответ: $10.$

Прибыль за год задается функцией:
$$ f(x) = px- (0.5x^2 + 2x + 6) = -0.5x^2 + (p- 2)x- 6 $$ Это квадратичная функция, достигающая максимума при $x = \frac{p- 2}{2 \cdot 0.5} = p- 2.$
Подставляя $x = p- 2$ в выражение для прибыли, получаем максимальную прибыль за год:
$$ f_{\text{max}}(p) = -0.5(p- 2)^2 + (p- 2)(p- 2)- 6 = 0.5(p- 2)^2- 6 $$
По условию, в первый год $p = 10,$ и каждый год цена увеличивается на $1. $

Вычислим прибыль для каждого года:

$1$ год: $p = 10$
$$ f_{\text{max}}(10) = 0.5(10- 2)^2- 6 = 0.5 \cdot 64- 6 = 32- 6 = 26 \text{ млн руб.} $$
$2$ год: $p = 11$
$$ f_{\text{max}}(11) = 0.5(11- 2)^2- 6 = 0.5 \cdot 81- 6 = 40.5- 6 = 34.5 \text{ млн руб.} $$
Суммарная прибыль за $2$ года: $26 + 34.5 = 60.5$ млн руб.

$3$ год: $p = 12$
$$ f_{\text{max}}(12) = 0.5(12- 2)^2- 6 = 0.5 \cdot 100- 6 = 50- 6 = 44 \text{ млн руб.} $$
Суммарная прибыль за $3$ года: $60.5 + 44 = 104.5$ млн руб.

$4$ год: $p = 13$
$$ f_{\text{max}}(13) = 0.5(13- 2)^2- 6 = 0.5 \cdot 121- 6 = 60.5- 6 = 54.5 \text{ млн руб.} $$
Суммарная прибыль за $4$ года: $104.5 + 54.5 = 159$ млн руб.

Таким образом, строительство завода окупится за $4$ года.

Ответ: за $4$ года.

Прибыль фирмы вычисляется по формуле:
$$ \text{Прибыль} = \text{Доход} — \text{Затраты} = PQ- (3000Q + 5\,000\,000) $$ Подставим $Q = 15\,000- P$:
$$ \text{Прибыль} = P(15\,000- P)- [3000(15\,000- P) + 5\,000\,000] $$ Раскроем скобки:
$$ = 15\,000P- P^2- (45\,000\,000- 3000P + 5\,000\,000) = 15\,000P- P^2- 50\,000\,000 + 3000P $$ Приведем подобные:
$$ = -P^2 + (15\,000 + 3000)P- 50\,000\,000 = -P^2 + 18\,000P- 50\,000\,000 $$ Таким образом, прибыль является квадратичной функцией от цены $P$:
$$ f(P) = -P^2 + 18\,000P- 50\,000\,000 $$
График функции $f(P)$ — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $P^2$ отрицательный). Поэтому максимум прибыли достигается в вершине параболы.

Пусть первоначальная цена равна $P_0.$ После снижения на 20% цена становится $0.8P_0.$ По условию, прибыль при обеих ценах одинакова:
$$ f(P_0) = f(0.8P_0) $$ Так как парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через вершину, то вершина находится посередине между точками $P_0$ и $0.8P_0$:
$$ P_{\text{верш}} = \frac{P_0 + 0.8P_0}{2} = \frac{1.8P_0}{2} = 0.9P_0 $$ Таким образом, для достижения наибольшей прибыли цена должна быть $0.9P_0.$

Сейчас цена составляет $0.8P_0.$ Чтобы получить $0.9P_0,$ нужно увеличить ее на:
$$ 0.9P_0- 0.8P_0 = 0.1P_0$$ Относительное увеличение:
$$ \frac{0.1P_0}{0.8P_0} = \frac{1}{8} = 0.125 = 12.5\%$$
Ответ: $12.5.$

