15. Неравенства: #211060

$1.$ Разложим числитель и знаменатель левой части на множители:
Числитель:
$$ 6^x- 4 \cdot 3^x = 3^x \cdot 2^x- 4 \cdot 3^x = 3^x (2^x- 4) $$
Знаменатель:
$$ x \cdot 2^x- 5 \cdot 2^x- 4x + 20 = 2^x (x- 5)- 4(x- 5) = (x- 5)(2^x- 4) $$
$2.$ Подставим в неравенство:
$$ \frac{3^x (2^x- 4)}{(x- 5)(2^x- 4)} \leq \frac{1}{x- 5} $$ Заметим, что при $ 2^x- 4 \neq 0 $ $($т.е. $ x \neq 2 ) $ можно сократить на $ 2^x- 4 $:
$$ \frac{3^x}{x- 5} \leq \frac{1}{x- 5} $$
$3.$ Перенесем правую часть влево:
$$ \frac{3^x}{x- 5} — \frac{1}{x- 5} \leq 0 \Rightarrow \frac{3^x- 1}{x- 5} \leq 0 $$
$4.$ Решим неравенство $\frac{3^x- 1}{x- 5} \leq 0$ методом интервалов:
Найдем нули числителя и знаменателя:
Числитель: $ 3^x- 1 = 0 \Rightarrow 3^x = 1 \Rightarrow x = 0 .$
Знаменатель: $ x- 5 = 0 \Rightarrow x = 5 .$

Разобьем числовую прямую на интервалы: $ (-\infty, 0) ,$ $ (0, 5) ,$ $ (5, +\infty) .$
Определим знак выражения $ \frac{3^x- 1}{x- 5} $ на каждом интервале:
При $ x < 0 $:
$ 3^x- 1 < 0 $ (так как $ 3^x < 1 $), $ x- 5 < 0 $ $⇒$ дробь положительна.

При $ 0 < x < 5 $: $ 3^x- 1 > 0 ,$ $ x- 5 < 0 $ $⇒$ дробь отрицательна.

При $ x > 5 $:
$ 3^x- 1 > 0 ,$ $ x- 5 > 0 $ $⇒$ дробь положительна.

При $ x = 0 $ числитель равен нулю $⇒$ дробь равна нулю (включается).
При $ x = 5 $ знаменатель равен нулю $⇒$ дробь не определена.

Таким образом, решение:
$$ x \in [0, 5) $$
$5.$ Учтем ограничение $ x \neq 2 $:
Так как $ x = 2 $ исключено из-за сокращения, итоговое решение:
$$ x \in [0, 2) \cup (2, 5) $$
$6.$ Проверим, выполняется ли исходное неравенство при $ x = 2 $:
Подставим $ x = 2 $ в исходное неравенство:
Числитель: $ 6^2- 4 \cdot 3^2 = 36- 36 = 0 .$
Знаменатель: $ 2 \cdot 2^2- 5 \cdot 2^2- 4 \cdot 2 + 20 = 8- 20- 8 + 20 = 0 .$
Получаем неопределенность $ \frac{0}{0} ,$ поэтому $ x = 2 $ не входит в область определения.

$7.$ Окончательный ответ:
$$ x \in [0, 2) \cup (2, 5) $$ Ответ: $$ [0; 2) \cup (2; 5) $$