13. Финансовая математика: #211439

Прибыль за год задается функцией:
$$ f(x) = px- (0.5x^2 + 2x + 6) = -0.5x^2 + (p- 2)x- 6 $$ Это квадратичная функция, достигающая максимума при $x = \frac{p- 2}{2 \cdot 0.5} = p- 2.$
Подставляя $x = p- 2$ в выражение для прибыли, получаем максимальную прибыль за год:
$$ f_{\text{max}}(p) = -0.5(p- 2)^2 + (p- 2)(p- 2)- 6 = 0.5(p- 2)^2- 6 $$
По условию, в первый год $p = 10,$ и каждый год цена увеличивается на $1. $

Вычислим прибыль для каждого года:

$1$ год: $p = 10$
$$ f_{\text{max}}(10) = 0.5(10- 2)^2- 6 = 0.5 \cdot 64- 6 = 32- 6 = 26 \text{ млн руб.} $$
$2$ год: $p = 11$
$$ f_{\text{max}}(11) = 0.5(11- 2)^2- 6 = 0.5 \cdot 81- 6 = 40.5- 6 = 34.5 \text{ млн руб.} $$
Суммарная прибыль за $2$ года: $26 + 34.5 = 60.5$ млн руб.

$3$ год: $p = 12$
$$ f_{\text{max}}(12) = 0.5(12- 2)^2- 6 = 0.5 \cdot 100- 6 = 50- 6 = 44 \text{ млн руб.} $$
Суммарная прибыль за $3$ года: $60.5 + 44 = 104.5$ млн руб.

$4$ год: $p = 13$
$$ f_{\text{max}}(13) = 0.5(13- 2)^2- 6 = 0.5 \cdot 121- 6 = 60.5- 6 = 54.5 \text{ млн руб.} $$
Суммарная прибыль за $4$ года: $104.5 + 54.5 = 159$ млн руб.

Таким образом, строительство завода окупится за $4$ года.

Ответ: за $4$ года.