15. Неравенства: #211061

$1.$ Упростим выражения:
Заметим, что:
$8^{x+1} = 8 \cdot 8^x,$
$64^x = (8^2)^x = 8^{2x} = (8^x)^2.$

Введем замену $t = 8^x,$ где $t > 0.$ Тогда:
$$ 8^{x+1} = 8t, \quad 64^x = t^2 $$ Подставим в неравенство:
$$ \frac{8t- 40}{2t^2- 32} \leq 1 $$
$2.$ Перенесем $1$ в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$$ \frac{8t- 40}{2t^2- 32}- 1 \leq 0 \Rightarrow \frac{8t- 40- (2t^2- 32)}{2t^2- 32} \leq 0 $$ Упростим числитель:
$$ 8t- 40- 2t^2 + 32 = -2t^2 + 8t- 8 $$ Вынесем общий множитель: $$ -2(t^2- 4t + 4) = -2(t- 2)^2 $$ Знаменатель: $$ 2t^2- 32 = 2(t^2- 16) = 2(t- 4)(t + 4) $$ Таким образом, неравенство становится:
$$ \frac{-2(t- 2)^2}{2(t- 4)(t + 4)} \leq 0 $$ Сократим на $2$:
$$ \frac{-(t- 2)^2}{(t- 4)(t + 4)} \leq 0 $$ Умножим обе части на $-1$ (при этом знак неравенства изменится):
$$ \frac{(t- 2)^2}{(t- 4)(t + 4)} \geq 0 $$
$3.$ Решим неравенство методом интервалов:
Найдем нули числителя и знаменателя:
Числитель: $(t- 2)^2 = 0 \Rightarrow t = 2,$
Знаменатель: $(t- 4)(t + 4) = 0 \Rightarrow t = 4$ или $t = -4.$

Учитываем, что $t > 0.$ Разобьем числовую прямую на интервалы:
$(0, 2),$ $(2, 4),$ $(4, +\infty).$

Определим знаки выражения $\frac{(t- 2)^2}{(t- 4)(t + 4)}$:
При $0 < t < 2$: $(t- 2)^2 > 0,$ $t- 4 < 0,$ $t + 4 > 0$ ⇒ выражение отрицательно.

При $2 < t < 4$: $(t- 2)^2 > 0,$ $t- 4 < 0,$ $t + 4 > 0$ ⇒ выражение отрицательно.

При $t > 4$:
$(t- 2)^2 > 0,$ $t- 4 > 0,$ $t + 4 > 0$ ⇒ выражение положительно.

При $t = 2$ числитель равен нулю ⇒ выражение равно нулю (включается).

При $t = 4$ и $t = -4$ знаменатель равен нулю ⇒ выражение не определено.
Таким образом, решение для $t$:
$$ t = 2 \quad \text{или} \quad t > 4 $$

$4.$ Вернемся к переменной $x$:
Так как $t = 8^x,$ то:
$8^x = 2 \Rightarrow 2^{3x} = 2^1 \Rightarrow 3x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3},$
$8^x > 4 \Rightarrow 2^{3x} > 2^2 \Rightarrow 3x > 2 \Rightarrow x > \frac{2}{3}.$

$5.$ Проверим область определения:
Исходное неравенство определено при знаменателе не равном нулю:
$$ 2 \cdot 64^x- 32 \neq 0 \Rightarrow 64^x \neq 16 \Rightarrow 8^{2x} \neq 16 \Rightarrow 2^{6x} \neq 2^4 \Rightarrow 6x \neq 4 \Rightarrow x \neq \frac{2}{3} $$ В решении $x > \frac{2}{3},$ поэтому $x \neq \frac{2}{3}$ учтено.

$6.$ Окончательный ответ:
$$ x = \frac{1}{3} \quad \text{или} \quad x > \frac{2}{3} $$ Ответ:
$$ \{ \frac{1}{3} \} \cup \left( \frac{2}{3}; +\infty \right) $$