15. Неравенства: показательные неравенства

1. Замена переменной:
   Пусть $t=2^{x^2+2x-5}$, тогда $4^{x^2+2x-5}=t^2$.
   Неравенство принимает вид:
   $$4t^2-33t+8\geq0$$
2. Решение квадратного неравенства:
   Найдем корни уравнения $4t^2-33t+8=0$:
   $$t=\dfrac{33\pm\sqrt{1089-128}}{8}=\dfrac{33\pm31}{8}$$
   Корни: $t_1=\dfrac{1}{4}$, $t_2=8$ Решение неравенства:
   $$t\leq\dfrac{1}{4}\quad\text{или}\quad t\geq8$$
3. Обратная замена:
   a) Для $t\leq\dfrac{1}{4}$:
   $$2^{x^2+2x-5}\leq2^{-2}$$ $$x^2+2x-5\leq-2$$ $$x^2+2x-3\leq0$$
   Решение: $-3\leq x\leq1\newline$ b) Для $t\geq8$:
   $$2^{x^2+2x-5}\geq2^3$$ $$x^2+2x-5\geq3$$ $$x^2+2x-8\geq0$$
   Решение: $x\leq-4$ или $x\geq2$
4. Объединение решений:
   $$x\in(-\infty,-4]\cup[-3,1]\cup[2,+\infty)$$

Ответ:
$$(-\infty;-4]\cup[-3;1]\cup[2;+\infty)$$

1. Замена переменной:
   Пусть $t=3^{4x-x^2-1}$, тогда $9^{4x-x^2-1}=t^2$.
   Неравенство принимает вид:
   $$t^2-36t+243\geq0$$
2. Решение квадратного неравенства:
   Найдем корни уравнения $t^2-36t+243=0$:
   $$t=\dfrac{36\pm\sqrt{1296-972}}{2}=\dfrac{36\pm18}{2}$$
   Корни: $t_1=9$, $t_2=27$ Решение неравенства:
   $$t\leq9\quad\text{или}\quad t\geq27$$
3. Обратная замена:
   a) Для $t\leq9$:
   $$3^{4x-x^2-1}\leq3^2$$ $$4x-x^2-1\leq2$$ $$x^2-4x+3\geq0$$
   Решение: $x\leq1$ или $x\geq3\newline$ b) Для $t\geq27$:
   $$3^{4x-x^2-1}\geq3^3$$ $$4x-x^2-1\geq3$$ $$x^2-4x+4\leq0$$
   Решение: $x=2$
4. Объединение решений:
   $$x\in(-\infty,1]\cup{2}\cup[3,+\infty)$$

Ответ:
$$(-\infty;1]\cup{2}\cup[3;+\infty)$$

1. Преобразование неравенства:
   $$(9^x-3^{x+1})^2-8(9^x-3^{x+1})-20<0$$
   Введем замену: $t=9^x-3^{x+1}$
2. Решение квадратного неравенства:
   $$t^2-8t-20<0$$
   Корни: $t=-2$ и $t=10$
   Решение: $-2<t<10$
3. Обратная замена и решение системы:
   $$\begin{cases}9^x-3^{x+1}>-2 \\ 9^x-3^{x+1}<10 \end{cases}$$ a) Первое неравенство:
   $$9^x-3\cdot3^x+2>0$$
   Замена $a=3^x$:
   $$a^2-3a+2>0\Rightarrow a<1\text{ или }a>2$$
   Решение:
   $$x<0\text{ или }x>\log_32$$ b) Второе неравенство:
   $$9^x-3\cdot3^x-10<0$$ Замена $b=3^x$: $$b^2-3b-10<0$$
   $$0<b<5\Rightarrow x<\log_35$$
4. Объединение решений:

• Для $x<0$: выполняется оба условия
• Для $x>\log_32$: должно быть $x<\log_35$ Итоговое решение:
  $$x\in(-\infty;0)\cup(\log_32;\log_35)$$

Ответ: $$(-\infty;0)\cup(\log_32;\log_35)$$

1. Преобразование неравенства:
   $$(5^{2x}-4\cdot5^x)^2-2(5^{2x}-4\cdot5^x)-15<0$$
   Введем замену: $t=5^{2x}-4\cdot5^x$
2. Решение квадратного неравенства:
   $$t^2-2t-15<0$$
   Корни: $t=-3$ и $t=5$
   Решение: $-3<t<5$
3. Обратная замена и решение системы:
   $$\begin{cases}5^{2x}-4\cdot5^x>-3 \\ 5^{2x}-4\cdot5^x<5\end{cases}$$ a) Первое неравенство:
   $$5^{2x}-4\cdot5^x+3>0$$
   Замена $a=5^x$:
   $$a^2-4a+3>0\Rightarrow a<1\text{ или }a>3$$
   Решение:
   $$x<0\text{ или }x>\log_53$$ b) Второе неравенство:
   $$5^{2x}-4\cdot5^x-5<0$$ Замена $b=5^x$: $$b^2-4b-5<0$$
   $$0<b<5\Rightarrow x<1$$
4. Объединение решений:

• Для $x<0$: выполняется оба условия
• Для $x>\log_53$: должно быть $x<1$ Итоговое решение:
  $$x\in(-\infty;0)\cup(\log_53;1)$$

Ответ: $$(-\infty;0)\cup(\log_53;1)$$

1. Преобразование выражения:
Разложим на множители:
$$45^x -27^x = 9^x(5^x -3^x)$$
$$-18 \cdot 15^x = -18 \cdot 3^x \cdot 5^x$$
$$-2 \cdot 9^{x+1} = -18 \cdot 9^x$$
$$-81 \cdot 5^x + 3^{x+4} = -81 \cdot 5^x + 81 \cdot 3^x$$ Объединяем слагаемые:
$$9^x(5^x -3^x) — 18 \cdot 3^x(5^x -3^x) + 81(5^x -3^x) \leq 0$$
$$(5^x -3^x)(9^x -18 \cdot 3^x + 81) \leq 0$$

2. Разложение на множители:
$$(5^x -3^x)(3^{2x} -18 \cdot 3^x + 81) \leq 0$$
$$(5^x -3^x)(3^x -9)^2 \leq 0$$

3. Анализ неравенства:

• $(3^x -9)^2 \geq 0$ всегда
• $(5^x -3^x) \leq 0$ Решаем:
  $$5^x \leq 3^x$$
  $$\left(\frac{5}{3}\right)^x \leq 1$$
  $$x \leq 0$$ Также учитываем точку, где $(3^x -9)^2 = 0$:
  $$3^x = 9 \Rightarrow x = 2$$

4. Объединение решений:
$$x \in (-\infty; 0] \cup {2}$$

Ответ:
$$(-\infty; 0] \cup {2}$$

1. Преобразование выражения:
Группируем слагаемые:
$$3\cdot9^x(5^x -3^x) -28\cdot3^x(5^x -3^x) + 9(5^x -3^x) \leq 0$$
Выносим общий множитель:
$$(5^x -3^x)(3\cdot9^x -28\cdot3^x + 9) \leq 0$$

