15. Неравенства: #194988

1. Преобразование выражения:
Разложим на множители:
$$45^x -27^x = 9^x(5^x -3^x)$$
$$-18 \cdot 15^x = -18 \cdot 3^x \cdot 5^x$$
$$-2 \cdot 9^{x+1} = -18 \cdot 9^x$$
$$-81 \cdot 5^x + 3^{x+4} = -81 \cdot 5^x + 81 \cdot 3^x$$ Объединяем слагаемые:
$$9^x(5^x -3^x) — 18 \cdot 3^x(5^x -3^x) + 81(5^x -3^x) \leq 0$$
$$(5^x -3^x)(9^x -18 \cdot 3^x + 81) \leq 0$$

2. Разложение на множители:
$$(5^x -3^x)(3^{2x} -18 \cdot 3^x + 81) \leq 0$$
$$(5^x -3^x)(3^x -9)^2 \leq 0$$

3. Анализ неравенства:

• $(3^x -9)^2 \geq 0$ всегда
• $(5^x -3^x) \leq 0$ Решаем:
  $$5^x \leq 3^x$$
  $$\left(\frac{5}{3}\right)^x \leq 1$$
  $$x \leq 0$$ Также учитываем точку, где $(3^x -9)^2 = 0$:
  $$3^x = 9 \Rightarrow x = 2$$

4. Объединение решений:
$$x \in (-\infty; 0] \cup {2}$$

Ответ:
$$(-\infty; 0] \cup {2}$$