Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
13. Финансовая математика: #195386
Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, стоимость которых в конце года $t$ ($t=1,2,…$) составляет $10t$ тыс. рублей. В конце любого года фонд может продать бумаги и положить вырученные средства в банк под $24\%$ годовых. В конце какого года следует продать ценные бумаги, чтобы к концу $20$-го года сумма на счету была максимальной?
- Формула накопления:
Если продажа происходит в конце года $k$, то к концу $20$-го года сумма составит:
$$a_k=10k\cdot1.24^{20-k}\text{ тыс. руб.}$$ - Анализ максимума:
Рассмотрим отношение соседних членов последовательности:
$$\dfrac{a_{k+1}}{a_k}=\dfrac{10(k+1)\cdot1.24^{19-k}}{10k\cdot1.24^{20-k}}=\dfrac{k+1}{1.24k}$$ - Критическая точка:
Находим момент, когда рост сменяется убыванием:
$$\dfrac{k+1}{1.24k}=1$$
$$k+1=1.24k$$
$$0.24k=1$$
$$k=\dfrac{1}{0.24}\approx4.17$$ - Определение максимума:
- При $k\leq4$: $a_{k+1}>a_k$ (последовательность возрастает)
- При $k\geq5$: $a_{k+1}<a_k$ (последовательность убывает). Максимум достигается при $k=5$.
Проверка:
- $a_5=10\cdot5\cdot1.24^{15}\approx50\cdot25.1956\approx1259.8$ тыс. руб.
- $a_4=10\cdot4\cdot1.24^{16}\approx40\cdot31.2426\approx1249.7$ тыс. руб.
- $a_6=10\cdot6\cdot1.24^{14}\approx60\cdot20.3191\approx1219.1$ тыс. руб.
Ответ: $5.$
20