Выразим цену $P$ через объем $Q.$ Из формулы спроса:
$$ Q = 20\,000- P \quad \Rightarrow \quad P = 20\,000- Q $$
Прибыль фирмы:
$$ \text{Прибыль} = PQ- 6\ 000Q- 4\,000\,000- tQ $$ Подставим $P = 20\,000- Q$:
$$ \text{Прибыль} = (20\,000- Q)Q- 6\ 000Q- 4\,000\,000- tQ = 20\,000Q- Q^2- 6\ 000Q- 4\,000\,000- tQ $$ Упростим:
$$ \text{Прибыль} = -Q^2 + (20\,000- 6\ 000- t)Q- 4\,000\,000 = -Q^2 + (14\,000- t)Q- 4\,000\,000 $$
Это квадратичная функция от $Q$ вида $aQ^2 + bQ + c,$ где $a = -1 < 0,$ поэтому максимум достигается в вершине параболы. Вершина находится при:
$$ Q= -\frac{b}{2a} = -\frac{14\,000- t}{2 \cdot (-1)} = \frac{14\,000- t}{2} = 7\ 000- \frac{t}{2} $$
Таким образом, фирма будет производить оптимальное количество:
$$ Q = 7000- \frac{t}{2} $$
Общая сумма налогов, собранных государством:
$$ T = t \cdot Q = t \left(7000- \frac{t}{2}\right) = 7\ 000t- \frac{t^2}{2} $$
Это квадратичная функция от $t$ (ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $t^2$ отрицательный). Максимум достигается в вершине:
$$ t = -\frac{b}{2a} = -\frac{7\ 000}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = \frac{7\ 000}{1} = 7\ 000 $$
Проверим, что $t= 7\ 000$ удовлетворяет условию $0 < t < 10\,000.$

Ответ: $7\ 000.$

Пусть на оплату труда рабочих первого завода выделено $x$ рублей, тогда на второй завод остается $900\,000- x$ рублей.

На первом заводе можно оплатить:
$$ t_1^2 = \frac{x}{250} \quad \Rightarrow \quad t_1 = \sqrt{\frac{x}{250}} $$ где $t_1$ — количество единиц товара, произведенных на первом заводе.

Аналогично, на втором заводе:
$$ t_2^2 = \frac{900\,000- x}{200} \quad \Rightarrow \quad t_2 = \sqrt{\frac{900\,000- x}{200}} $$
Общее количество товара:
$$ T = t_1 + t_2 = \sqrt{\frac{x}{250}} + \sqrt{\frac{900\,000- x}{200}} $$
Упростим выражение:
$$ \sqrt{\frac{x}{250}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{250}} = \frac{\sqrt{x}}{5\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10x}}{50} $$ $$ \sqrt{\frac{900\,000- x}{200}} = \frac{\sqrt{900\,000- x}}{\sqrt{200}} = \frac{\sqrt{900\,000- x}}{10\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2(900\,000- x)}}{20} = \frac{\sqrt{1\,800\,000- 2x}}{20} $$
Таким образом:
$$ T = \frac{\sqrt{10x}}{50} + \frac{\sqrt{1\,800\,000- 2x}}{20} $$
Приведем к общему знаменателю $100$:
$$ T = \frac{2\sqrt{10x}}{100} + \frac{5\sqrt{1\,800\,000- 2x}}{100} = \frac{1}{100} \left(2\sqrt{10x} + 5\sqrt{1\,800\,000- 2x}\right) $$
Обозначим:
$$ f(x) = 2\sqrt{10x} + 5\sqrt{1\,800\,000- 2x}, \quad 0 \leq x \leq 900\,000 $$ Тогда $T = \frac{f(x)}{100}.$
Найдем производную $f(x)$:
$$ f'(x) = 2 \cdot \frac{10}{2\sqrt{10x}} + 5 \cdot \frac{-2}{2\sqrt{1\,800\,000- 2x}} = \frac{10}{\sqrt{10x}} — \frac{5}{\sqrt{1\,800\,000- 2x}} $$

Приравняем производную к нулю:
$$ \frac{10}{\sqrt{10x}} = \frac{5}{\sqrt{1\,800\,000- 2x}} $$ Умножим обе части на $\sqrt{10x} \cdot \sqrt{1\,800\,000- 2x}$: $$ 10 \sqrt{1\,800\,000- 2x} = 5 \sqrt{10x}$$ Разделим на $5$:
$$ 2 \sqrt{1\,800\,000- 2x} = \sqrt{10x}$$ Возведем обе части в квадрат:
$$ 4(1\,800\,000- 2x) = 10x$$ $$ 7\,200\,000- 8x = 10x $$ $$ 7\,200\,000 = 18x $$ $$ x = 400\,000$$

Проверим знак производной:

При $x < 400\,000$: $\sqrt{10x} < \sqrt{4\,000\,000} = 2000,$ $\sqrt{1\,800\,000- 2x} > \sqrt{1\,800\,000- 800\,000} = \sqrt{1\,000\,000} = 1000,$ тогда $f'(x) > 0.$

При $x > 400\,000$: $f'(x) < 0.$

Следовательно, в точке $x = 400\,000$ функция $f(x)$ достигает максимума.

Вычислим максимальное количество товара:
$$ t_1 = \sqrt{\frac{400\,000}{250}} = \sqrt{1600} = 40 $$ $$ t_2 = \sqrt{\frac{900\,000- 400\,000}{200}} = \sqrt{\frac{500\,000}{200}} = \sqrt{2500} = 50 $$ $$ T = 40 + 50 = 90 $$
Ответ: $90.$