2. Нахождение корней:
a) Решаем уравнение:
$$5^x -3^x = 0 \Rightarrow x = 0$$ b) Решаем квадратное уравнение:
$$3t^2 -28t + 9 = 0$$
где $t = 3^x$
Корни: $t = \frac{1}{3}$ и $t = 9$
Соответственно:
$$x = -1 \text{ и } x = 2$$

3. Метод интервалов:
На числовой прямой отмечаем критические точки $-1, 0, 2$ и определяем знаки:

• При $x < -1$: неравенство выполняется
• При $-1 < x < 0$: неравенство не выполняется
• При $0 < x < 2$: неравенство выполняется
• При $x > 2$: неравенство не выполняется

4. Объединение решений:
$$x \in (-\infty; -1] \cup [0; 2]$$

Ответ:
$$(-\infty; -1] \cup [0; 2]$$

1. Преобразование выражения:
$$2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$$
$$0.5^{x-3} = 8 \cdot 2^{-x}$$
Таким образом, неравенство принимает вид:
$$2 \cdot 2^x + 8 \cdot 2^{-x} \geq 17$$

2. Упрощение неравенства:
Умножим обе части на $2^x$ (знак неравенства сохраняется, так как $2^x > 0$):
$$2 \cdot 2^{2x} -17 \cdot 2^x + 8 \geq 0$$

3. Решение квадратного неравенства:
Введем замену $t = 2^x$ ($t > 0$):
$$2t^2 -17t + 8 \geq 0$$
Найдем корни уравнения $2t^2 -17t + 8 = 0$:
$$t = \dfrac{17 \pm \sqrt{289 -64}}{4} = \dfrac{17 \pm 15}{4}$$
Корни: $t_1 = 0.5$, $t_2 = 8$ Решение неравенства:
$$t \leq 0.5 \quad \text{или} \quad t \geq 8$$

4. Обратная замена:
a) Для $t \leq 0.5$:
$$2^x \leq 0.5 \Rightarrow x \leq -1$$ b) Для $t \geq 8$:
$$2^x \geq 8 \Rightarrow x \geq 3$$

5. Объединение решений:
$$x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$$

Ответ:
$$(-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$$

1. Логарифмирование обеих частей:
   $$\log_3(3^{x^2}\cdot5^{x-1})\geq\log_33$$
   $$x^2+(x-1)\log_35\geq1$$
2. Преобразование неравенства:
   $$x^2+x\log_35-(\log_35+1)\geq0$$
3. Нахождение корней квадратного уравнения:
   $$x^2+x\log_35-(\log_35+1)=0$$
   Корни: $$x_1=1$$ $$x_2=-(\log_35+1)$$ (по теореме Виета)
4. Решение неравенства:
   Так как коэффициент при $x^2$ положительный, неравенство выполняется:
   $$x\leq-(\log_35+1)$$ или $$x\geq1$$

Ответ:
$$(-\infty;-(\log_35+1)]\cup[1;+\infty)$$

$1.$ Упростим числитель:
Заметим, что:
$$ 2^{3x} = (2^x)^3, \quad 4^{x+1} = (2^2)^{x+1} = 2^{2x+2}, \quad 2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x. $$ Подставим в числитель:
$$ 2^{3x}- 2 \cdot 4^{x+1} + 5 \cdot 2^{x+2}- 16 = (2^x)^3- 2 \cdot 2^{2x+2} + 5 \cdot 4 \cdot 2^x- 16 $$ Упростим:
$$ 2 \cdot 2^{2x+2} = 2 \cdot 2^{2x} \cdot 2^2 = 8 \cdot 2^{2x}, \quad 5 \cdot 4 \cdot 2^x = 20 \cdot 2^x $$ Таким образом, числитель становится:
$$ (2^x)^3- 8 \cdot (2^x)^2 + 20 \cdot 2^x- 16 $$ Сделаем замену $ t = 2^x $ $($заметим, что $ t > 0 )$:
$$ t^3- 8t^2 + 20t- 16 $$
$2.$ Разложим многочлен на множители:
Проверим, является ли $ t = 2 $ корнем:
$$ 2^3- 8 \cdot 2^2 + 20 \cdot 2- 16 = 8- 32 + 40- 16 = 0 $$ Значит, $ t = 2 $ — корень. Разделим многочлен на $ (t- 2) $ :
$$ t^3- 8t^2 + 20t- 16 = (t- 2)(t^2- 6t + 8) $$ Разложим квадратный трехчлен:
$$ t^2- 6t + 8 = (t- 2)(t- 4) $$ Итого:
$$ t^3- 8t^2 + 20t- 16 = (t- 2)^2(t- 4) $$ Возвращаемся к переменной $ x $:
$$ (2^x- 2)^2(2^x- 4) $$
$3.$ Подставляем в неравенство:
$$ \frac{(2^x- 2)^2(2^x- 4)}{x- 1} \geq 0 $$ Заметим, что $ (2^x- 2)^2 \geq 0 $ для всех $ x ,$ причем равно нулю только при $ 2^x = 2 \Rightarrow x = 1 .$
Также $ 2^x- 4 = 2^x- 2^2 .$
Область определения: $ x- 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 .$

$4.$ Упрощаем неравенство:
Так как $ (2^x- 2)^2 \geq 0 ,$ то знак дроби определяется знаками $ (2^x- 4) $ и $ (x- 1) ,$ за исключением точки $ x = 1 ,$ где числитель обращается в ноль (но $ x = 1 $ не входит в область определения).
Таким образом, неравенство эквивалентно:
$$ \frac{2^x- 4}{x- 1} \geq 0, \quad x \neq 1 $$
Заметим, что $ 2^x- 4 = 0 $ при $ x = 2 .$

$5.$ Исследуем знаки:
Рассмотрим функцию $ f(x) = \frac{2^x- 4}{x- 1} .$
При $ x < 1 $: $ x- 1 < 0 .$ $ 2^x < 2^1 = 2 < 4 \Rightarrow 2^x- 4 < 0 .$ Таким образом, $ f(x) > 0 $ (отрицательное делить на отрицательное дает положительное).

При $ 1 < x < 2 $: $ x- 1 > 0 .$
$ 2^x < 2^2 = 4 \Rightarrow 2^x- 4 < 0 .$
Таким образом, $ f(x) < 0 .$

При $ x > 2 $:
$ x- 1 > 0 .$
$ 2^x > 4 \Rightarrow 2^x- 4 > 0 .$
Таким образом, $ f(x) > 0 .$

При $ x = 2 $:
$ 2^x- 4 = 0 \Rightarrow f(2) = 0 .$

$6.$ Учитываем точку, где числитель исходной дроби равен нулю:
При $ x = 1 $ числитель равен $ (2^1- 2)^2(2^1- 4) = 0 \cdot (-2) = 0 ,$ но знаменатель тоже равен нулю, поэтому $ x = 1 $ не входит в область определения.
При $ x = 2 $ числитель равен нулю, а знаменатель $ 2- 1 = 1 \neq 0 ,$ поэтому $ x = 2 $ является решением.

