Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
13. Финансовая математика: #211443
Денис является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то за эту неделю они производят $t$ единиц товара.
За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Денис платит рабочему $250$ рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — $200$ рублей.
Денис готов выделять $900\ 000$ рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
Пусть на оплату труда рабочих первого завода выделено $x$ рублей, тогда на второй завод остается $900\,000- x$ рублей.
На первом заводе можно оплатить:
$$ t_1^2 = \frac{x}{250} \quad \Rightarrow \quad t_1 = \sqrt{\frac{x}{250}} $$ где $t_1$ — количество единиц товара, произведенных на первом заводе.
Аналогично, на втором заводе:
$$ t_2^2 = \frac{900\,000- x}{200} \quad \Rightarrow \quad t_2 = \sqrt{\frac{900\,000- x}{200}} $$
Общее количество товара:
$$ T = t_1 + t_2 = \sqrt{\frac{x}{250}} + \sqrt{\frac{900\,000- x}{200}} $$
Упростим выражение:
$$ \sqrt{\frac{x}{250}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{250}} = \frac{\sqrt{x}}{5\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10x}}{50} $$ $$ \sqrt{\frac{900\,000- x}{200}} = \frac{\sqrt{900\,000- x}}{\sqrt{200}} = \frac{\sqrt{900\,000- x}}{10\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2(900\,000- x)}}{20} = \frac{\sqrt{1\,800\,000- 2x}}{20} $$
Таким образом:
$$ T = \frac{\sqrt{10x}}{50} + \frac{\sqrt{1\,800\,000- 2x}}{20} $$
Приведем к общему знаменателю $100$:
$$ T = \frac{2\sqrt{10x}}{100} + \frac{5\sqrt{1\,800\,000- 2x}}{100} = \frac{1}{100} \left(2\sqrt{10x} + 5\sqrt{1\,800\,000- 2x}\right) $$
Обозначим:
$$ f(x) = 2\sqrt{10x} + 5\sqrt{1\,800\,000- 2x}, \quad 0 \leq x \leq 900\,000 $$ Тогда $T = \frac{f(x)}{100}.$
Найдем производную $f(x)$:
$$ f'(x) = 2 \cdot \frac{10}{2\sqrt{10x}} + 5 \cdot \frac{-2}{2\sqrt{1\,800\,000- 2x}} = \frac{10}{\sqrt{10x}} — \frac{5}{\sqrt{1\,800\,000- 2x}} $$
Приравняем производную к нулю:
$$ \frac{10}{\sqrt{10x}} = \frac{5}{\sqrt{1\,800\,000- 2x}} $$ Умножим обе части на $\sqrt{10x} \cdot \sqrt{1\,800\,000- 2x}$: $$ 10 \sqrt{1\,800\,000- 2x} = 5 \sqrt{10x}$$ Разделим на $5$:
$$ 2 \sqrt{1\,800\,000- 2x} = \sqrt{10x}$$ Возведем обе части в квадрат:
$$ 4(1\,800\,000- 2x) = 10x$$ $$ 7\,200\,000- 8x = 10x $$ $$ 7\,200\,000 = 18x $$ $$ x = 400\,000$$
Проверим знак производной:
При $x < 400\,000$: $\sqrt{10x} < \sqrt{4\,000\,000} = 2000,$ $\sqrt{1\,800\,000- 2x} > \sqrt{1\,800\,000- 800\,000} = \sqrt{1\,000\,000} = 1000,$ тогда $f'(x) > 0.$
При $x > 400\,000$: $f'(x) < 0.$
Следовательно, в точке $x = 400\,000$ функция $f(x)$ достигает максимума.
Вычислим максимальное количество товара:
$$ t_1 = \sqrt{\frac{400\,000}{250}} = \sqrt{1600} = 40 $$ $$ t_2 = \sqrt{\frac{900\,000- 400\,000}{200}} = \sqrt{\frac{500\,000}{200}} = \sqrt{2500} = 50 $$ $$ T = 40 + 50 = 90 $$
Ответ: $90.$
20
