15. Неравенства: Показательные неравенства

1. Замена переменной:
   Пусть $t=2^{x^2+2x-5}$, тогда $4^{x^2+2x-5}=t^2$.
   Неравенство принимает вид:
   $$4t^2-33t+8\geq0$$
2. Решение квадратного неравенства:
   Найдем корни уравнения $4t^2-33t+8=0$:
   $$t=\dfrac{33\pm\sqrt{1089-128}}{8}=\dfrac{33\pm31}{8}$$
   Корни: $t_1=\dfrac{1}{4}$, $t_2=8$ Решение неравенства:
   $$t\leq\dfrac{1}{4}\quad\text{или}\quad t\geq8$$
3. Обратная замена:
   a) Для $t\leq\dfrac{1}{4}$:
   $$2^{x^2+2x-5}\leq2^{-2}$$ $$x^2+2x-5\leq-2$$ $$x^2+2x-3\leq0$$
   Решение: $-3\leq x\leq1\newline$ b) Для $t\geq8$:
   $$2^{x^2+2x-5}\geq2^3$$ $$x^2+2x-5\geq3$$ $$x^2+2x-8\geq0$$
   Решение: $x\leq-4$ или $x\geq2$
4. Объединение решений:
   $$x\in(-\infty,-4]\cup[-3,1]\cup[2,+\infty)$$

Ответ:
$$(-\infty;-4]\cup[-3;1]\cup[2;+\infty)$$

1. Замена переменной:
   Пусть $t=3^{4x-x^2-1}$, тогда $9^{4x-x^2-1}=t^2$.
   Неравенство принимает вид:
   $$t^2-36t+243\geq0$$
2. Решение квадратного неравенства:
   Найдем корни уравнения $t^2-36t+243=0$:
   $$t=\dfrac{36\pm\sqrt{1296-972}}{2}=\dfrac{36\pm18}{2}$$
   Корни: $t_1=9$, $t_2=27$ Решение неравенства:
   $$t\leq9\quad\text{или}\quad t\geq27$$
3. Обратная замена:
   a) Для $t\leq9$:
   $$3^{4x-x^2-1}\leq3^2$$ $$4x-x^2-1\leq2$$ $$x^2-4x+3\geq0$$
   Решение: $x\leq1$ или $x\geq3\newline$ b) Для $t\geq27$:
   $$3^{4x-x^2-1}\geq3^3$$ $$4x-x^2-1\geq3$$ $$x^2-4x+4\leq0$$
   Решение: $x=2$
4. Объединение решений:
   $$x\in(-\infty,1]\cup{2}\cup[3,+\infty)$$

Ответ:
$$(-\infty;1]\cup{2}\cup[3;+\infty)$$

1. Преобразование неравенства:
   $$(9^x-3^{x+1})^2-8(9^x-3^{x+1})-20<0$$
   Введем замену: $t=9^x-3^{x+1}$
2. Решение квадратного неравенства:
   $$t^2-8t-20<0$$
   Корни: $t=-2$ и $t=10$
   Решение: $-2<t<10$
3. Обратная замена и решение системы:
   $$\begin{cases}9^x-3^{x+1}>-2 \\ 9^x-3^{x+1}<10 \end{cases}$$ a) Первое неравенство:
   $$9^x-3\cdot3^x+2>0$$
   Замена $a=3^x$:
   $$a^2-3a+2>0\Rightarrow a<1\text{ или }a>2$$
   Решение:
   $$x<0\text{ или }x>\log_32$$ b) Второе неравенство:
   $$9^x-3\cdot3^x-10<0$$ Замена $b=3^x$: $$b^2-3b-10<0$$
   $$0<b<5\Rightarrow x<\log_35$$
4. Объединение решений:

• Для $x<0$: выполняется оба условия
• Для $x>\log_32$: должно быть $x<\log_35$ Итоговое решение:
  $$x\in(-\infty;0)\cup(\log_32;\log_35)$$

Ответ: $$(-\infty;0)\cup(\log_32;\log_35)$$

1. Преобразование неравенства:
   $$(5^{2x}-4\cdot5^x)^2-2(5^{2x}-4\cdot5^x)-15<0$$
   Введем замену: $t=5^{2x}-4\cdot5^x$
2. Решение квадратного неравенства:
   $$t^2-2t-15<0$$
   Корни: $t=-3$ и $t=5$
   Решение: $-3<t<5$
3. Обратная замена и решение системы:
   $$\begin{cases}5^{2x}-4\cdot5^x>-3 \\ 5^{2x}-4\cdot5^x<5\end{cases}$$ a) Первое неравенство:
   $$5^{2x}-4\cdot5^x+3>0$$
   Замена $a=5^x$:
   $$a^2-4a+3>0\Rightarrow a<1\text{ или }a>3$$
   Решение:
   $$x<0\text{ или }x>\log_53$$ b) Второе неравенство:
   $$5^{2x}-4\cdot5^x-5<0$$ Замена $b=5^x$: $$b^2-4b-5<0$$
   $$0<b<5\Rightarrow x<1$$
4. Объединение решений:

