15. Неравенства: #211048

$1.$ Сделаем замену переменной:
Пусть $ t = 3^x ,$ где $ t > 0 .$ Тогда неравенство примет вид:
$$ \frac{2}{t + 27} \geq \frac{1}{t- 27} $$
$2.$ Перенесем все в одну сторону и приведем к общему знаменателю:
$$ \frac{2}{t + 27} — \frac{1}{t- 27} \geq 0 \Rightarrow \frac{2(t- 27)- (t + 27)}{(t + 27)(t- 27)} \geq 0 $$ Упростим числитель:
$$ 2(t- 27)- (t + 27) = 2t- 54- t- 27 = t- 81 $$ Получаем: $$ \frac{t- 81}{(t + 27)(t- 27)} \geq 0 $$
$3.$ Решим неравенство методом интервалов:
Найдем нули числителя и знаменателя:
Числитель: $ t- 81 = 0 \Rightarrow t = 81 .$
Знаменатель: $ (t + 27)(t- 27) = 0 \Rightarrow t = -27 $ или $ t = 27 .$
Учитываем, что $ t > 0 .$ Разобьем числовую прямую на интервалы:
$ (0, 27) ,$ $ (27, 81) ,$ $ (81, +\infty) .$
Определим знаки выражения $ \frac{t- 81}{(t + 27)(t- 27)} $:
При $ 0 < t < 27 $: $ t- 81 < 0 ,$ $ t + 27 > 0 ,$ $ t- 27 < 0 $ ⇒ выражение положительно.

При $ 27 < t < 81 $: $ t- 81 < 0 ,$ $ t + 27 > 0 ,$ $ t- 27 > 0 $ ⇒ выражение отрицательно.

При $ t > 81 $:
$ t- 81 > 0 ,$ $ t + 27 > 0 ,$ $ t- 27 > 0 $ ⇒ выражение положительно.

При $ t = 81 $ числитель равен нулю ⇒ выражение равно нулю (включается).

При $ t = 27 $ знаменатель равен нулю ⇒ выражение не определено.
Таким образом, решение для $ t $:
$$ 0 < t < 27 \quad \text{или} \quad t \geq 81 $$

$4.$ Вернемся к переменной $ x $:
Так как $ t = 3^x ,$ то:
$ 0 < 3^x < 27 \Rightarrow 3^x < 3^3 \Rightarrow x < 3 .$
$ 3^x \geq 81 \Rightarrow 3^x \geq 3^4 \Rightarrow x \geq 4 .$

$5.$ Проверим область определения:
Исходное неравенство определено при:
$ 3^x + 27 \neq 0 $ (выполняется всегда, так как $ 3^x > 0 $),
$ 3^x- 27 \neq 0 \Rightarrow 3^x \neq 27 \Rightarrow x \neq 3 .$
В решении $ x < 3 $ и $ x \geq 4 ,$ поэтому $ x \neq 3 $ учтено.

$6.$ Окончательный ответ:
$$ x \in (-\infty; 3) \cup [4; +\infty) $$ Ответ: $$ (-\infty; 3) \cup [4; +\infty) $$