15. Неравенства: #211050

$1.$ Сделаем замену переменной:
Пусть $ t = 5^x ,$ где $ t > 0 .$ Заметим, что $ 25^x = (5^2)^x = 5^{2x} = t^2 .$
Подставим в неравенство:
$$ \frac{t}{t- 4} + \frac{t + 5}{t- 5} + \frac{22}{t^2- 9t + 20} \leq 0 $$
$2.$ Разложим знаменатель третьей дроби на множители:
Решим квадратное уравнение $ t^2- 9t + 20 = 0 $:
$$ D = (-9)^2- 4 \cdot 1 \cdot 20 = 81- 80 = 1, \quad \sqrt{D} = 1 $$ $$ t_1 = \frac{9- 1}{2} = 4, \quad t_2 = \frac{9 + 1}{2} = 5 $$ Таким образом:
$$ t^2- 9t + 20 = (t- 4)(t- 5) $$ Неравенство принимает вид:
$$ \frac{t}{t- 4} + \frac{t + 5}{t- 5} + \frac{22}{(t- 4)(t- 5)} \leq 0 $$
$3.$ Приведем все дроби к общему знаменателю $ (t- 4)(t- 5) $:
$$ \frac{t(t- 5) + (t + 5)(t- 4) + 22}{(t- 4)(t- 5)} \leq 0 $$ Упростим числитель:
$$ t(t- 5) = t^2- 5t $$ $$ (t + 5)(t- 4) = t^2- 4t + 5t- 20 = t^2 + t- 20 $$ $$ t^2- 5t + t^2 + t- 20 + 22 = 2t^2- 4t + 2 = 2(t^2- 2t + 1) = 2(t- 1)^2 $$ Получаем:
$$ \frac{2(t- 1)^2}{(t- 4)(t- 5)} \leq 0 $$
$4.$ Решим неравенство:
Так как $ 2(t- 1)^2 \geq 0 $ для всех $ t ,$ и равно нулю только при $ t = 1 ,$ то дробь неположительна, когда знаменатель отрицателен:
$$ (t- 4)(t- 5) < 0 $$ Это неравенство выполняется при $ 4 < t < 5 .$ Также при $ t = 1 $ числитель равен нулю, и знаменатель $ (1- 4)(1- 5) = (-3)(-4) = 12 > 0 ,$ поэтому дробь равна нулю и удовлетворяет неравенству.

$5.$ Таким образом, решение для $ t $:
$$ t = 1 \quad \text{или} \quad 4 < t < 5 $$
$6.$ Вернемся к переменной $ x $:
Так как $ t = 5^x ,$ то:
$ 5^x = 1 \Rightarrow 5^x = 5^0 \Rightarrow x = 0 .$
$ 4 < 5^x < 5 \Rightarrow \log_5 4 < x < 1 .$

$7. $ Проверим область определения:
Исходное неравенство определено при:
$ 5^x- 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \log_5 4 ,$
$ 5^x- 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 ,$
$ 25^x- 9 \cdot 5^x + 20 \neq 0 \Rightarrow (5^x- 4)(5^x- 5) \neq 0 \Rightarrow x \neq \log_5 4, x \neq 1 .$
В решении $ x = 0 $ и $ \log_5 4 < x < 1 ,$ поэтому $ x \neq \log_5 4 $ и $ x \neq 1 $ учтены.

$8.$ Окончательный ответ: $$ x \in {0} \cup (\log_5 4; 1) $$ Ответ:
$$ {0} \cup (\log_5 4; 1) $$