$7. $ Объединяем решения:
Из п. $5$:
$ f(x) > 0 $ при $ x < 1 $ и $ x > 2 .$
$ f(x) = 0 $ при $ x = 2 .$
Таким образом, неравенство $ f(x) \geq 0 $ выполняется при $ x < 1 $ и $ x \geq 2 .$

Но $ x = 1 $ не входит.

$8.$ Окончательный ответ:
$$ x \in (-\infty; 1) \cup [2; +\infty) $$
Ответ: $$ (-\infty; 1) \cup [2; +\infty) $$

$1.$ Упростим неравенство:
Заметим, что $ 3^{x+1} = 3 \cdot 3^x .$ Введем замену $ t = 3^x ,$ где $ t > 0 $ (так как показательная функция положительна). Тогда неравенство примет вид:
$$ \frac{1}{t + 4} \leq \frac{2}{3t- 1} $$
$2.$ Перенесем все в одну сторону и приведем к общему знаменателю:
$$ \frac{1}{t + 4} — \frac{2}{3t- 1} \leq 0 $$ Общий знаменатель: $ (t + 4)(3t- 1) .$ Получаем:
$$ \frac{1 \cdot (3t- 1)- 2 \cdot (t + 4)}{(t + 4)(3t- 1)} \leq 0 \Rightarrow \frac{3t- 1- 2t- 8}{(t + 4)(3t- 1)} \leq 0 \Rightarrow \frac{t- 9}{(t + 4)(3t- 1)} \leq 0 $$
$3.$ Решим неравенство методом интервалов:
Найдем нули числителя и знаменателя:
Числитель: $ t- 9 = 0 \Rightarrow t = 9 .$
Знаменатель: $ (t + 4)(3t- 1) = 0 \Rightarrow t = -4 $ или $ t = \frac{1}{3} .$

Отметим эти точки на числовой прямой (учитывая, что $ t > 0 ,$ поэтому $ t = -4 $ не рассматриваем):
$$ \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad 9 $$ Определим знаки выражения $ \frac{t- 9}{(t + 4)(3t- 1)} $ на интервалах:
При $ 0 < t < \frac{1}{3} $: $ t- 9 < 0 ,$ $ t + 4 > 0 ,$ $ 3t- 1 < 0 $ $⇒$ выражение положительно (отрицательное / (положительное · отрицательное) = положительное). При $ \frac{1}{3} < t < 9 $: $ t- 9 < 0 ,$ $ t + 4 > 0 ,$ $ 3t- 1 > 0 $ $⇒$ выражение отрицательно.
При $ t > 9 $:
$ t- 9 > 0 ,$ $ t + 4 > 0 ,$ $ 3t- 1 > 0 $ $⇒$ выражение положительно.

Также при $ t = 9 $ числитель равен нулю, поэтому это точка включена (неравенство нестрогое).
При $ t = \frac{1}{3} $ знаменатель равен нулю ⇒ точка не входит в область определения.

Таким образом, решение для $ t $:
$$ \frac{1}{3} < t \leq 9 $$

$4.$ Вернемся к переменной $ x $:
Так как $ t = 3^x ,$ то:
$$ \frac{1}{3} < 3^x \leq 9 $$ Заметим, что $ \frac{1}{3} = 3^{-1} $ и $ 9 = 3^2 .$ Поскольку показательная функция с основанием $ 3 > 1 $ возрастает, неравенство эквивалентно:
$$ -1 < x \leq 2 $$ $5.$ Проверим область определения исходного неравенства: Знаменатели не должны обращаться в ноль: $ 3^x + 4 \neq 0 $ — выполняется всегда, так как $ 3^x > 0 .$
$ 3^{x+1}- 1 \neq 0 \Rightarrow 3^{x+1} \neq 1 \Rightarrow x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 .$

Но в решении $ x = -1 $ не входит, так как неравенство строгое $( -1 < x ).$ Таким образом, область определения учтена.

$6.$ Окончательный ответ:
$$ x \in (-1; 2] $$Ответ: $$ (-1; 2] $$

$1.$ Сделаем замену переменной:
Пусть $ t = 3^x ,$ где $ t > 0 .$ Тогда неравенство примет вид:
$$ t- \frac{702}{t- 1} \geq 0 $$
$2.$ Приведем к общему знаменателю:
$$ \frac{t(t- 1)- 702}{t- 1} \geq 0 \Rightarrow \frac{t^2- t- 702}{t- 1} \geq 0 $$
$3.$ Разложим числитель на множители:
Решим квадратное уравнение $ t^2- t- 702 = 0 $:
$$ D = (-1)^2- 4 \cdot 1 \cdot (-702) = 1 + 2808 = 2809, \quad \sqrt{D} = 53 $$ $$ t_1 = \frac{1- 53}{2} = -26, \quad t_2 = \frac{1 + 53}{2} = 27 $$ Таким образом:
$$ t^2- t- 702 = (t + 26)(t- 27) $$ Неравенство становится:
$$ \frac{(t + 26)(t- 27)}{t- 1} \geq 0 $$
$4.$ Решим неравенство методом интервалов:
Найдем нули числителя и знаменателя:
Числитель: $ t = -26 ,$ $ t = 27 .$
Знаменатель: $ t = 1 .$
Учитываем, что $ t > 0 .$ Разобьем числовую прямую на интервалы:
$ (0, 1) ,$ $ (1, 27) ,$ $ (27, +\infty) .$
Определим знаки выражения $ \frac{(t + 26)(t- 27)}{t- 1} $:
При $ 0 < t < 1 $: $ t + 26 > 0 ,$ $ t- 27 < 0 ,$ $ t- 1 < 0 $ ⇒ выражение положительно.

При $ 1 < t < 27 $: $ t + 26 > 0 ,$ $ t- 27 < 0 ,$ $ t- 1 > 0 $ ⇒ выражение отрицательно.

При $ t > 27 $:
$ t + 26 > 0 ,$ $ t- 27 > 0 ,$ $ t- 1 > 0 $ ⇒ выражение положительно.

При $ t = 27 $ числитель равен нулю ⇒ выражение равно нулю (включается).

При $ t = 1 $ знаменатель равен нулю ⇒ выражение не определено.
Таким образом, решение для $ t $:
$$ 0 < t < 1 \quad \text{или} \quad t \geq 27 $$

$5.$ Вернемся к переменной $ x $:
Так как $ t = 3^x ,$ то:
$ 0 < 3^x < 1 \Rightarrow 3^x < 3^0 \Rightarrow x < 0 .$
$ 3^x \geq 27 \Rightarrow 3^x \geq 3^3 \Rightarrow x \geq 3 .$

$6.$ Проверим область определения:
Исходное неравенство определено при $ 3^x- 1 \neq 0 \Rightarrow 3^x \neq 1 \Rightarrow x \neq 0 .$
В решении $ x < 0 $ и $ x \geq 3 ,$ поэтому $ x \neq 0 $ учтено.

