15. Неравенства: #194955

1. Замена переменной:
   Пусть $t=3^{4x-x^2-1}$, тогда $9^{4x-x^2-1}=t^2$.
   Неравенство принимает вид:
   $$t^2-36t+243\geq0$$
2. Решение квадратного неравенства:
   Найдем корни уравнения $t^2-36t+243=0$:
   $$t=\dfrac{36\pm\sqrt{1296-972}}{2}=\dfrac{36\pm18}{2}$$
   Корни: $t_1=9$, $t_2=27$ Решение неравенства:
   $$t\leq9\quad\text{или}\quad t\geq27$$
3. Обратная замена:
   a) Для $t\leq9$:
   $$3^{4x-x^2-1}\leq3^2$$ $$4x-x^2-1\leq2$$ $$x^2-4x+3\geq0$$
   Решение: $x\leq1$ или $x\geq3\newline$ b) Для $t\geq27$:
   $$3^{4x-x^2-1}\geq3^3$$ $$4x-x^2-1\geq3$$ $$x^2-4x+4\leq0$$
   Решение: $x=2$
4. Объединение решений:
   $$x\in(-\infty,1]\cup{2}\cup[3,+\infty)$$

Ответ:
$$(-\infty;1]\cup{2}\cup[3;+\infty)$$