КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
16. Финансовая математика: #195383
Вадим владеет двумя заводами в разных городах, производящими одинаковые товары. Если рабочие трудятся суммарно $t^2$ часов в неделю, то производят $t$ единиц товара. Оплата труда: $200$ руб./час на первом заводе и $300$ руб./час на втором. Бюджет на оплату труда составляет $1\ 200\ 000$ руб. в неделю. Какое наибольшее количество товара можно произвести за неделю?
Обозначения:
- Часы работы: $x^2$ ($1$-й завод), $y^2$ ($2$-й завод)
- Произведено товара: $x+y$ единиц
- Ограничение бюджета: $200x^2+300y^2=1200000$
Выражаем $x$ через $y$:
$$x^2=6000-1.5y^2$$
$$x=\sqrt{6000-1.5y^2}$$
Функция производства:
$$S(y)=\sqrt{6000-1.5y^2}+y$$
Находим максимум функции:
- Производная:
$$S'(y)=\dfrac{-3y}{2\sqrt{6000-1.5y^2}}+1$$ - Приравниваем к нулю:
$$\dfrac{-3y}{2\sqrt{6000-1.5y^2}}+1=0$$ - Решаем уравнение:
$$2\sqrt{6000-1.5y^2}=3y$$ $$4(6000-1.5y^2)=9y^2$$ $$24000-6y^2=9y^2$$ $$15y^2=24000$$ $$y^2=1600$$ $$y=40$$
Проверка решения:
- При $y=40$:
$$x=\sqrt{6000-1.5\cdot1600}=60$$ - Общий выпуск:
$$60+40=100\text{ единиц}$$ - Затраты:
$$200\cdot3600+300\cdot1600=1200000\text{ руб.}$$
Ответ: $100.$
20