$7. $ Окончательный ответ:
$$ x \in (-\infty; 0) \cup [3; +\infty) $$ Ответ:
$$ (-\infty; 0) \cup [3; +\infty) $$

$1.$ Сделаем замену переменной:
Пусть $ t = 3^x ,$ где $ t > 0 .$ Тогда неравенство примет вид:
$$ \frac{2}{t + 27} \geq \frac{1}{t- 27} $$
$2.$ Перенесем все в одну сторону и приведем к общему знаменателю:
$$ \frac{2}{t + 27} — \frac{1}{t- 27} \geq 0 \Rightarrow \frac{2(t- 27)- (t + 27)}{(t + 27)(t- 27)} \geq 0 $$ Упростим числитель:
$$ 2(t- 27)- (t + 27) = 2t- 54- t- 27 = t- 81 $$ Получаем: $$ \frac{t- 81}{(t + 27)(t- 27)} \geq 0 $$
$3.$ Решим неравенство методом интервалов:
Найдем нули числителя и знаменателя:
Числитель: $ t- 81 = 0 \Rightarrow t = 81 .$
Знаменатель: $ (t + 27)(t- 27) = 0 \Rightarrow t = -27 $ или $ t = 27 .$
Учитываем, что $ t > 0 .$ Разобьем числовую прямую на интервалы:
$ (0, 27) ,$ $ (27, 81) ,$ $ (81, +\infty) .$
Определим знаки выражения $ \frac{t- 81}{(t + 27)(t- 27)} $:
При $ 0 < t < 27 $: $ t- 81 < 0 ,$ $ t + 27 > 0 ,$ $ t- 27 < 0 $ ⇒ выражение положительно.

При $ 27 < t < 81 $: $ t- 81 < 0 ,$ $ t + 27 > 0 ,$ $ t- 27 > 0 $ ⇒ выражение отрицательно.

При $ t > 81 $:
$ t- 81 > 0 ,$ $ t + 27 > 0 ,$ $ t- 27 > 0 $ ⇒ выражение положительно.

При $ t = 81 $ числитель равен нулю ⇒ выражение равно нулю (включается).

При $ t = 27 $ знаменатель равен нулю ⇒ выражение не определено.
Таким образом, решение для $ t $:
$$ 0 < t < 27 \quad \text{или} \quad t \geq 81 $$

$4.$ Вернемся к переменной $ x $:
Так как $ t = 3^x ,$ то:
$ 0 < 3^x < 27 \Rightarrow 3^x < 3^3 \Rightarrow x < 3 .$
$ 3^x \geq 81 \Rightarrow 3^x \geq 3^4 \Rightarrow x \geq 4 .$

$5.$ Проверим область определения:
Исходное неравенство определено при:
$ 3^x + 27 \neq 0 $ (выполняется всегда, так как $ 3^x > 0 $),
$ 3^x- 27 \neq 0 \Rightarrow 3^x \neq 27 \Rightarrow x \neq 3 .$
В решении $ x < 3 $ и $ x \geq 4 ,$ поэтому $ x \neq 3 $ учтено.

$6.$ Окончательный ответ:
$$ x \in (-\infty; 3) \cup [4; +\infty) $$ Ответ: $$ (-\infty; 3) \cup [4; +\infty) $$

$1.$ Сделаем замену переменной:
Пусть $ t = 3^x ,$ где $ t > 0 .$ Тогда неравенство примет вид:
$$ \frac{2}{9- t} \leq \frac{8}{3- t} $$
$2.$ Перенесем все в одну сторону и приведем к общему знаменателю:
$$ \frac{2}{9- t} — \frac{8}{3- t} \leq 0 \Rightarrow \frac{2(3- t)- 8(9- t)}{(9- t)(3- t)} \leq 0 $$ Упростим числитель:
$$ 2(3- t)- 8(9- t) = 6- 2t- 72 + 8t = 6t- 66 = 6(t- 11) $$ Получаем:
$$ \frac{6(t- 11)}{(9- t)(3- t)} \leq 0 $$ Умножим числитель и знаменатель на $-1$ (при этом знак неравенства изменится): $$ \frac{-6(t- 11)}{(t- 9)(t- 3)} \leq 0 \Rightarrow \frac{6(11- t)}{(t- 3)(t- 9)} \leq 0 $$ Так как $6 > 0,$ можно сократить: $$ \frac{11- t}{(t- 3)(t- 9)} \leq 0 $$
$3. $ Решим неравенство методом интервалов:
Найдем нули числителя и знаменателя:
Числитель: $11- t = 0 \Rightarrow t = 11.$
Знаменатель: $(t- 3)(t- 9) = 0 \Rightarrow t = 3$ или $t = 9.$
Учитываем, что $t > 0.$ Разобьем числовую прямую на интервалы:
$(0, 3),$ $(3, 9),$ $(9, 11),$ $(11, +\infty).$
Определим знаки выражения $\frac{11- t}{(t- 3)(t- 9)}$:
При $0 < t < 3$: $11- t > 0,$ $t- 3 < 0,$ $t- 9 < 0$ ⇒ выражение положительно.

При $3 < t < 9$: $11- t > 0,$ $t- 3 > 0,$ $t- 9 < 0$ ⇒ выражение отрицательно.

При $9 < t < 11$: $11- t > 0,$ $t- 3 > 0,$ $t- 9 > 0$ ⇒ выражение положительно.

При $t > 11$:
$11- t < 0,$ $t- 3 > 0,$ $t- 9 > 0$ ⇒ выражение отрицательно.

При $t = 11$ числитель равен нулю ⇒ выражение равно нулю (включается).

При $t = 3$ и $t = 9$ знаменатель равен нулю ⇒ выражение не определено.
Таким образом, решение для $t$:
$$ t < 3 \quad \text{или} \quad 9 < t \leq 11. $$

$4.$ Вернемся к переменной $x$:
Так как $t = 3^x,$ то:
$3^x < 3 \Rightarrow 3^x < 3^1 \Rightarrow x < 1.$
$9 < 3^x \leq 11 \Rightarrow 3^2 < 3^x \leq 11 \Rightarrow 2 < x \leq \log_3 11.$

$5. $ Проверим область определения:
Исходное неравенство определено при:
$9- 3^x \neq 0 \Rightarrow 3^x \neq 9 \Rightarrow x \neq 2,$
$3- 3^x \neq 0 \Rightarrow 3^x \neq 3 \Rightarrow x \neq 1.$
В решении $x < 1$ $($исключает $x = 1 )$ и $2 < x \leq \log_3 11$ $($исключает $x = 2 ),$ поэтому область определения учтена.

