16. Финансовая математика: Задачи на оптимальный выбор
Вадим владеет двумя заводами в разных городах, производящими одинаковые товары. Если рабочие трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то производят $t$ единиц товара. Оплата труда: $200$ руб./час на первом заводе и $300$ руб./час на втором. Бюджет на оплату труда составляет $1\ 200\ 000$ руб. в неделю. Какое наибольшее количество товара можно произвести за неделю?
Обозначения:
- Часы работы: $x^2$ ($1$-й завод), $y^2$ ($2$-й завод)
- Произведено товара: $x+y$ единиц
- Ограничение бюджета: $200x^2+300y^2=1200000$
Выражаем $x$ через $y$:
$$x^2=6000-1.5y^2$$
$$x=\sqrt{6000-1.5y^2}$$
Функция производства:
$$S(y)=\sqrt{6000-1.5y^2}+y$$
Находим максимум функции:
- Производная:
$$S'(y)=\dfrac{-3y}{2\sqrt{6000-1.5y^2}}+1$$ - Приравниваем к нулю:
$$\dfrac{-3y}{2\sqrt{6000-1.5y^2}}+1=0$$ - Решаем уравнение:
$$2\sqrt{6000-1.5y^2}=3y$$ $$4(6000-1.5y^2)=9y^2$$ $$24000-6y^2=9y^2$$ $$15y^2=24000$$ $$y^2=1600$$ $$y=40$$
Проверка решения:
- При $y=40$:
$$x=\sqrt{6000-1.5\cdot1600}=60$$ - Общий выпуск:
$$60+40=100\text{ единиц}$$ - Затраты:
$$200\cdot3600+300\cdot1600=1200000\text{ руб.}$$
Ответ: $100.$
20
Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, стоимость которых в конце года $t$ ($t=1,2,…$) составляет $10t$ тыс. рублей. В конце любого года фонд может продать бумаги и положить вырученные средства в банк под $24\%$ годовых. В конце какого года следует продать ценные бумаги, чтобы к концу $20$-го года сумма на счету была максимальной?
- Формула накопления:
Если продажа происходит в конце года $k$, то к концу $20$-го года сумма составит:
$$a_k=10k\cdot1.24^{20-k}\text{ тыс. руб.}$$ - Анализ максимума:
Рассмотрим отношение соседних членов последовательности:
$$\dfrac{a_{k+1}}{a_k}=\dfrac{10(k+1)\cdot1.24^{19-k}}{10k\cdot1.24^{20-k}}=\dfrac{k+1}{1.24k}$$ - Критическая точка:
Находим момент, когда рост сменяется убыванием:
$$\dfrac{k+1}{1.24k}=1$$
$$k+1=1.24k$$
$$0.24k=1$$
$$k=\dfrac{1}{0.24}\approx4.17$$ - Определение максимума:
- При $k\leq4$: $a_{k+1}>a_k$ (последовательность возрастает)
- При $k\geq5$: $a_{k+1}<a_k$ (последовательность убывает) Максимум достигается при $k=5$.
Проверка:
- $a_5=10\cdot5\cdot1.24^{15}\approx50\cdot28.63\approx1431.5$ тыс. руб.
- $a_4=10\cdot4\cdot1.24^{16}\approx40\cdot35.50\approx1420.0$ тыс. руб.
- $a_6=10\cdot6\cdot1.24^{14}\approx60\cdot23.09\approx1385.4$ тыс. руб.
Ответ: $5.$
20
Строительство нового завода стоит $78$ млн рублей. Годовые затраты на производство $x$ тыс. единиц продукции составляют $0.5x^2 + 2x + 6$ млн рублей. При продаже продукции по цене $p$ тыс. рублей за единицу годовая прибыль равна $px -(0.5x^2 + 2x + 6) $ млн рублей. Найдите минимальную цену $p ,$ при которой строительство завода окупится не более чем за $3$ года.
Условие окупаемости:
- Общая прибыль за $3$ года должна покрыть $78$ млн рублей:
$$3\cdot ( px -(0.5x^2 + 2x + 6)) \geq 78$$
$$px -(0.5x^2 + 2x + 6) \geq 26$$
Оптимизация прибыли:
- Прибыль за год:
$$P(x) = px -0.5x^2 -2x -6 \geq 26$$
$$0.5x^2 + 2x + 32 \leq px$$
$$p \geq \frac{0.5x^2 + 2x + 32}{x} = 0.5x + \frac{32}{x} + 2$$
Минимизация цены $p$:
- Находим минимум функции: $$f(x) = 0.5x + \frac{32}{x} + 2 $$
- Производная:$$f'(x) = 0.5 -\frac{32}{x^2} $$
- Критическая точка: $$ 0.5 = \frac{32}{x^2} \Rightarrow x = 8 $$
- Подставляем $ x = 8 $:
$$p \geq 0.5 \cdot 8 + \frac{32}{8} + 2 = 4 + 4 + 2 = 10$$
Проверка:
- При $p = 10 $ и $ x = 8 $:
$$10 \cdot 8 -(0.5 \cdot 64 + 16 + 6) = 80 -54 = 26 \text{ млн руб.}$$ - За $3$ года: $3 \cdot 26 = 78 $ млн руб. (полная окупаемость)
Ответ: $10.$
20