• Для $x<0$: выполняется оба условия
• Для $x>\log_53$: должно быть $x<1$ Итоговое решение:
  $$x\in(-\infty;0)\cup(\log_53;1)$$

Ответ: $$(-\infty;0)\cup(\log_53;1)$$

1. Преобразование выражения:
Разложим на множители:
$$45^x -27^x = 9^x(5^x -3^x)$$
$$-18 \cdot 15^x = -18 \cdot 3^x \cdot 5^x$$
$$-2 \cdot 9^{x+1} = -18 \cdot 9^x$$
$$-81 \cdot 5^x + 3^{x+4} = -81 \cdot 5^x + 81 \cdot 3^x$$ Объединяем слагаемые:
$$9^x(5^x -3^x) — 18 \cdot 3^x(5^x -3^x) + 81(5^x -3^x) \leq 0$$
$$(5^x -3^x)(9^x -18 \cdot 3^x + 81) \leq 0$$

2. Разложение на множители:
$$(5^x -3^x)(3^{2x} -18 \cdot 3^x + 81) \leq 0$$
$$(5^x -3^x)(3^x -9)^2 \leq 0$$

3. Анализ неравенства:

• $(3^x -9)^2 \geq 0$ всегда
• $(5^x -3^x) \leq 0$ Решаем:
  $$5^x \leq 3^x$$
  $$\left(\frac{5}{3}\right)^x \leq 1$$
  $$x \leq 0$$ Также учитываем точку, где $(3^x -9)^2 = 0$:
  $$3^x = 9 \Rightarrow x = 2$$

4. Объединение решений:
$$x \in (-\infty; 0] \cup {2}$$

Ответ:
$$(-\infty; 0] \cup {2}$$

1. Преобразование выражения:
Группируем слагаемые:
$$3\cdot9^x(5^x -3^x) -28\cdot3^x(5^x -3^x) + 9(5^x -3^x) \leq 0$$
Выносим общий множитель:
$$(5^x -3^x)(3\cdot9^x -28\cdot3^x + 9) \leq 0$$

2. Нахождение корней:
a) Решаем уравнение:
$$5^x -3^x = 0 \Rightarrow x = 0$$ b) Решаем квадратное уравнение:
$$3t^2 -28t + 9 = 0$$
где $t = 3^x$
Корни: $t = \frac{1}{3}$ и $t = 9$
Соответственно:
$$x = -1 \text{ и } x = 2$$

3. Метод интервалов:
На числовой прямой отмечаем критические точки $-1, 0, 2$ и определяем знаки:

• При $x < -1$: неравенство выполняется
• При $-1 < x < 0$: неравенство не выполняется
• При $0 < x < 2$: неравенство выполняется
• При $x > 2$: неравенство не выполняется

4. Объединение решений:
$$x \in (-\infty; -1] \cup [0; 2]$$

Ответ:
$$(-\infty; -1] \cup [0; 2]$$

1. Преобразование выражения:
$$2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$$
$$0.5^{x-3} = 8 \cdot 2^{-x}$$
Таким образом, неравенство принимает вид:
$$2 \cdot 2^x + 8 \cdot 2^{-x} \geq 17$$

2. Упрощение неравенства:
Умножим обе части на $2^x$ (знак неравенства сохраняется, так как $2^x > 0$):
$$2 \cdot 2^{2x} -17 \cdot 2^x + 8 \geq 0$$

3. Решение квадратного неравенства:
Введем замену $t = 2^x$ ($t > 0$):
$$2t^2 -17t + 8 \geq 0$$
Найдем корни уравнения $2t^2 -17t + 8 = 0$:
$$t = \dfrac{17 \pm \sqrt{289 -64}}{4} = \dfrac{17 \pm 15}{4}$$
Корни: $t_1 = 0.5$, $t_2 = 8$ Решение неравенства:
$$t \leq 0.5 \quad \text{или} \quad t \geq 8$$

4. Обратная замена:
a) Для $t \leq 0.5$:
$$2^x \leq 0.5 \Rightarrow x \leq -1$$ b) Для $t \geq 8$:
$$2^x \geq 8 \Rightarrow x \geq 3$$

5. Объединение решений:
$$x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$$

Ответ:
$$(-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$$

1. Логарифмирование обеих частей:
   $$\log_3(3^{x^2}\cdot5^{x-1})\geq\log_33$$
   $$x^2+(x-1)\log_35\geq1$$
2. Преобразование неравенства:
   $$x^2+x\log_35-(\log_35+1)\geq0$$
3. Нахождение корней квадратного уравнения:
   $$x^2+x\log_35-(\log_35+1)=0$$
   Корни: $$x_1=1$$ $$x_2=-(\log_35+1)$$ (по теореме Виета)
4. Решение неравенства:
   Так как коэффициент при $x^2$ положительный, неравенство выполняется:
   $$x\leq-(\log_35+1)$$ или $$x\geq1$$

Ответ:
$$(-\infty;-(\log_35+1)]\cup[1;+\infty)$$