15. Неравенства: #194990

1. Преобразование выражения:
Группируем слагаемые:
$$3\cdot9^x(5^x -3^x) -28\cdot3^x(5^x -3^x) + 9(5^x -3^x) \leq 0$$
Выносим общий множитель:
$$(5^x -3^x)(3\cdot9^x -28\cdot3^x + 9) \leq 0$$

2. Нахождение корней:
a) Решаем уравнение:
$$5^x -3^x = 0 \Rightarrow x = 0$$ b) Решаем квадратное уравнение:
$$3t^2 -28t + 9 = 0$$
где $t = 3^x$
Корни: $t = \frac{1}{3}$ и $t = 9$
Соответственно:
$$x = -1 \text{ и } x = 2$$

3. Метод интервалов:
На числовой прямой отмечаем критические точки $-1, 0, 2$ и определяем знаки:

• При $x < -1$: неравенство выполняется
• При $-1 < x < 0$: неравенство не выполняется
• При $0 < x < 2$: неравенство выполняется
• При $x > 2$: неравенство не выполняется

4. Объединение решений:
$$x \in (-\infty; -1] \cup [0; 2]$$

Ответ:
$$(-\infty; -1] \cup [0; 2]$$