Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
13. Финансовая математика: #211440
Зависимость объема $Q$ (в шт.) купленного у фирмы товара от цены $P$ (в руб. за шт.) выражается формулой
$$ Q = 15\,000- P, \quad 1000 \leq P \leq 15\,000 $$ Доход от продажи товара составляет $PQ$ рублей. Затраты на производство $Q$ единиц товара равны $3\ 000Q + 5\,000\,000$ рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство. Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену товара на $20\%,$ однако ее прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?
Прибыль фирмы вычисляется по формуле:
$$ \text{Прибыль} = \text{Доход} — \text{Затраты} = PQ- (3000Q + 5\,000\,000) $$ Подставим $Q = 15\,000- P$:
$$ \text{Прибыль} = P(15\,000- P)- [3000(15\,000- P) + 5\,000\,000] $$ Раскроем скобки:
$$ = 15\,000P- P^2- (45\,000\,000- 3000P + 5\,000\,000) = 15\,000P- P^2- 50\,000\,000 + 3000P $$ Приведем подобные:
$$ = -P^2 + (15\,000 + 3000)P- 50\,000\,000 = -P^2 + 18\,000P- 50\,000\,000 $$ Таким образом, прибыль является квадратичной функцией от цены $P$:
$$ f(P) = -P^2 + 18\,000P- 50\,000\,000 $$
График функции $f(P)$ — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $P^2$ отрицательный). Поэтому максимум прибыли достигается в вершине параболы.
Пусть первоначальная цена равна $P_0.$ После снижения на 20% цена становится $0.8P_0.$ По условию, прибыль при обеих ценах одинакова:
$$ f(P_0) = f(0.8P_0) $$ Так как парабола симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через вершину, то вершина находится посередине между точками $P_0$ и $0.8P_0$:
$$ P_{\text{верш}} = \frac{P_0 + 0.8P_0}{2} = \frac{1.8P_0}{2} = 0.9P_0 $$ Таким образом, для достижения наибольшей прибыли цена должна быть $0.9P_0.$
Сейчас цена составляет $0.8P_0.$ Чтобы получить $0.9P_0,$ нужно увеличить ее на:
$$ 0.9P_0- 0.8P_0 = 0.1P_0$$ Относительное увеличение:
$$ \frac{0.1P_0}{0.8P_0} = \frac{1}{8} = 0.125 = 12.5\%$$
Ответ: $12.5.$
20