$6.$ Окончательный ответ:
$$ x \in (-\infty; 1) \cup (2; \log_3 11] $$ Ответ:
$$ (-\infty; 1) \cup (2; \log_3 11] $$

$1.$ Сделаем замену переменной:
Пусть $ t = 5^x ,$ где $ t > 0 .$ Заметим, что $ 25^x = (5^2)^x = 5^{2x} = t^2 .$
Подставим в неравенство:
$$ \frac{t}{t- 4} + \frac{t + 5}{t- 5} + \frac{22}{t^2- 9t + 20} \leq 0 $$
$2.$ Разложим знаменатель третьей дроби на множители:
Решим квадратное уравнение $ t^2- 9t + 20 = 0 $:
$$ D = (-9)^2- 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81- 80 = 1, \quad \sqrt{D} = 1 $$ $$ t_1 = \frac{9- 1}{2} = 4, \quad t_2 = \frac{9 + 1}{2} = 5 $$ Таким образом:
$$ t^2- 9t + 20 = (t- 4)(t- 5) $$ Неравенство принимает вид:
$$ \frac{t}{t- 4} + \frac{t + 5}{t- 5} + \frac{22}{(t- 4)(t- 5)} \leq 0 $$
$3.$ Приведем все дроби к общему знаменателю $ (t- 4)(t- 5) $:
$$ \frac{t(t- 5) + (t + 5)(t- 4) + 22}{(t- 4)(t- 5)} \leq 0 $$ Упростим числитель:
$$ t(t- 5) = t^2- 5t $$ $$ (t + 5)(t- 4) = t^2- 4t + 5t- 20 = t^2 + t- 20 $$ $$ t^2- 5t + t^2 + t- 20 + 22 = 2t^2- 4t + 2 = 2(t^2- 2t + 1) = 2(t- 1)^2 $$ Получаем:
$$ \frac{2(t- 1)^2}{(t- 4)(t- 5)} \leq 0 $$
$4.$ Решим неравенство:
Так как $ 2(t- 1)^2 \geq 0 $ для всех $ t ,$ и равно нулю только при $ t = 1 ,$ то дробь неположительна, когда знаменатель отрицателен:
$$ (t- 4)(t- 5) < 0 $$ Это неравенство выполняется при $ 4 < t < 5 .$ Также при $ t = 1 $ числитель равен нулю, и знаменатель $ (1- 4)(1- 5) = (-3)(-4) = 12 > 0 ,$ поэтому дробь равна нулю и удовлетворяет неравенству.

$5.$ Таким образом, решение для $ t $:
$$ t = 1 \quad \text{или} \quad 4 < t < 5 $$
$6.$ Вернемся к переменной $ x $:
Так как $ t = 5^x ,$ то:
$ 5^x = 1 \Rightarrow 5^x = 5^0 \Rightarrow x = 0 .$
$ 4 < 5^x < 5 \Rightarrow \log_5 4 < x < 1 .$

$7. $ Проверим область определения:
Исходное неравенство определено при:
$ 5^x- 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \log_5 4 ,$
$ 5^x- 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 ,$
$ 25^x- 9 \cdot 5^x + 20 \neq 0 \Rightarrow (5^x- 4)(5^x- 5) \neq 0 \Rightarrow x \neq \log_5 4, x \neq 1 .$
В решении $ x = 0 $ и $ \log_5 4 < x < 1 ,$ поэтому $ x \neq \log_5 4 $ и $ x \neq 1 $ учтены.

$8.$ Окончательный ответ: $$ x \in {0} \cup (\log_5 4; 1) $$ Ответ:
$$ {0} \cup (\log_5 4; 1) $$

$1.$ Упростим выражения:
Заметим, что $ 8^{x-1} = \frac{8^x}{8} ,$ поэтому:
$$ 2 \cdot 8^{x-1} = 2 \cdot \frac{8^x}{8} = \frac{8^x}{4} = \frac{t}{4}, \quad \text{где } t = 8^x $$ Также:
$$ 64^x = (8^2)^x = 8^{2x} = t^2 $$ Подставим в неравенство:
$$ \frac{\frac{t}{4}}{\frac{t}{4}- 1} \geq \frac{3}{t- 1} + \frac{8}{t^2- 5t + 4} $$
$2.$ Упростим левую часть:
$$ \frac{\frac{t}{4}}{\frac{t}{4}- 1} = \frac{\frac{t}{4}}{\frac{t- 4}{4}} = \frac{t}{t- 4} $$ Разложим знаменатель правой части на множители:
$$ t^2- 5t + 4 = (t- 1)(t- 4) $$ Неравенство принимает вид:
$$ \frac{t}{t- 4} \geq \frac{3}{t- 1} + \frac{8}{(t- 1)(t- 4)} $$
$3.$ Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$$ \frac{t}{t- 4} — \frac{3}{t- 1} — \frac{8}{(t- 1)(t- 4)} \geq 0 $$ Общий знаменатель: $ (t- 1)(t- 4) .$
$$ \frac{t(t- 1)- 3(t- 4)- 8}{(t- 1)(t- 4)} \geq 0 $$ Упростим числитель:
$$ t(t- 1)- 3(t- 4)- 8 = t^2- t- 3t + 12- 8 = t^2- 4t + 4 = (t- 2)^2 $$ Получаем:
$$ \frac{(t- 2)^2}{(t- 1)(t- 4)} \geq 0 $$
$4.$ Решим неравенство методом интервалов:
Найдем нули числителя и знаменателя:
Числитель: $ (t- 2)^2 = 0 \Rightarrow t = 2 .$
Знаменатель: $ (t- 1)(t- 4) = 0 \Rightarrow t = 1 $ или $ t = 4 .$
Учитываем, что $ t = 8^x > 0 .$ Разобьем числовую прямую на интервалы:
$ (0, 1) ,$ $ (1, 2) ,$ $ (2, 4) ,$ $ (4, +\infty) .$
Определим знаки выражения $ \frac{(t- 2)^2}{(t- 1)(t- 4)} $:
При $ 0 < t < 1 $: $ (t- 2)^2 > 0 ,$ $ t- 1 < 0 ,$ $ t- 4 < 0 $ ⇒ выражение положительно.

При $ 1 < t < 2 $: $ (t- 2)^2 > 0 ,$ $ t- 1 > 0 ,$ $ t- 4 < 0 $ ⇒ выражение отрицательно.

При $ 2 < t < 4 $: $ (t- 2)^2 > 0 ,$ $ t- 1 > 0 ,$ $ t- 4 < 0 $ ⇒ выражение отрицательно.

При $ t > 4 $:
$ (t- 2)^2 > 0 ,$ $ t- 1 > 0 ,$ $ t- 4 > 0 $ ⇒ выражение положительно.

При $ t = 2 $ числитель равен нулю ⇒ выражение равно нулю (включается).

