15. Неравенства: #194993

1. Преобразование выражения:
$$2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$$
$$0.5^{x-3} = 8 \cdot 2^{-x}$$
Таким образом, неравенство принимает вид:
$$2 \cdot 2^x + 8 \cdot 2^{-x} \geq 17$$

2. Упрощение неравенства:
Умножим обе части на $2^x$ (знак неравенства сохраняется, так как $2^x > 0$):
$$2 \cdot 2^{2x} -17 \cdot 2^x + 8 \geq 0$$

3. Решение квадратного неравенства:
Введем замену $t = 2^x$ ($t > 0$):
$$2t^2 -17t + 8 \geq 0$$
Найдем корни уравнения $2t^2 -17t + 8 = 0$:
$$t = \dfrac{17 \pm \sqrt{289 -64}}{4} = \dfrac{17 \pm 15}{4}$$
Корни: $t_1 = 0.5$, $t_2 = 8$ Решение неравенства:
$$t \leq 0.5 \quad \text{или} \quad t \geq 8$$

4. Обратная замена:
a) Для $t \leq 0.5$:
$$2^x \leq 0.5 \Rightarrow x \leq -1$$ b) Для $t \geq 8$:
$$2^x \geq 8 \Rightarrow x \geq 3$$

5. Объединение решений:
$$x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$$

Ответ:
$$(-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$$