13. Финансовая математика: #211442

Выразим цену $P$ через объем $Q.$ Из формулы спроса:
$$ Q = 20\,000- P \quad \Rightarrow \quad P = 20\,000- Q $$
Прибыль фирмы:
$$ \text{Прибыль} = PQ- 6\ 000Q- 4\,000\,000- tQ $$ Подставим $P = 20\,000- Q$:
$$ \text{Прибыль} = (20\,000- Q)Q- 6\ 000Q- 4\,000\,000- tQ = 20\,000Q- Q^2- 6\ 000Q- 4\,000\,000- tQ $$ Упростим:
$$ \text{Прибыль} = -Q^2 + (20\,000- 6\ 000- t)Q- 4\,000\,000 = -Q^2 + (14\,000- t)Q- 4\,000\,000 $$
Это квадратичная функция от $Q$ вида $aQ^2 + bQ + c,$ где $a = -1 < 0,$ поэтому максимум достигается в вершине параболы. Вершина находится при:
$$ Q= -\frac{b}{2a} = -\frac{14\,000- t}{2 \cdot (-1)} = \frac{14\,000- t}{2} = 7\ 000- \frac{t}{2} $$
Таким образом, фирма будет производить оптимальное количество:
$$ Q = 7000- \frac{t}{2} $$
Общая сумма налогов, собранных государством:
$$ T = t \cdot Q = t \left(7000- \frac{t}{2}\right) = 7\ 000t- \frac{t^2}{2} $$
Это квадратичная функция от $t$ (ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $t^2$ отрицательный). Максимум достигается в вершине:
$$ t = -\frac{b}{2a} = -\frac{7\ 000}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = \frac{7\ 000}{1} = 7\ 000 $$
Проверим, что $t= 7\ 000$ удовлетворяет условию $0 < t < 10\,000.$

Ответ: $7\ 000.$