При $ t = 1 $ и $ t = 4 $ знаменатель равен нулю ⇒ выражение не определено.
Таким образом, решение для $ t $:
$$ 0 < t < 1 \quad \text{или} \quad t = 2 \quad \text{или} \quad t > 4 $$

$5. $ Вернемся к переменной $ x $:
Так как $ t = 8^x ,$ то:
$ 0 < 8^x < 1 \Rightarrow 8^x < 8^0 \Rightarrow x < 0 .$ $ 8^x = 2 \Rightarrow 2^{3x} = 2^1 \Rightarrow 3x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} .$ $ 8^x > 4 \Rightarrow 2^{3x} > 2^2 \Rightarrow 3x > 2 \Rightarrow x > \frac{2}{3} .$

$6.$ Проверим область определения:
Исходное неравенство определено при:
$ 2 \cdot 8^{x-1}- 1 \neq 0 \Rightarrow \frac{t}{4}- 1 \neq 0 \Rightarrow t \neq 4 \Rightarrow x \neq \frac{2}{3} ,$
$ 8^x- 1 \neq 0 \Rightarrow t \neq 1 \Rightarrow x \neq 0 ,$
$ 64^x- 5 \cdot 8^x + 4 \neq 0 \Rightarrow (t- 1)(t- 4) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq \frac{2}{3} .$
В решении $ x < 0 $ (исключает $ x = 0 $), $ x = \frac{1}{3} ,$ и $ x > \frac{2}{3} $ $($исключает $ x = \frac{2}{3} ),$ поэтому область определения учтена.

$7.$ Окончательный ответ:
$$ x \in (-\infty; 0) \cup \{ \frac{1}{3} \} \cup \left( \frac{2}{3}; +\infty \right) $$ Ответ:
$$ (-\infty; 0) \cup \{ \frac{1}{3} \} \cup \left( \frac{2}{3}; +\infty \right) $$

$1. $ Упростим выражение:
Заметим, что $ 2^{x+5} = 2^x \cdot 2^5 = 32 \cdot 2^x ,$ $ 4^{-x} = (2^2)^{-x} = 2^{-2x} .$

Также $ 2^3- x $ likely означает $ 2^{3-x} = 2^3 \cdot 2^{-x} = 8 \cdot 2^{-x} .$

Введем замену $ t = 2^{-x} ,$ тогда $ 2^x = \frac{1}{t} .$

Подставим в неравенство:
$$ \frac{32 \cdot \frac{1}{t}- t}{8t- t^2} \geq \frac{1}{t} $$ Упростим числитель:
$$ 32 \cdot \frac{1}{t}- t = \frac{32- t^2}{t} $$ Знаменатель: $ 8t- t^2 = t(8- t) .$
Неравенство принимает вид:
$$ \frac{\frac{32- t^2}{t}}{t(8- t)} \geq \frac{1}{t} \Rightarrow \frac{32- t^2}{t^2(8- t)} \geq \frac{1}{t} $$
$2.$ Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$$ \frac{32- t^2}{t^2(8- t)} — \frac{1}{t} \geq 0 $$ Общий знаменатель: $ t^2(8- t) .$
$$ \frac{32- t^2- t(8- t)}{t^2(8- t)} \geq 0 $$ Упростим числитель:
$$ 32- t^2- 8t + t^2 = 32- 8t = 8(4- t) $$ Получаем:
$$ \frac{8(4- t)}{t^2(8- t)} \geq 0 $$ Умножим числитель и знаменатель на $-1$:
$$ \frac{-8(4- t)}{-t^2(8- t)} = \frac{8(t- 4)}{t^2(t- 8)} \geq 0 $$
$3.$ Решим неравенство методом интервалов:
Найдем нули числителя и знаменателя:
Числитель: $ t- 4 = 0 \Rightarrow t = 4 .$
Знаменатель: $ t^2(t- 8) = 0 \Rightarrow t = 0 $ или $ t = 8 .$
Учитываем, что $ t = 2^{-x} > 0 .$ Разобьем числовую прямую на интервалы:
$ (0, 4) ,$ $ (4, 8) ,$ $ (8, +\infty) .$
Определим знаки выражения $ \frac{8(t- 4)}{t^2(t- 8)} $:
При $ 0 < t < 4 $: $ t- 4 < 0 ,$ $ t^2 > 0 ,$ $ t- 8 < 0 $ ⇒ выражение положительно.

При $ 4 < t < 8 $: $ t- 4 > 0 ,$ $ t^2 > 0 ,$ $ t- 8 < 0 $ ⇒ выражение отрицательно.

При $ t > 8 $:
$ t- 4 > 0 ,$ $ t^2 > 0 ,$ $ t- 8 > 0 $ ⇒ выражение положительно.

При $ t = 4 $ числитель равен нулю ⇒ выражение равно нулю (включается).

При $ t = 0 $ и $ t = 8 $ знаменатель равен нулю ⇒ выражение не определено.
Таким образом, решение для $ t $:
$$ 0 < t \leq 4 \quad \text{или} \quad t > 8 $$

$4.$ Вернемся к переменной $ x $:
Так как $ t = 2^{-x} ,$ то:
$ 0 < 2^{-x} \leq 4 \Rightarrow 2^{-x} \leq 4 = 2^2 \Rightarrow -x \leq 2 \Rightarrow x \geq -2 .$ $ 2^{-x} > 8 = 2^3 \Rightarrow -x > 3 \Rightarrow x < -3 .$

$5.$ Проверим область определения:
Исходное неравенство определено при:
$ 2^3- x- 4^{-x} \neq 0 \Rightarrow 8 \cdot 2^{-x}- 2^{-2x} \neq 0 \Rightarrow t(8- t) \neq 0 \Rightarrow t \neq 0, t \neq 8 .$
Это соответствует $ x \neq +\infty $ (так как $ t > 0 $) и $ 2^{-x} \neq 8 \Rightarrow x \neq -3 .$
В решении $ x \geq -2 $ и $ x < -3 ,$ поэтому $ x \neq -3 $ учтено.

