15. Неравенства: #211047

$1.$ Сделаем замену переменной:
Пусть $ t = 3^x ,$ где $ t > 0 .$ Тогда неравенство примет вид:
$$ t- \frac{702}{t- 1} \geq 0 $$
$2.$ Приведем к общему знаменателю:
$$ \frac{t(t- 1)- 702}{t- 1} \geq 0 \Rightarrow \frac{t^2- t- 702}{t- 1} \geq 0 $$
$3.$ Разложим числитель на множители:
Решим квадратное уравнение $ t^2- t- 702 = 0 $:
$$ D = (-1)^2- 4 \cdot 1 \cdot (-702) = 1 + 2808 = 2809, \quad \sqrt{D} = 53 $$ $$ t_1 = \frac{1- 53}{2} = -26, \quad t_2 = \frac{1 + 53}{2} = 27 $$ Таким образом:
$$ t^2- t- 702 = (t + 26)(t- 27) $$ Неравенство становится:
$$ \frac{(t + 26)(t- 27)}{t- 1} \geq 0 $$
$4.$ Решим неравенство методом интервалов:
Найдем нули числителя и знаменателя:
Числитель: $ t = -26 ,$ $ t = 27 .$
Знаменатель: $ t = 1 .$
Учитываем, что $ t > 0 .$ Разобьем числовую прямую на интервалы:
$ (0, 1) ,$ $ (1, 27) ,$ $ (27, +\infty) .$
Определим знаки выражения $ \frac{(t + 26)(t- 27)}{t- 1} $:
При $ 0 < t < 1 $: $ t + 26 > 0 ,$ $ t- 27 < 0 ,$ $ t- 1 < 0 $ ⇒ выражение положительно.

При $ 1 < t < 27 $: $ t + 26 > 0 ,$ $ t- 27 < 0 ,$ $ t- 1 > 0 $ ⇒ выражение отрицательно.

При $ t > 27 $:
$ t + 26 > 0 ,$ $ t- 27 > 0 ,$ $ t- 1 > 0 $ ⇒ выражение положительно.

При $ t = 27 $ числитель равен нулю ⇒ выражение равно нулю (включается).

При $ t = 1 $ знаменатель равен нулю ⇒ выражение не определено.
Таким образом, решение для $ t $:
$$ 0 < t < 1 \quad \text{или} \quad t \geq 27 $$

$5.$ Вернемся к переменной $ x $:
Так как $ t = 3^x ,$ то:
$ 0 < 3^x < 1 \Rightarrow 3^x < 3^0 \Rightarrow x < 0 .$
$ 3^x \geq 27 \Rightarrow 3^x \geq 3^3 \Rightarrow x \geq 3 .$

$6.$ Проверим область определения:
Исходное неравенство определено при $ 3^x- 1 \neq 0 \Rightarrow 3^x \neq 1 \Rightarrow x \neq 0 .$
В решении $ x < 0 $ и $ x \geq 3 ,$ поэтому $ x \neq 0 $ учтено.

$7. $ Окончательный ответ:
$$ x \in (-\infty; 0) \cup [3; +\infty) $$ Ответ:
$$ (-\infty; 0) \cup [3; +\infty) $$