$6.$ Окончательный ответ:
$$ x \in (-\infty; -3) \cup [-2; +\infty) $$ Ответ:
$$ (-\infty; -3) \cup [-2; +\infty) $$

$1.$ Сделаем замену переменной:
Пусть $ t = 3^x ,$ где $ t > 0 .$ Заметим, что $ 9^x = (3^2)^x = 3^{2x} = t^2 .$
Подставим в неравенство: $$ \frac{t^2 + 2t- 117}{t- 27} \leq 1 $$
$2.$ Перенесем $1$ в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$$ \frac{t^2 + 2t- 117}{t- 27}- 1 \leq 0 \Rightarrow \frac{t^2 + 2t- 117- (t- 27)}{t- 27} \leq 0 $$ Упростим числитель:
$$ t^2 + 2t- 117- t + 27 = t^2 + t- 90 $$ Получаем: $$ \frac{t^2 + t- 90}{t- 27} \leq 0 $$
$3.$ Разложим числитель на множители:
Решим квадратное уравнение $ t^2 + t- 90 = 0 $:
$$ D = 1^2- 4 \cdot 1 \cdot (-90) = 1 + 360 = 361, \quad \sqrt{D} = 19 $$ $$ t_1 = \frac{-1- 19}{2} = -10, \quad t_2 = \frac{-1 + 19}{2} = 9 $$ Таким образом:
$$ t^2 + t- 90 = (t + 10)(t- 9) $$ Неравенство принимает вид:
$$ \frac{(t + 10)(t- 9)}{t- 27} \leq 0 $$
$4.$ Решим неравенство методом интервалов:
Найдем нули числителя и знаменателя:
Числитель: $ t = -10 ,$ $ t = 9 .$
Знаменатель: $ t = 27 .$

Учитываем, что $ t > 0 .$ Разобьем числовую прямую на интервалы:
$ (0, 9) ,$ $ (9, 27) ,$ $ (27, +\infty) .$

Определим знаки выражения $ \frac{(t + 10)(t- 9)}{t- 27} $:
При $ 0 < t < 9 $: $ t + 10 > 0 ,$ $ t- 9 < 0 ,$ $ t- 27 < 0 $ ⇒ выражение положительно.

При $ 9 < t < 27 $: $ t + 10 > 0 ,$ $ t- 9 > 0 ,$ $ t- 27 < 0 $ ⇒ выражение отрицательно.

При $ t > 27 $:
$ t + 10 > 0 ,$ $ t- 9 > 0 ,$ $ t- 27 > 0 $ ⇒ выражение положительно.

При $ t = 9 $ числитель равен нулю ⇒ выражение равно нулю (включается).

При $ t = 27 $ знаменатель равен нулю ⇒ выражение не определено.

Таким образом, решение для $ t $:
$$ 9 \leq t < 27 $$

$5. $ Вернемся к переменной $ x $:
Так как $ t = 3^x ,$ то:
$$ 9 \leq 3^x < 27 \Rightarrow 3^2 \leq 3^x < 3^3 \Rightarrow 2 \leq x < 3 $$
$6.$ Проверим область определения:
Исходное неравенство определено при $ 3^x- 27 \neq 0 \Rightarrow 3^x \neq 27 \Rightarrow x \neq 3 .$
В решении $ x < 3 ,$ поэтому область определения учтена.

$7.$ Окончательный ответ: $$ x \in [2; 3) $$ Ответ:
$$ [2; 3) $$

$1.$ Упростим выражения в числителе и знаменателе:
Заметим, что:
$$3^{2x+1} = 3 \cdot 9^x $$ $$3^x \cdot 2^{x+1} = 2 \cdot 6^x $$ Разделим числитель и знаменатель на $4^x$ (что положительно при всех $x$):
$$ \frac{2 \cdot 3 \cdot \frac{9^x}{4^x}- 7 \cdot \frac{6^x}{4^x} + 2}{3 \cdot \frac{9^x}{4^x}- 2 \cdot \frac{6^x}{4^x}} $$ Упростим дроби:
$$ \frac{9^x}{4^x} = \left(\frac{9}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^{2x}, \quad \frac{6^x}{4^x} = \left(\frac{6}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{2}\right)^x $$ Таким образом, неравенство принимает вид:
$$ \frac{6 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{2x}- 7 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x + 2}{3 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{2x}- 2 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^x} \leq 1 $$
$2.$ Введем замену переменной:
Пусть $ t = \left(\frac{3}{2}\right)^x ,$ где $ t > 0 .$ Тогда:
$$ \left(\frac{3}{2}\right)^{2x} = t^2 $$ Подставим в неравенство:
$$ \frac{6t^2- 7t + 2}{3t^2- 2t} \leq 1 $$
$3.$ Перенесем $1$ в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$$ \frac{6t^2- 7t + 2}{3t^2- 2t}- 1 \leq 0 \Rightarrow \frac{6t^2- 7t + 2- (3t^2- 2t)}{3t^2- 2t} \leq 0 $$ Упростим числитель:
$$ 6t^2- 7t + 2- 3t^2 + 2t = 3t^2- 5t + 2 $$ Получаем: $$ \frac{3t^2- 5t + 2}{3t^2- 2t} \leq 0. $$
$4.$ Разложим числитель и знаменатель на множители:
Числитель: $3t^2- 5t + 2 = (t- 1)(3t- 2).$
Знаменатель: $3t^2- 2t = t(3t- 2).$

Таким образом:
$$ \frac{(t- 1)(3t- 2)}{t(3t- 2)} \leq 0 $$
Сократим на $(3t- 2)$ $($при $t \neq \frac{2}{3} )$:
$$ \frac{t- 1}{t} \leq 0. $$

$5.$ Решим неравенство $\frac{t- 1}{t} \leq 0$:
Это неравенство эквивалентно:
$$ \begin{cases} t- 1 \leq 0, \ t > 0 \end{cases}$$ $$или$$ $$ \begin{cases} t- 1 \geq 0, \ t < 0 \end{cases} $$ Но $t > 0,$ поэтому:
$$ 0 < t \leq 1 $$ Однако мы сократили на $(3t- 2),$ поэтому необходимо исключить $t = \frac{2}{3}.$ Таким образом, решение для $t$: $$ 0 < t < \frac{2}{3} \quad \text{или} \quad \frac{2}{3} < t \leq 1 $$ $6.$ Вернемся к переменной $x$: Так как $t = \left(\frac{3}{2}\right)^x,$ то: $0 < \left(\frac{3}{2}\right)^x < \frac{2}{3}$: Поскольку функция $\left(\frac{3}{2}\right)^x$ возрастает $($основание $> 1), $
$$ \left(\frac{3}{2}\right)^x < \frac{2}{3} = \left(\frac{3}{2}\right)^{-1} \Rightarrow x < -1 $$
$\frac{2}{3} < \left(\frac{3}{2}\right)^x \leq 1$:
$$ \left(\frac{3}{2}\right)^{-1} < \left(\frac{3}{2}\right)^x \leq \left(\frac{3}{2}\right)^0 \Rightarrow -1 < x \leq 0 $$
$7.$ Проверим область определения:
Исходное неравенство определено при знаменателе не равном нулю:
$$ 3 \cdot 9^x- 3^x \cdot 2^{x+1} \neq 0 $$ После деления на $4^x$ и замены это условие становится:
$$ 3t^2- 2t \neq 0 \Rightarrow t(3t- 2) \neq 0 \Rightarrow t \neq 0 \quad \text{и} \quad t \neq \frac{2}{3} $$ Это учтено в решении.
$8.$ Окончательный ответ:
$$ x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 0] $$ Ответ:
$$ (-\infty; -1) \cup (-1; 0] $$

$1.$ Разложим числитель и знаменатель левой части на множители:
Числитель:
$$ 6^x- 4 \cdot 3^x = 3^x \cdot 2^x- 4 \cdot 3^x = 3^x (2^x- 4) $$
Знаменатель:
$$ x \cdot 2^x- 5 \cdot 2^x- 4x + 20 = 2^x (x- 5)- 4(x- 5) = (x- 5)(2^x- 4) $$
$2.$ Подставим в неравенство:
$$ \frac{3^x (2^x- 4)}{(x- 5)(2^x- 4)} \leq \frac{1}{x- 5} $$ Заметим, что при $ 2^x- 4 \neq 0 $ $($т.е. $ x \neq 2 ) $ можно сократить на $ 2^x- 4 $:
$$ \frac{3^x}{x- 5} \leq \frac{1}{x- 5} $$
$3.$ Перенесем правую часть влево:
$$ \frac{3^x}{x- 5} — \frac{1}{x- 5} \leq 0 \Rightarrow \frac{3^x- 1}{x- 5} \leq 0 $$
$4.$ Решим неравенство $\frac{3^x- 1}{x- 5} \leq 0$ методом интервалов:
Найдем нули числителя и знаменателя:
Числитель: $ 3^x- 1 = 0 \Rightarrow 3^x = 1 \Rightarrow x = 0 .$
Знаменатель: $ x- 5 = 0 \Rightarrow x = 5 .$

Разобьем числовую прямую на интервалы: $ (-\infty, 0) ,$ $ (0, 5) ,$ $ (5, +\infty) .$
Определим знак выражения $ \frac{3^x- 1}{x- 5} $ на каждом интервале:
При $ x < 0 $:
$ 3^x- 1 < 0 $ (так как $ 3^x < 1 $), $ x- 5 < 0 $ $⇒$ дробь положительна.

При $ 0 < x < 5 $: $ 3^x- 1 > 0 ,$ $ x- 5 < 0 $ $⇒$ дробь отрицательна.

При $ x > 5 $:
$ 3^x- 1 > 0 ,$ $ x- 5 > 0 $ $⇒$ дробь положительна.

При $ x = 0 $ числитель равен нулю $⇒$ дробь равна нулю (включается).
При $ x = 5 $ знаменатель равен нулю $⇒$ дробь не определена.

Таким образом, решение:
$$ x \in [0, 5) $$
$5.$ Учтем ограничение $ x \neq 2 $:
Так как $ x = 2 $ исключено из-за сокращения, итоговое решение:
$$ x \in [0, 2) \cup (2, 5) $$
$6.$ Проверим, выполняется ли исходное неравенство при $ x = 2 $:
Подставим $ x = 2 $ в исходное неравенство:
Числитель: $ 6^2- 4 \cdot 3^2 = 36- 36 = 0 .$
Знаменатель: $ 2 \cdot 2^2- 5 \cdot 2^2- 4 \cdot 2 + 20 = 8- 20- 8 + 20 = 0 .$
Получаем неопределенность $ \frac{0}{0} ,$ поэтому $ x = 2 $ не входит в область определения.

$7.$ Окончательный ответ:
$$ x \in [0, 2) \cup (2, 5) $$ Ответ: $$ [0; 2) \cup (2; 5) $$

$1.$ Упростим выражения:
Заметим, что:
$8^{x+1} = 8 \cdot 8^x,$
$64^x = (8^2)^x = 8^{2x} = (8^x)^2.$

Введем замену $t = 8^x,$ где $t > 0.$ Тогда:
$$ 8^{x+1} = 8t, \quad 64^x = t^2 $$ Подставим в неравенство:
$$ \frac{8t- 40}{2t^2- 32} \leq 1 $$
$2.$ Перенесем $1$ в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$$ \frac{8t- 40}{2t^2- 32}- 1 \leq 0 \Rightarrow \frac{8t- 40- (2t^2- 32)}{2t^2- 32} \leq 0 $$ Упростим числитель:
$$ 8t- 40- 2t^2 + 32 = -2t^2 + 8t- 8 $$ Вынесем общий множитель: $$ -2(t^2- 4t + 4) = -2(t- 2)^2 $$ Знаменатель: $$ 2t^2- 32 = 2(t^2- 16) = 2(t- 4)(t + 4) $$ Таким образом, неравенство становится:
$$ \frac{-2(t- 2)^2}{2(t- 4)(t + 4)} \leq 0 $$ Сократим на $2$:
$$ \frac{-(t- 2)^2}{(t- 4)(t + 4)} \leq 0 $$ Умножим обе части на $-1$ (при этом знак неравенства изменится):
$$ \frac{(t- 2)^2}{(t- 4)(t + 4)} \geq 0 $$
$3.$ Решим неравенство методом интервалов:
Найдем нули числителя и знаменателя:
Числитель: $(t- 2)^2 = 0 \Rightarrow t = 2,$
Знаменатель: $(t- 4)(t + 4) = 0 \Rightarrow t = 4$ или $t = -4.$

Учитываем, что $t > 0.$ Разобьем числовую прямую на интервалы:
$(0, 2),$ $(2, 4),$ $(4, +\infty).$

Определим знаки выражения $\frac{(t- 2)^2}{(t- 4)(t + 4)}$:
При $0 < t < 2$: $(t- 2)^2 > 0,$ $t- 4 < 0,$ $t + 4 > 0$ ⇒ выражение отрицательно.

При $2 < t < 4$: $(t- 2)^2 > 0,$ $t- 4 < 0,$ $t + 4 > 0$ ⇒ выражение отрицательно.

При $t > 4$:
$(t- 2)^2 > 0,$ $t- 4 > 0,$ $t + 4 > 0$ ⇒ выражение положительно.

При $t = 2$ числитель равен нулю ⇒ выражение равно нулю (включается).

При $t = 4$ и $t = -4$ знаменатель равен нулю ⇒ выражение не определено.
Таким образом, решение для $t$:
$$ t = 2 \quad \text{или} \quad t > 4 $$

$4.$ Вернемся к переменной $x$:
Так как $t = 8^x,$ то:
$8^x = 2 \Rightarrow 2^{3x} = 2^1 \Rightarrow 3x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3},$
$8^x > 4 \Rightarrow 2^{3x} > 2^2 \Rightarrow 3x > 2 \Rightarrow x > \frac{2}{3}.$

$5.$ Проверим область определения:
Исходное неравенство определено при знаменателе не равном нулю:
$$ 2 \cdot 64^x- 32 \neq 0 \Rightarrow 64^x \neq 16 \Rightarrow 8^{2x} \neq 16 \Rightarrow 2^{6x} \neq 2^4 \Rightarrow 6x \neq 4 \Rightarrow x \neq \frac{2}{3} $$ В решении $x > \frac{2}{3},$ поэтому $x \neq \frac{2}{3}$ учтено.

$6.$ Окончательный ответ:
$$ x = \frac{1}{3} \quad \text{или} \quad x > \frac{2}{3} $$ Ответ:
$$ \{ \frac{1}{3} \} \cup \left( \frac{2}{3}; +\infty \right) $$